(共43张PPT)
5.1.1 任意角
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素养·目标定位
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1.任意角的概念
按照角的旋转方向,分为如下三类:
这样,我们就把角的概念推广到了 任意角 ,如果两个角α,β的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称 α=β ;设α,β是任意两个角,我们规定,把角α的终边旋转角β,这时终边所对应的角是 α+β ;按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做 互为相反角 .
微点拨1用图象表示角时,箭头的方向体现角的正负,因此箭头不能丢掉.
可类比正负数的规定,理解正角、负角是用来表示具有相反意义的旋转量,理解角的加、减运算.
微判断(1)经过1小时,时针转过30°.( )
(2)终边与始边重合的角是零角.( )
(3)小于90°的角是锐角.( )
解析:(1)因为是顺时针旋转,所以时针转过-30°.
(2)终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z).
(3)锐角是指大于0°且小于90°的角.
×
×
×
2.象限角
我们通常在直角坐标系内讨论角.为了方便,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是 第几象限角 .如果角的终边在
坐标轴上 ,那么就认为这个角不属于任何一个象限.
象限角的图形表示
微训练1下列叙述正确的是( )
A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角
B.钝角是第二象限角
C.第二象限角比第一象限角大
D.不相等的角终边一定不同
答案:B
解析:由于直角不属于任何一个象限,故A中叙述不正确;钝角在90°~180°范围内且不为90°,180°,是第二象限角,故B中叙述正确;由于120°是第二象限角,390°是第一象限角,但120°<390°,故C中叙述不正确;由于20°与(360°+20°)不相等,但终边相同,故D中叙述不正确.故选B.
3.终边相同的角
一般地,我们有:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个 周角 的和.
微点拨2对于集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的理解
(1)α是任意角.
(2)“k∈Z”有三层含义:
①特殊性:每取一个整数值就对应一个具体的角.
②一般性:表示所有与角α终边相同的角(包括α自身).
③从几何意义上看,k表示角的终边按一定的方向旋转的圈数,k取正整数时,逆时针旋转;k取负整数时,顺时针旋转;k=0时,没有旋转.
(3)集合中“k·360°”与“α”之间用“+”连接,如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°),表示与-30°角终边相同的角.
微训练2若角α与30°角的终边关于y轴对称,
且-360°≤α≤360°,则α= .
答案:150°或-210°
解析:∵角α与30°角的终边关于y轴对称,
∴α+30°=180°+k·360°,k∈Z,
∴α=150°+k·360°,k∈Z.
∵-360°≤α≤360°,
∴当k=0时,α=150°;当k=-1时,α=-210°.
综上,α=150°或α=-210°.
课堂·重难突破
一 对任意角概念的理解
典例剖析
1.(1)给出下列说法:
①钝角比第三象限角小;
②第一象限角一定不是负角;
③小于180°的角是钝角或直角或锐角.
其中错误的为 (填序号).
(2)将时钟拨快20分,则分针转过的角的大小是 .
答案:(1)①②③ (2)-120°
解析:(1) 钝角大于-100°,而-100°的角是第三象限角,故①中说法错误;由任意角的概念知,第一象限角也可以为负角,小于180°的角还有负角、零角,所以②③中说法错误.
(2)分针每分钟转6°,将时钟拨快是顺时针旋转,所以拨快20分分针转过的角度为-120°.
规律总结
判断角的概念问题的关键与技巧
(1)关键:正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.
(2)技巧:判断一种说法正确需要证明,而判断一种说法错误只要举出反例即可.
学以致用
1.下列说法正确的是( )
A.第一象限的角一定小于终边与y轴非负半轴重合的角
B.若90°≤α≤180°,则α是第二象限的角
C.小于90°的角一定是第一象限的角
D.有些角不是任何象限的角
答案:D
解析:390°角是第一象限的角,90°角的终边与y轴非负半轴重合,显然390°大于90°,故A不正确;当α=90°或180°时,终边落在坐标轴上,不是任何象限的角,故B不正确;小于90°的角也可能是坐标轴上的角或除第一象限外其他象限的角,它不一定是第一象限的角,故C不正确.D正确.
二 象限角的判定
典例剖析
2.(1)已知下列各角的顶点与直角坐标系的原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,判断它们分别是第几象限角.
①-300°;②225°;③-400°;④-1 320°.
(2)已知α为第三象限角,则 为第几象限角
解:(1)以原点为角的顶点,x轴的非负半轴为角的始边,分别画出-300°角,225°角,-400°角,如图①②③所示.观察各个角的终边所在的位置可知,-300°角的终边在第一象限,225°角的终边在第三象限,-400°角的终边在第四象限,所以-300°角是第一象限角,225°角是第三象限角,-400°角是第四象限角.
图①
图②
图③
又-1 320°=-1 440°+120°=360°×(-4)+120°,
所以-1 320°角的终边与120°角的终边相同,
所以-1 320°角是第二象限角.
互动探究
(变问法)若本例(2)中条件不变,则2α的终边落在哪里
解:因为角α为第三象限角,
所以k·360°+180°<α所以2k·360°+360°<2α<2k·360°+540°,k∈Z,
即(2k+1)·360°<2α<(2k+1)·360°+180°,k∈Z.
所以2α的终边落在第一象限、第二象限或y轴的非负半轴上.
规律总结
判断已知角α终边所在的象限的常用方法为将α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,角β终边所在的象限即为角α终边所在的象限.
学以致用
2.(1)已知角2α的终边在x轴的上方,则α是( )
A.第一象限角 B.第一或第二象限角
C.第一或第三象限角 D.第一或第四象限角
答案:C
解析:因为角2α的终边在x轴的上方,
所以k·360°<2α所以k·180°<α当k为奇数时,α为第三象限角;当k为偶数时,α为第一象限角.
(2)在0°~360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角.
①-150°;②650°;③-950°15'.
解:①因为-150°=-360°+210°,所以在0°~360°范围内,
与-150°角终边相同的角是210°,它是第三象限角.
②因为650°=360°+290°,所以在0°~360°范围内,
与650°角终边相同的角是290°,它是第四象限角.
③因为-950°15'=-3×360°+129°45',所以在0°~360°范围内,与-950°15'角终边相同的角是129°45',它是第二象限角.
三 终边相同的角的表示及应用
典例剖析
3.已知角α=2 024°.
(1)把α改写成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;
(2)求θ,使θ与α终边相同,且-360°≤θ<360°;
(3)求与α终边相同的最大负角与最小正角.
解:(1)2 024°=360°×5+224°,∴取k=5,β=224°,
∴α=5×360°+224°.
又β=224°是第三象限角,∴α为第三象限角.
(2)与2 024°角终边相同的角为k·360°+2 024°,k∈Z.
令-360°≤k·360°+2 024°<360°,k∈Z,
∴k可取-6,-5,将k的值代入k·360°+2 024°中,
得角θ为-136°,224°.
(3)由(2)知,与α终边相同的最大负角是-136°,最小正角是224°.
学以致用
3.如图,写出终边在直线AB上的角α的集合.
解:由题图可知,在0°~360°范围内,
终边在直线AB上的角有两个:120°,300°.
因此,终边在直线AB上的角的集合为{α|α=120°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=300°+k·360°,k∈Z}
={α|α=120°+n·180°,n∈Z}.
四 区域角的表示
典例剖析
4.如图①②所示,分别写出终边落在阴影部分(不含边界)的角α的集合.
图①
图②
解:题图①,终边在射线OB上的角的集合为
{α|α=-135°+k·360°,k∈Z},
终边在射线OA上的角的集合为{α|α=60°+k·360°,k∈Z},
∴所求角的集合为
{α|-135°+k·360°<α<60°+k·360°,k∈Z}.
题图②,终边在直线l上的角的集合为{α|α=30°+k·180°,k∈Z},
终边在y轴上的角的集合为{α|α=90°+k·180°,k∈Z},
∴所求角的集合为{α|30°+k·180°<α<90°+k·180°,k∈Z}.
规律总结
表示区域角的三个步骤
第一步:先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界;
第二步:分别标出起始和终止边界对应的角的集合;
第三步:将起始位置和终止位置所对应的角的集合用不等式连接起来,即得区域角的集合.此时,应注意所求区域是否包含边界.
学以致用
4.如图①②所示,分别写出终边落在阴影部分(不含边界)的角α的集合.
图①
图②
解:题图①,终边在射线OB上的角的集合为
{α|α=-30°+k·360°,k∈Z},
终边在射线OA上的角的集合为{α|α=135°+k·360°,k∈Z},
∴所求角的集合为
{α|-30°+k·360°<α<135°+k·360°,k∈Z}.
题图②,终边在直线l1上的角的集合为{α|α=60°+k·180°,k∈Z},
终边在直线l2上的角的集合为{α|α=105°+k·180°,k∈Z},
∴所求的角的集合为{α|60°+k·180°<α<105°+k·180°,k∈Z}.
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1.若手表时针走过4小时,则时针转过的角度为( )
A.120° B.-120° C.-60° D.60°
答案:B
解析:时针每小时转-30°,4小时时针转过的角度为-4×30°= -120°,故选B.
2.把-1 485°转化为α+k·360°(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是
( )
A.45°-4×360° B.-45°-4×360°
C.-45°-5×360° D.315°-5×360°
答案:D
3.下列说法正确的个数是( )
①30°角与-30°角的终边方向相反;
②-330°角与390°角的终边相同;
③α=(2k+1)·180°(k∈Z)与β=(4k±1)·180°(k∈Z)角的终边相同;
④设M={x|x=45°+k·90°,k∈Z},N={y|y=90°+k·45°,k∈Z},则M N.
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:C
解析:①30°角与-30°角的终边关于x轴对称,故①中说法错误;
②-330°角的终边在第一象限,与30°角的终边相同,390°=360°+30°,也与30°角的终边相同,故-330°角与390°角的终边相同,故②中说法正确;
③α=(2k+1)·180°=k·360°+180°,k∈Z,所以角α为终边在x轴非正半轴上的角,而β=(4k±1)·180°=k·720°±180°, k∈Z,所以角β也表示终边在x轴非正半轴上的角,故α=(2k+1)·180°(k∈Z)与β=(4k±1)·180°(k∈Z)角的终边相同,故③中说法正确;
④N={y|y=90°+k·45°,k∈Z}中,当k为奇数时,N=M,故有M N,故④中说法正确.
综上,②③④中说法正确,故选C.
4.-378°角是第 象限角.
答案:四
解析:-378°=-360°-18°.
因为-18°角是第四象限角,所以-378°角是第四象限角.
5.如图所示.
(1)分别写出终边落在射线OA,OB上的角的集合;
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
解:(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α=k·360°+210°,k∈Z}.
终边落在射线OB上的角的集合是{α|α=k·360°+300°,k∈Z}.
(2)终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合是{α|k·360°+210°≤α≤k·360°+300°,k∈Z}.(共36张PPT)
5.1.2 弧度制
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1.角度制与弧度制
(1)角度制和弧度制
(2)角的弧度数的计算
在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的圆心角为α rad,那么
一般地,正角的弧度数是一个 正数 ,负角的弧度数是一个 负数 ,零角的弧度数是 0 .
微点拨1以弧度为单位表示角时,常常把弧度数写成多少π的形式,若无特殊要求,则不必把π写成小数,如
2.角度制与弧度制的换算
(1)角度与弧度的互化
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
微训练1 用角度表示的结果为 ;-135°用弧度表示的结果为 .
3.扇形的弧长及面积公式
设扇形所在圆的半径为R,α为扇形的圆心角,l是扇形的弧长,S是扇形的面积,则
微点拨2 1.设圆的半径为R,α为圆心角,l是扇形的弧长,S是扇形的面积,由弧长公式、扇形面积公式可知,已知α,R,l,S中的任意两个量可以求出另外两个量.
2.运用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式明显比角度制下的弧长公式和扇形面积公式要简单得多.扇形的弧长公式l=αR (0<α<2π)及面积公式 (0<α<2π)中的α都是弧度数,应用时必须将角度化为弧度.
3.在运用公式时,还应熟练掌握这两个公式的变形:
微训练2已知扇形的半径为20 cm,圆心角为30°,则扇形的弧长l和面积S分别为 、 .
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一 角度与弧度的互化
典例剖析
1.将下列角度与弧度进行互化.
规律总结
弧度与角度互化的方法:设一个角的弧度数为α,角度数为n,
注意:角度化弧度时,应先将分秒化成度,再化成弧度.
学以致用
1.(1)把下列角度化成弧度:
①-150°= ;②2 100°= ;
③11°15'= ;④112°30'= .
(2)把下列弧度化成角度:
二 用弧度制表示终边相同的角
典例剖析
2.把-495°表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,使|θ|最小的θ的值是
( )
答案:D
3.如图,用弧度制表示顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边落在阴影部分(不包括边界)内的角α的集合.
互动探究
(变条件)将例3(2)中阴影部分改为如下图形(包括边界),则终边落在阴影部分内的角α的集合为 .
学以致用
2.把下列各角化成2kπ+α(k∈Z)的形式,其中0≤α<2π,并指出是第几象限角.
三 扇形的弧长公式及面积公式的应用
典例剖析
答案:A
规律总结
扇形弧长、面积问题的解决方法
(1)记公式.弧长公式为l=|α|R.面积公式为 (其中l是扇形的弧长,α是扇形的圆心角的弧度数,R是扇形所在圆的半径,S是扇形的面积).
(2)解决此类题目,首先分析已知哪些量,要求哪些量,然后灵活运用公式求解.
学以致用
3.(1)工艺扇面是中国书画一种常见的表现形式.高一某班学生想用布料制作一面扇面参加元旦晚会,已知扇面如图所示,扇面的圆心角为120°,外圆半径为60 cm,内圆半径为30 cm,则制作这样一面扇面需要的布料面积为 cm2.
答案:900π
(2)已知一扇形的周长为40 cm,当它的半径和圆心角(正角)取什么值时,才能使扇形的面积最大 最大面积是多少
解:设扇形的圆心角为θ rad(θ>0),半径为r cm,
弧长为l cm,面积为S cm2,则l+2r=40,所以l=40-2r,
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1.下列说法正确的是( )
A.1弧度就是1度的圆心角所对的弧
B.1弧度是长度为半径的弧
C.1弧度是1度的弧与1度的角之和
D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小
答案:D
解析:由弧度的定义可知D正确.
2.把 化为角度是( )
A.270° B.280° C.288° D.318°
答案:C
A.第一象限 B.第四象限
C.x轴上 D.y轴上
答案:D
答案:C
5.(1)将-1 120°写成2kπ+α(k∈Z)的形式,其中0≤α<2π;
(2)写出与(1)中角α终边相同的角β的集合,并写出在区间
[-4π,0]上的角β.
