富源学校2023-2024学年高二上学期11月期中考试
答案
数 学 2023.11
一、选择题答案
A C A C A B B B AD ACD BCD ABD
三、填空题答案
2/3/4
16.
四、解答题
17．(1)
(2)或
【详解】（1）由已知得，，得
，解得
（2）设，由，可得
，得到，求得，
，则或
18．5.39m
【详解】以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系xOy，
易知点A，B，P的坐标分别为，，．
设圆拱所在的圆的方程是．
因为点A，B，P在所求的圆上，
所以，解得．
故圆拱所在的圆的方程是．
将点的横坐标代入上述方程，解得（负值舍去）；
即支柱的长约为5.39m．
19．(1)
(2)
【详解】（1）由已知三棱柱为直三棱柱，且，
则以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
又是的中点，则，
所以，，
所以，
设异面直线与所成角为，则，
所以异面直线与所成角的余弦值为；
（2）由，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，
由已知，，且，平面，
所以平面，
则平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以，
因此，平面与平面的夹角的正弦值为.
20．(1)或 (2)
【详解】（1）若切线l的斜率不存在，则切线l的方程为．
若切线l的斜率存在，设切线l的方程为，即．
因为直线l与圆C相切，所以圆心到l的距离为2，即，解得，
所以切线l的方程为，即．
综上，切线l的方程为或．
（2）圆心到直线的距离为，直线m与圆C相离，
因为，所以当最小时，有最小值．
当时，最小，最小值为，
所以的最小值为．
21．(1)存在点，且，理由见解析； (2).
【详解】（1）存在点，且时平面，理由如下：
连接相交于点，连接，则平面平面，
若平面，平面，平面，所以，
因为，，所以， ，
所以时平面；
（2）因为，，，
由余弦定理可得，
由可得， ，又平面，
以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
设平面的法向量为，
所以，即，令，则，
所以，
设直线与平面所成角的为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
22．（1）；（2）直线恒过定点.
【分析】（1）根据椭圆的焦距可求出，由椭圆的面积等于得，求出，即可求出椭圆的标准方程；
（2）设直线，，进而写出为，两点坐标，将直线与椭圆的方程联立，根据韦达定理求，，由三点共线可知，将，代入并化简，得到的关系式，分析可知经过的定点坐标.
【详解】（1）椭圆的面积等于，，
，椭圆的焦距为，，
，
椭圆方程为
（2）设直线，，则，，三点共线，得，
直线与椭圆交于两点,,，，
由，得，，
，代入中，
，，
当，直线方程为，则重合，不符合题意；
当时，直线,所以直线恒过定点.富源学校2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数 学 2023.11
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．圆的圆心为（ ）．
A． B． C． D．
2．经过两点、的直线方程都可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．过点和点的斜率是（ ）
A． B． C． D．
4．直线，若，则实数的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．或1
5．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”中，平面，，则直线与面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．古希腊伟大的数学家阿基米德早在多年前利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.如图，某种椭圆形镜子按照实际面积定价，每平方米元，小张要买的镜子的外轮廓是长轴长为米且离心率为的椭圆，则小张要买的镜子的价格约为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
7．若直线与直线交于点，则到坐标原点距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．直线的方程为：，则（ ）
A．直线恒过定点
B．直线斜率必定存在
C．时直线的倾斜角为
D．时直线与两坐标轴围成的三角形面积为
10．给出下列命题正确的是（ ）
A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直
B．直线a，b的方向向量，，若，，则直线a，b相交
C．无论m取何实数，直线恒过一定点
D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则，
11．已知直线和圆，则下列说法正确的是（ ）
A．存在，使得直线与圆相切
B．若直线与圆交于两点，则的最小值为
C．对任意，圆上恒有4个点到直线的距离为
D．当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点
12．平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线（Cassinioval）．在平面直角坐标系中，，动点满足，其轨迹为曲线，则（ ）
A．曲线的方程为 B．曲线关于原点对称
C．面积的最大值为2 D．的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，，若，则 .
14．已知圆：与圆：相离，则整数m的一个取值可以是 ．
15．在空间直角坐标系中，，则点到直线的距离为 .
16．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆．现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知，；
(1)若，求实数的值；
(2)若，且，求的坐标．
18．某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需要一个支柱支撑，求支柱的长（精确到0.01m）．
19．如图，在直三棱柱中，，，，是的中点.
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求平面与平面的夹角的正弦值.
20．已知圆C：．
(1)过点向圆C作切线l，求切线l的方程；
(2)若Q为直线m：上的动点，过Q向圆C作切线，切点为M，求的最小值．
21．四棱锥底面为平行四边形，且，平面.
(1)在棱上是否存在点，使得平面.若存在，确定点位置；若不存在，说明理由.
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
22．阿基米德(公元前287年---公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆的面积等于，且椭圆的焦距为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点是轴上的定点，直线与椭圆交于不同的两点，已知A关于轴的对称点为，点关于原点的对称点为，已知三点共线，试探究直线是否过定点.若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由。
