河北省唐山一中等五校2015届高三上学期第二次联考试题（数学文）

2015届高三教学质量监测（二）
文科数学
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上．
命题人： 刘敏 审核人：马焕新、冯伟冀
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上．
1．设集合，，则
A．　　B．　　C．　　D．
2． 已知是虚数单位，和都是实数，且，则
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
3．设是定义在R上的周期为的函数，当x∈[－2，1)时，，则＝
A．　　 B．　　 C．　 　D．
4．设则
A．　　B．　 　C．　 D．
5．下列结论错误的是
A．命题“若，则”与命题“若，则”互为逆否命题
B．命题；命，则为真
C．“若，则”的逆命题为真命题
D．若为假命题，则p、q均为假命题
6．若圆的半径为1,圆心在第一象限,且与直线和轴都相切,则该圆的标准方程为
A． B．
C． D．
右图中，为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，为该题的最终得分，当时，等于
A． B．　　 C． D．
8．下列函数最小正周期为且图象关于直线对称的函数是
A． B．　
　C． D．
9．等差数列的前项和为，且，，则过点和()的直线的一个方向向量是
A． B． C． D．
10．设满足约束条件，若目标函数的最大值为12，则的最小值为
A． B． C． D．4
11．在中，若，求周长的取值范围
A． B． C． D．
12．若曲线 与曲线 存在公共切线，则的取值范围为
A． B． C． D．
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡上．
13．已知 ，且，则 ________．
14．若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为 ．
多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为
（单位） ．
16．已知，，，动点满足且，则点到点的距离大于的概率为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知数列的各项均为正数，前项和为，且
（Ⅰ）求证数列是等差数列；
（Ⅱ）设求
18．（本小题满分12分）随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损．
（Ⅰ）若已知甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据；
（Ⅱ）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高176cm的同学被抽中的概率．
19．（本小题满分12分）
如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱⊥底面,,分别为上的动点，且．
（Ⅰ）若，求证：∥
（Ⅱ）求三棱锥体积最大值．
（本小题满分12分）
已知抛物线，直线与抛物线交于两点．
（Ⅰ）若轴与以为直径的圆相切，求该圆的方程；
（Ⅱ）若直线与轴负半轴相交，求面积的最大值．
21．（本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）当时，判断函数的单调区间并给予证明；
（Ⅱ）若有两个极值点，证明：．
请考生在第22、23、24题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号．
22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲
已知外接圆劣弧上的点（不与点重合）,延长至,延长交的延长线于．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：．
23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲
已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）．
（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，求的最大值．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知，对，恒成立，求的取值范围．
2015届高三教学质量监测（二）
文科数学
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上．
命题人： 刘敏 审核人：马焕新、冯伟记
第I卷（选择题，共60分）
一、1-5 BDDCC 6-10 BCBAD 11-12 AC
二、13． 14． 15． 16．
三、17．解：（Ⅰ） ①
②
①-②得：整理得：
数列的各项均为正数，
时，数列是首项为公差为的等差数列 6分
（Ⅱ）由第一问得
12分
18．(1) ……………2分
………………4分
解得=179 所以污损处是9.………………6分
(2)设“身高为176 cm的同学被抽中”的事件为A，
从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学有：{181,173}，{181,176}，{181,178}，{181,179}，{179,173}，{179,176}，{179,178}，{178,173}，{178,176}，{176,173}共10个基本事件，………………8分
而事件A含有4个基本事件，………………10分
∴P(A)＝＝………………12分
19．
(1)分别取和中点、，连接、、，则,,所以,四边形为平行四边形．,又∥．…………4分
(2)在平面内作,
因为侧棱⊥底面,
所以平面⊥底面,且平面底面,
所以,所以．…………7分
（或平面中，所以）
因为,所以．
,,…………10分
…………12分
的最大值为
20．解：（Ⅰ）联立，消并化简整理得．
依题意应有，解得．
设，则，
设圆心，则应有．
因为以为直径的圆与轴相切，得到圆半径为，
又 ．
所以 ，
解得．
所以，所以圆心为．
故所求圆的方程为．
（Ⅱ）因为直线与轴负半轴相交，所以，
又与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知，所以，
直线：整理得，点到直线的距离 ，
所以． 令，，
，
＋
0
－
极大
由上表可得的最大值为 ．所以当时，的面积取得最大值．
21．解：（Ⅰ）时，易知从而为单调减函数．………………４分
（Ⅱ）有两个极值点，
即有两个实根，所以
，得．
，得．………………6分
又，
所以………………8分
，得
………………10分
，
………………12分
另解：由两个实根，，
当时，所以单调递减且，不能满足条件．
当时，所以单调递减且
当时，所以单调递增且，
故当时，，当时，当时②，所以由两个实根需要．即
即，，从而可以构造函数解决不等式的证明．
有两个实根，不是根，所以由两个实根，，
当时，所以单调递减且，不能满足条件．
当时，所以单调递减且
当时，所以单调递增且，
故当时，，当时，当时②，所以由两个实根需要．即
即，，从而可以构造函数解决不等式的证明．
22解：(Ⅰ)证明：、、、四点共圆
．………………2分
且,
…………4分
．………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,又,
所以与相似,
，…………7分
又,　　，
根据割线定理得，……………9分
．……………10分
23．解：（Ⅰ）曲线的极坐标方程可化为
……………………………………………2分
又，[
所以曲线的直角坐标方程为…………4分
（Ⅱ）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得… ………6分
令，得，即点的坐标为(2，0)．
又曲线为圆，圆的圆心坐标为(1，0)，半径，则… ……8分
所以………………………10分
24．解：∵ a＞0，b＞0 且a+b=1 ∴ +=(a+b)( +)=5++≥9
，故+的最小值为9，……5分
因为对?a，b∈(0，+∞)，使+≥｜2x-1｜-｜x+1｜恒成立，
所以，｜2x-1｜-｜x+1｜≤9， 7分当 x≤-1时，2-x≤9，
∴ -7≤x≤-1，当 -1＜x＜时，-3x≤9，
∴ -1＜x＜，当 x≥时，x-2≤9， ∴ ≤x≤11，∴ -7≤x≤11 …… 10分