数学人教A版（2019）选择性必修第一册 2.1直线的倾斜角与斜率 课件（共49张ppt）

(共49张PPT)
背景意义
引导语：十六、十七世纪，为了描述现实世界中的运动变化现象，如行星的运动、平面抛体的运动等，需要对它们的运动轨迹进行精确的代数刻画，运动变化进入了数学，变量观念成为数学中的重要理念.在众多数学家工作的基础上，法国数学家笛卡儿、费马集其大成，创立了坐标系，用坐标刻画运动变化.这是解析几何的创始.
它的基本内涵和方法是：通过坐标系，把几何的基本元素——点和代数的基本对象——数(有序数对或数组)对应起来，在此基础上建立曲线(点的轨迹)的方程，从而把几何问题转化为代数问题，再通过代数方法研究几何图形的性质. 解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑，数学从此进入变量数学时期，它为微积分的创建奠定了基础.
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本章我们将在平面直角坐标系中，探索确定直线位置的几何要素，建立直线的方程，并通过直线的方程研究两条直线的位置关系、交点坐标以及点到直线的距离等. 类似地，通过确定圆的几何要素，建立圆的方程，再通过圆的方程研究与圆相关的问题；最后应用直线和圆的方程解决一些实际问题.
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第二章 直线和圆的方程
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第二章 直线和圆的方程
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2.1 直线的倾斜角与斜率
2.1.1倾斜角与斜率
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学习目标
素 养 目 标 学 科 素 养
1.初步了解解析几何的产生及其意义，初步认识坐标法思想 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念． 3.理解并掌握过两点的直线斜率的计算公式，会求直线的倾斜角和斜率． 1、数形结合
2、化归转化
3、数学运算
4、数学抽象
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我们知道，点是构成直线的基本元素．在平面直角坐标系中，可以用坐标表示点，那么，如何用坐标表示直线呢？为了用代数方法研究直线的有关问题，本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素，然后用代数方法把这些几何要素表示出来．
问题思考
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问题思考
问题1：直线是最简单的几何图形之一，确定一条直线的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的一条直线，如何利用坐标系确定它的位置？
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我们知道，两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线.设为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量.所以，两点确定一条直线可以归结为一点和一个方向确定一条直线.在平面直角坐标系中，经过一点可以作无数条直线，它们组成一个直线束(如图)，这些直线的区别是什么？
在平面直角坐标系中，我们规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向.因此，这些直线的区别是它们的方向不同.如何表示这些直线的方向？
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我们看到，这些直线相对于轴的倾斜程度不同，也就是他们与轴所成的角不同.因此,我们可以利用这样的角来表示这些直线的方向.
当直线与轴相交时，我们以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.图中直线的倾斜角为锐角，直线的倾斜角为钝角.当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为.因此直线的倾斜角的取值范围为
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这样，在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等.因此，我们可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向.
下面我们进一步研究刻画直线倾斜程度的方法.
设，(其中)是直线上的两点.由两点确定一条直线可知，直线由点，唯一确定.所以，可以推断，直线的倾斜角一定与
两点的坐标有内在联系.
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问题：在平面直角坐标系中，设直线的倾斜角为.
(1)已知直线经过，，与，的坐标有什么关系？
(2)类似地，如果直线经过，，与，的坐标又有什么关系？
(3)一般地，如果直线经过两点，，，那么与，的坐标有怎样的关系？
下面我们利用向量法探究上述问题.
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对于问题(1)，如图，向量，且直线的倾斜角为.由正切函数的定义，有
对于问题(2)，如图，向量
.平移向量到，则点的坐标为
，且直线的倾斜角也是.由正切函数的定义，有
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一般地，如图，当向量的方向向上时，且直线的倾斜角也是，由正切函数的定义，有
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同样，当向量的方向向上时，如图，，也有
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思考2：当直线与轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？
综上可知，直线的倾斜角与直线上的两点，的坐标有如下关系：.①
我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母表示，即.②
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倾斜角是的直线没有斜率，倾斜角不是的直线都有斜率.例如，倾斜角时，这条直线的斜率；倾斜角时，这条直线的斜率.
由正切函数的单调性，倾斜角不同的直线，其斜率也不同.因此，我们可以用斜率表示倾斜角不等于的直线相对于轴的倾斜程度，进而表示直线的方向.
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我们发现，在平面直角坐标系中，倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于轴的倾斜程度.
如果直线经过两点
，那么由①②可得如下的斜率公式：.
思考3：(1)已知直线上的两点，，运用上述公式计算直线的斜率时，与，两点的顺序有关吗？
(2)当直线平行于轴，或与轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？
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我们知道，直线上的向量以及与它平行的非零向量都是直线的方向向量.直线的方向向量的坐标为.
当直线与轴不垂直时，.此时向量也是直线的方向向量，且它的坐标为，即，其中是直线的斜率.因此，若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为，则.
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例1.设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转，得到直线，则直线的倾斜角为（ ）.
A. B. C. D.或
答案：D.
解：由倾斜角的取值范围知，只有当
，即时，的倾斜角才是.而，所以当时，的倾斜角为(如图).
知识讲解
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变1.若直线经过第二、四象限，则直线的倾斜角的取值范围是( ).
A. B.
C. D.
答案：C.
解：直线倾斜角的取值范围是，又直线经过第二、四象限，所以直线的倾斜角的取值范围是.
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方法技巧：
求直线倾斜角的方法及关注点
定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角.
关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论.
方法技巧
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例2.如图，已知，，，求直线，，的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
解：直线的斜率；
直线的斜率；
直线的斜率.
由及可知，直线与的倾斜角均为锐角；由可知，直线的倾斜角为钝角.
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变式1.[多选]已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若，则点的坐标可能为（ ）.
A. B. C. D.
答案：CD.
解：设或，
∵或，
∴或，∴，，
∴点的坐标为或.故选CD.
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变2.设，，，直线的斜率等于直线的斜率的3倍，则实数的值为_____.
答案：4.
解：依题意知直线的斜率存在，则.
由，得，∴.
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方法技巧：
求直线斜率的两种类型
一种是已知倾斜角求直线的斜率，注意倾斜角为的情况；另一种是已知两点的坐标求直线的斜率，注意斜率不存在的情况.
方法技巧
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变3.若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
答案：C.
解：∵直线的倾斜角为锐角，
∴斜率，∴.
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变4.已知两点，，过点的直线与线段有公共点.
(1)求直线的斜率的取值范围；
(2)求直线的倾斜角的取值范围.
解：如图，由题意可知，，
(1)要使与线段有公共点，则或，即直线的斜率的取值范围是.
(2)由题意可知直线的倾斜角介于直线与的倾斜角之间，又的倾斜角是，的倾斜角是，
∴的取值范围是.
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解决斜率问题的方法
(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式解决；
(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式求解；
(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解.
方法技巧
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1.确定一条直线的条件：
确定一条直线的条件是一点和一个方向.
规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向.
2.直线的倾斜角：
前提条件 直线与轴相交
定义 以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角
特殊情况 当直线
轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为
取值范围
课堂小结
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3.斜率的定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.
斜率常用小写字母表示，即.
4.斜率公式：过两点的直线的斜率公式为.
5.斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围)
斜率(范围) 不存在
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2.1 直线的倾斜角与斜率
2.1.2两条直线平行和垂直的判定
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学习目标
素 养 目 标 学 科 素 养
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程. 2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围． 1、数学运算
2、数学抽象
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为了在平面直角坐标系中用代数方法表示直线，我们从确定直线位置的几何要素出发，引入直线的倾斜角，再利用倾斜角与直线上点的坐标关系引入直线的斜率，从数的角度刻画了直线相对于轴的倾斜程度，并导出了用直线上任意两点的坐标计算斜率的公式，从而把几何问题转化为代数问题.下面，我们通过直线的倾斜角和斜率判断两条直线的位置关系.
思考1：我们知道，平面中两条直线有两种位置关系：相交、平行.当两条直线与直线平行时，它们的斜率与满足什么关系？
l
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如图，若，则与的倾斜角与相等，由，可得，即.因此，若，则.
反之，当时，，由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知，，因此.
于是，对于斜率分别为的两条直线，有
显然，当时，直线的斜率不存在，此时.
若直线重合，此时仍然有.用斜率证明三点共线时，常常用到这个结论.
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例2.已知，，，，试判断直线与的位置关系，并证明你的结论.
解：如图，由已知可得直线的斜率，
直线的斜率.
因为，所以直线
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例3.已知四边形的四个顶点分别为，试判断四边形的形状，并给出证明.
解：如图，由已知可得
边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，
边所在直线的斜率，边所在直线的斜率为.
因为，所以
因此四边形是平行四边形.
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显然，当两条直线相交时，它们的斜率不相等；反之，当两条直线的斜率不相等时，它们相交.在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形.当直线垂直时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的数量关系？
设两条直线的斜率分别为，则直线的方向向量分别是
，，
于是，即.
也就是说，.
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当直线或的倾斜角为时，若，则另一条直线的倾斜角为；反之亦然.
由上我们得到，如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果两条直线的斜率之积等于，那么它们互相垂直.即
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例4.已知，试判断直线与的位置关系.
解：直线的斜率，
直线的斜率.
因为，所以直线.
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例5.已知三点，试判断的形状.
解：边所在直线的斜率，
边所在直线的斜率
由，得即
所以是直角三角形.
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1.[多选]下列直线与直线与不重合)平行的有（ ）.
A.经过点，经过点
B.的斜率为2，经过点
C.的倾斜角为，经过点
D.经过点，经过点
答案：ACD.
解：对于A，∵，，∴，∴；
对于B，∵，∴不平行于；
对于C，∵，∴，∴
对于D，，斜率均不存在，∴.
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2.已知，，，四点，若直线与直线平行，则____.
答案：3.
解：，当，即时，，不存在.
∴和不平行；当时，.由，得，即.∴或.
当时，，，∴与平行.当时，
，，，∴与重合.
∴当时，直线和直线平行.
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3.判断下列各题中与是否垂直.
(1)经过点；经过点
(2)的斜率为10；经过点
(3)经过点；经过点
解：(1)∵，，，∴与不垂直.
(2)∵，，∴，∴.
(3)由的横坐标相等得的倾斜角为，则轴.，则轴，∴.
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4.若直线经过点和，且与经过点斜率为的直线垂直，则实数的值为( ).
A. B. C. D.
答案：A.
解：易知不符合题意.当时，直线的斜率，
由，得，故选A.
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5.已知直线经过点，直线经过点
①若，求的值；
②若，求的值.
解：据题意，
①若，则即解得或 .
经经验，当或时，.
②若，当时，，此时，，不符合题意.
当时，的斜率存在，此时由得
解得或∴当或时，.
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6.已知，四点，若顺次连接四点，试判断四边形的形状.
解：由题意知四点在坐标平面内的位置如图所示，
由斜率公式可得，，
，.
所以，由图知与不重合，所以.
由所以与不平行.
又因为，所以，故四边形为直角梯形.
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1.两条直线平行与斜率之间的关系：
设两条不重合的直线，，斜率若存在且分别为
，倾斜角分别为，.则对应关系如下：
条件
图示
对应关系 两直线斜率都不存在
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2.两条直线垂直与斜率之间的关系：
设两条不重合的直线，的斜率分别为，则对应关系如下：
图示
对应关系 与的斜率都存在，分别为，， 则 与中的一条斜率不存在(倾斜角为90)，另一条斜率为零(倾斜角为0)，则与的位置关系是
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