高二数学试题（B）参考答案
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．A 2．C 3．C 4．A 5．B 6．A 7．B 8．B
二、多项选择题：本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求，全部选对的得 5分，选对但不全的得 2分，有选错的得 0分．
9．ACD 10．ABD 11．ABD 12．BC
三、填空题：本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20分．把答案填在答题卡的相应位置．
π π
13． 14．±2 5 或 0 15． 2 16．
3 3
四、解答题：本大题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（10 分）
1
解:（1）线段 AB 的中点为C (2,1) ,kAB = ， ……………………2 分
2
故线段 AB 的中垂线的方程为 y 1 = 2( x 2) ， ……………………4 分
即 2x + y 5 = 0 ， ……………………5 分
（2）由条件线段 AB 的中点为C (2,1) 在直线上或线段 AB 所在直线与直线平行，
线段 AB 的中点为C (2,1) 在直线上 a = 1； ……………………8 分
1
线段 AB 所在直线与直线 t 平行 a = ． ……………………10 分
2
18.（12 分）
x2 y2
解:（1）设椭圆的方程为 + =1，
a2 b2
c 2
所以2a = 2 2, = ，解得c =1，……………………3 分
a 2
x2
所以b =1，所以 + y2 =1; ……………………5 分
2
x2
+ y2 = 1，
（2）根据题意可得 2
y = x + t，
3x2 + 4tx + 2(t 2 1) = 0， ……………………7 分
= 8t 2 + 24 > 0，
x1 +
4t
x2 = ，
3
( ) ……………………9 分 2 t 2 1
x1x2 = ， 3
高二数学答案（B）第 1 页（共 5 页）
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2 2
= + 2 ( + )2 16t
8(t 1) 4 2
AB 1 k x1 x2 4x x ， 1 2 = 2 × =
9 3 3
16t 2 24(t 2 1) =16，则 t 2 =1，解得 t = ±1，经检验，符合题意．……12 分
19.（12 分）
解:（1）设交点为 ( x, y)，
x = t，
所以
(x 1)2 + y2 = (t +1)
2，
y2所以 = 4x； ……………………4 分
（2）设直线 AB 为 y = k ( x 1) ，
y 2 y 2
A 1 , y
2
1 , B , y2 , y1 > 0, y2 < 0，
4 4
y
2 = 4x， k 2
y y k = 0 ，
y = k ( x 1)，4
+ = 4 y1 y2 ，
k
y1 y2 = 4，
因为 AF = 2FB，
y1 = 2y2，
所以
y
2 2
1 1 = y2 2，
4 2
所以 y2 = 2, y = 2 2 ，……………………7 分 1
1 9
所以 A(2,2 2 ) , B , 2 , AB = ，
2 2
直线 AB : y = 2 2 ( x 1)， ……………………8 分
2
设点P ( p2 , 2 p) , < p < 2 ，
2
2 2 9
2 2 p2 2 p 2 2 2 2 | ( p ) |
点 P 到直线 AB 的距离为 d = = 4 8 3 2 ，
1+ (2 2)2 3 4
1 1
所以 S ABP = d AB ×
3 2 × 9 = 27 2 ． ……………………12 分
2 2 4 2 16
高二数学答案（B）第 2 页（共 5 页）
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20.（12 分）
2
解:（1）圆 C： (x 1) +(y 1)2 =1的圆心为C (1,1) ，半径 r =1，
当经过点 A(2, 4)的直线 l 与 x 轴垂直时，方程为 x=2，恰好到圆心 C 到直线的距离等
于半径，此时直线 l 与圆相切，符合题意； ………………2 分
当经过点 A(2, 4)的直线 l 与 x 轴不垂直时, 设直线 l 为 y 4 = k(x 2) ,
即 kx y 2k + 4 = 0，
| k 1 2k + 4 |
由圆 C 到直线的距离 d=r，得 =
4
1，解得 k = ，
k 2 +1 3
此时直线的方程为 y 4 =
4
(x 2)，化简得4x 3y + 4 = 0， ………………6 分
3
综上圆的切线方程为 x=2或4x 3y + 4 = 0， ………………7 分
（2） (x + 3)2 + (y + 4)2可以看作圆上动点 (x, y)与定点 ( 3, 4) 距离的平方，
设圆心与点 ( 3, 4) 的距离为 a，则 d = (1+ 3)2 + (1+ 4)2 = 41 ，
所以圆上动点与定点 ( 3, 4)距离的最大值为 d + r = 41 +1，最小值为
d + r = 41 1，
2 2
故 ( x + 3) + ( y + 4) 的最大值为 42 + 2 41，最小值为 42 2 41，………………9 分
2
即 ( x + 3) + ( y + 4)2 的取值范围 42 2 41,42 + 2 41 . ………………12 分
21.（12 分）
解:（1）若选①设椭圆的焦距为 2c，直线 l 恒过定点 ( 2,0)，所以 c = 2 . …………1 分
b + 2
椭圆的下顶点 (0, b) 到直线 l的距离 d = ，
2
b + 2
a = ，
由题意得 2 解得a = 2，b = 2 .
a
2 = b2 + 2，
2 2
x + y所以椭圆 C 的标准方程为 =1； ………………4 分
4 2
6
若选②因为 A(-2，0)，(1， )都在 C 上，
2
a = 2，
2
a = 2，
所以 6 解得
1 2
b = 2，
+ =1，
2 2a b
2 2
x y
所以椭圆 C 的标准方程为 + =1； ………………4 分
4 2
若选③由对称知：P3 ，P4 都在椭圆 C 上，对于椭圆在第一象限的图像上的点(x，y)，
易知 y 是 x 的减函数，故 P1 ， P3 只有一个点符合，显然 P1 不在椭圆上，
所以P2 ， P3 ，P4 三点在椭圆上，所以b = 2 ，………………2 分
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1 + ..6.. = 1
将 P3 代入椭圆方程可得 a
2 4 ，解得a = 2，………………3 分
2
x2 y2
所以椭圆 C 的方程为 + =1； ………………4 分
4 2
（2）设直线 AM 的斜率为 k，即直线 AM 的方程为 y＝k(x+2)，
y = k ( x + 2)，
2 2 2 2
联立直线 AM 与椭圆方程 x2 2 化简整理可得(2k ＋1)x ＋8k x＋8k －4＝0，
+
y =1，
4 2
4 2 2
△＝64k －4(2k +1)(8k －4)＝16＞0，
8k 2 4 2 4k 2 4k
设 M（x1，y1），由韦达定理可得， 2x ，即 ，y = k1 = x = ( x + 2) = ，
2k 2 + 11 2k 2 + 1 1 2k 21 +1
因为直线 BN 的斜率等于直线 AM 的斜率的 2 倍，
所以可得直线 BN 的方程为 y＝2k（x－2），
y = 2k ( x 2)，
联立直线 BN 与椭圆方程 x2 y2
+ =1，
4 2
2 2 2 2
化简整理可得(8k ＋1)x －32k x＋32k －4＝0，
2 2 2 2
△＝(32k ) －4(8k +1)(32k －4)＝16＞0，
2
32k 4
设 N (x2，y2)，由韦达定理可得 2x = ， 2
8k 2 +1
2
16k 2 = ( ) = 8k即 x = ， y2 2k x2 2 ，………………9 分 2 2 + 8k 28k 1 +1
由对称性，不妨设 k＞0，
1 4k 8k
则四边形 AMBN 的面积 S = × 4× ( y y1 2 ) = 2 +2 + 2 + ＝ 2 2k 1 8k 1
4k + 1 1
4k 3 + k 4k +k k
24× ( )( = 24× = 24× 2k 2 +1 8k 2 +1) + 1 1 1 8k 2 2k + 16k + +10
k k k
2
4k + 1 = 24
= 24× k + 1 22 4k + ，
1 k 1
4k + + 2 4k +
k k
令 t = 4k +
1 1 1 1 1
,则4k + ≥ 2 × 4k = 4,当且仅当4k = ，即 k = ，等号成立，
k k k k 2
= 24 ≤ 24 = 16 16则 S ,故 S 的最大值为 ． ………………12 分
+ 2 + 1 3t 4 3
t 2
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22.（12 分）
a2 b
解:（1）设直线 x = 与 x 轴交于点 D ，不妨取一条渐近线 l1： y = x ，
c a
则 tan∠ =
b = ∠ = 2abAOD ，所以 AB 2 OD tan AOD ，…………………2 分
a c
bc
又 F 到 l1：bx ay = 0的距离d = = b，
a2 + b2
= 2ab = = 2 3 c 2 3所以 AB 3b，即c a ，所以e = = ．……………5 分
c 3 a 3
2 3
（2）由（1）可知，c = a ，
3
2 4 2 2 2
所以c = a = a + b ，所以a2 = 3b2，……………………6 分
3
x2 y
2
所以双曲线C 的方程为 = 1，即 x2 3y2 3b2 = 0，则 F (2b,0)，直线 l：
3b2 b2
x = y + 2b ，
x = y + 2b，
由 消去 x
2
2 可得 2y + 4by + b
2 = 0，
x 3y
2 3b2 = 0，
( b
2
设M x1, y1 )， N ( x2 , y2 ) ，则由根与系数的关系可得 y1 + y2 = 2b ， y ， 1y2 = 2
……………………8 分
x = λx1 + x2，
设 P ( x, y) ，则由OP = λOM + ON ，可得
y = λ y1 + y2，
(λx + x )2 3(λ y + y )2 3b2由点 P 在双曲线上，可得 1 2 1 2 = 0 ， ………… 9 分
2
即λ ( x21 3y21 ) + 2λ (x1x2 3y1y2 ) + 2 (x22 3y2 22 ) 3b = 0，
因为 x1x2 3y1y2 = ( y1 + 2b)( y2 + 2b) 3y1y2 = 2y1y2 + 2b ( y1 + y2 ) + 4b2 = 9b2 ，
x21 3y
2
1 = 3b
2 x2 3y2 = 3b2， 2 2 ，
2
所以λ + 6λ + 2 =1． ……………………12 分
高二数学答案（B）第 5 页（共 5 页）
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(i-:○队5（代1）0
2023一2024学年度第一学期期中考试
克i表(
高二数学试题(B)
2023.11
注意事项：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，（考试时间120分钟.
2答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置.
(S1).g
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题
卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径05毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的
答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效，
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1.若直线1：ax+3y+1=0与2：2x+(a+)y+1=0互相平行，则a的值是
A.-3
B.2
C.-3或2D.3或-2；
2.已知点A(2,1),点B在直线x-y+3=0上，则AB的最小值为0·c背t
A.√5
B.√26四张，C.2√2直七D.4
3.
抛物线y=4x的焦点坐标为
B
0,3
0<0
660
4.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上若M到直线x=-1的距离为3，则MF=
A.4
.的岛B.5门点千C6A后：点两8D.7日
5.
已知直线1：(a-2)x十y-3=0,圆C:(x-1)2+y2=5.则“a=0”是“1与C相切”的
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件曲来(【
C.充要条件
交D.既不充分也不必要条件碳5S
6.明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图(1)所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2)
所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图(3)所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆.已知图(1)，
(2)，(3)中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为
4549
9'477
设图(1)，(2)，(3)
中椭圆的离心率分别为e1,e2,e3,则
(1)
(2)
(3)
A.e1>e3>e2
B.e2>e3>e1
C.e1>e2>e3
D.e2>e1>e3
高二数学试题(B)第1页（共4页）
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7.设抛物线C:2=4x的焦点为F,准线为1，点M为C上一动点，E(4,1)为定点，则下列
结论错误的是
A.准线1的方程是x=-1,B,M-MF的最大值为2图两本
Q,,C.ME+M网的最小值为51》1点D.以线段MF为直径的圆与y轴相切
&,已知双曲线二-二=1的右焦点为R,点A9,2,M是双曲线上的一点，当到M+引MF
916
取得最小值时，点M的坐标为
A,(35
3v5
B.22
mC.(9,-8V2)
D.(9,82)
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9.己知圆C:x2+(0+3)2=4,则出曰咨就.代代共小女大本：醒含，四
A.点(1，-2)在圆C的内部
B.圆C的直径为2《位0)下
C.过点(2，-3)的切线方程为x=2
:D直线y=x与圆C相离水
x20y2+直8动
10.在平面直角坐标系xOy中，己知双曲线C:
-y=1,则
412
A.C的离心率为2
B.C的渐近线方程为y=±V5x
C.C的实轴长为2
式汁瓣升醉￥音点淇DC的右焦点到渐近线的距离为2√5
11.2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新1og0(如图所示)，
设计师的灵感来源于曲线C:
+
=10n0,neR),当n=4,a=2,
b=1时，下列关于曲线C的判断正确的有
A.C关于x轴和y轴对称
B,C所围成的封闭图形的面积小于8
C.设M(5,0),直线x-y+V5=0交C于P,2两点，则△P2M的周长小于8
D.C上的点到原点O的距离的最大值为174
式：西心行润
12.已知椭圆G:于+茶-a>6>0的左、右焦点分别为，：离心率为6箱圆G的
上顶点为M,且∠MFR-若，双曲线9和精圆G有相同的熊点，且双曲线G的离心
率为e,P为曲线C与G的-个公共点.若∠RPR=受，则
A.
=2
e12
c.+6-号
D.e2-e2=1
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