江苏省南京市联合体学校2023~2024学年上学期八年级上学期期中数学试题（含答案）

2023～2024学年度第一学期期中学情分析样题
八年级数学
注意事项：
1．本试卷共6页．全卷满分100分．考试时间为100分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下面是各届亚运会的会标，其中是轴对称图形的是
A． B． C． D．
2．下列各组数中，是勾股数的是
A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．6，8，10
3．如图，用纸板挡住了三角形的一部分，小明根据所学知识重新画出了一个与原来完全一样的三角形，他的依据是
A．AAS B．ASA C．SAS D．SSS
(
（第
3
题）
（第
4
题）
D
B
C
A
E
)
(
（第
5
题）
1
3m
5m
)
4．如图，△ABC≌△ADE，∠B＝30°，∠E＝100°，∠CAD＝20°，则∠BAD的度数为
A．20° B．25° C．30° D．50°
5．下列条件能判断△ABC为等腰三角形的是
A．∠A＝40°，∠B＝50° C．∠A＝40°，∠B＝70° B．∠A＝40°，∠B＝60° D．∠A＝40°，∠B＝80°
6．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要
A．13m B．17m C．18m D．25m
(
（第
6
题）
13m
5m
A
C
B
（第
8
题）
A
C
B
D
E
F
（第
7
题）
)
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB的中点，E，F分别在边AC，BC上，且AE＝CF．下列结论：①DE＝DF；②DE⊥DF；③S四边形ECFD＝S△ABC．其中所有正确结论的序号是
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝20°．若某个三角形与△ABC能拼成一个等腰三角形（无重叠），则拼成的等腰三角形有
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．角的对称轴是▲．
10．等腰三角形的顶角为80°，底角的度数为▲°．
(
A
B
C
D
（
第
14
题
）
A
B
C
D
E
（
第
11
题
）
A
C
B
D
O
（
第
15
题
）
)11．如图，AB＝AC，用定理“SAS”证明△ABD≌△ACE，还需添加条件：▲．
12．若一个等腰三角形的周长为10，其中一边长为4，则该等腰三角形的腰长为▲．
13．等腰三角形的腰长为5，底边长为6，则底边上的高为▲．
14．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AC⊥CD，AC＝CD．若AB＝3，BC＝1，则△ACD　 的面积为▲．
15．如图，在△AOC中，以O为圆心，OA为半径画弧，分别交AC，OC于点D，B．若CD＝OA，∠O＝72°，则∠OAC＝▲°．
(
A
B
C
D
E
（
第
16
题
）
O
l
1
l
2
B
C
A
（
第
17
题
）
)16．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．若△ABC的面积为10，AB＝6，BC＝4，则DE的长为 ▲ ．
17．如图，△ABC的边BC，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O．若∠A＝110°，则∠BOC＝▲°．
18．在△ABC中，∠A＝30°，AB＝2．若对于BC的每一个值，对应的△ABC的形状、大小都唯一确定，则BC长的取值范围是▲．
三、解答题（本大题共8小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（7分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与线段AB关于直线l成轴对称的线段A′B′；
（2）在直线l上确定一点P，使PA＋PB最短．
(
A
B
l
（第
19
题）
)
(
（第
20
题）
A
C
1
2
B
E
)20．（7分）如图，AC＝AE，∠1＝∠2，AB＝AD．求证BC＝DE．
(
D
)
　
21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是中线，BF是角平分线，∠C＝70°．
(
A
B
C
（第
2
1
题）
E
F
1
)求∠BAE和∠1的度数．
22．（8分）证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）．
(
A
B
C
（第
22
题）
)已知：如图，在△ABC中，▲．
求证：▲．
证明：
23．（8分）如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，且DC＝BE，G是CE的中点．
（1）求证DG⊥CE；
(
A
B
C
D
E
G
（第
2
3
题）
)（2）若AB＝AC，DG＝2，则AB的长为▲．
24．（8分）如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B，C，DE交BC于点E，AB＝EC，AC＝DE．
（1）求证AC⊥DE；
(
A
B
C
D
E
（第
24
题）
)（2）连接AD，若AB＝a，BC＝b，AC＝c，通过用不同方法计算四边形ABCD的面积，验证勾股定理．
25．（8分）如图，已知线段a和∠MAN．在边AM上作点B，在边AN上作点C，分别满足下列条件：
（1）在图①中，AB＝a，AC＝BC；
（2）在图②中，BC＝a，AB＝AC．
（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．
(
a
A
N
M
A
N
M
①
②
)
26．（10分）
【概念认识】
定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点．
(
C
A
B
①
)如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，A是B，C两点的勾股点，B是A，C两点的勾股点，C是A，B两点的勾股点，也是强勾股点．
(
②
A
B
C
D
)
【概念运用】
（1）如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在格点上，线段CD上的8个格点中，是A，B两点的勾股点的有▲个．
(
C
A
B
D
③
)（2）如图③，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，若AD＝1，BD＝4，CD＝2．
(
C
A
B
D
)求证：C是A，B两点的强勾股点．
【拓展提升】
(
C
A
B
D
④
)（3）如图④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，D是AC的中点，P是射线BD上一个动点，当P是Rt△ABC任意两个顶点的强勾股点时，直接写出BP的长．
2023－2024学年度第一学期期中学情分析样题
八年级数学参考答案
说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．
一、选择题 (本大题共8小题，每小题2分，共16分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B C C B D D
二、填空题 (本大题共10小题，每小题2分，共20分)
9．角平分线所在的直线 10．50° 11．AE＝AD 12．3或4 13．4
(
C
A
B
l
（第
19
题）
A'
B
'
P
)14．5 　15．72° 　16．2 17．140° 18．BC＝1或BC≥2
三、解答题（本大题共8小题，共64分）
19．（7分）
（1）画对A′B′；……………………4分
（2）画对点P．……………………7分
20．（7分）
证明：∵∠1＝∠2，
(
D
（第
20
题）
A
C
1
2
E
)∴∠1＋∠EAB＝∠2＋∠EAB．
即∠CAB＝∠DAE．……………………2分
在△BAC和△DAE中， 4分
∴△BAC≌△DAE（SAS），…………………………………………………………6分
∴BC＝DE．……………………………………………………………………………7分
(
A
B
C
（第
2
1
题）
E
F
1
P
)21．（8分）
解：∵ AB＝AC，∠C＝70°，
∴∠ABC＝∠C＝70°．…………………………………………………………2分
∵ AB＝AC，AE是中线，
∴AE⊥BC，即∠AEB＝90°．…………………………………………………………3分
∴∠BAE＝90°－70°＝20°．…………………………………………………………4分
∵∠ABC＝70°，BF是∠ABC的平分线，
∴∠CBF＝35°．…………………………………………………………………6分
∵∠1是△BPE的外角，
(
A
B
C
D
（第
22
题）
)∴∠1＝90°＋35°＝125°．……………………………………………………………8分
22．（8分）
∠B＝∠C； 1分
AB＝AC． 2分
证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D． 3分
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°． 4分
∵ 在△ADB和△ADC中，∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC，AD＝AD， 6分
∴ △ADB≌△ADC（AAS）． 7分
(
A
B
C
D
E
G
（第
2
3
题）
)∴AB＝AC． 8分
23．（8分）
证明：（1）①连接DE，
∵CE是△ABC的中线，
∴DE是△ABD的中线．
∵AD是高，
∴∠ADB＝90°，又DE是△ABD的中线．
∴DE＝AB＝BE．…………………………………………………………………………2分
∵DC＝BE，
∴DC＝DE．…………………………………………………………………………4分
∵G是CE的中点，
∴DG⊥CE；…………………………………………………………………………6分
（2）8．……………………………8分
24．（8分）
（1）∵ AB⊥BC，DC⊥BC，
∴ ∠ABC＝∠ECD＝90°．………………1分
在Rt△ABC和Rt△ECD中，
∴△ABC≌△ECD（HL）． ………………2分
(
A
B
C
D
E
F
（第
24
题）
)∴∠DEC＝∠CAB．……………3分
∵ ∠ABC＝90°，
∴∠CAB＋∠BCA＝90°．
∴∠DEC＋∠BCA＝90°．
∴∠EFB＝90°．………………………………………………………………………………4分
即AC⊥DE．
（2）连接AE．
∵△ABC≌△ECD，
∴ EC＝AB＝a，DC＝BC＝b，DE＝AC＝c，BE＝b－a．
∴ S四边形ABCD＝(a＋b)b＝ab＋b2．…………………………………………………5分
∵ AC⊥DE，
∴ S四边形ACBD＝S四边形AECD＋S△ABE＝c2＋a(b－a)＝c2＋ab－a2．……………………6分
∴ab＋b2＝c2＋ab－a2． ………………………7分
即a2＋b2＝c2． ………………………………………………………………………………8分
25．（8分）
(
C
A
B
A
B
C
A
B
C
①
②
)（1）如图①所示．…………………………………………………………………………4分
（2）法一：如图②所示．………………………………………………………………8分
(
A
B
C
a
) 法二：如图所示．………………………………………………………………8分
法三：如图所示．………………………………………………………………8分
26．（10分）
（1）4． …………………………………………………………………………………2分
（2）证明：如图，∵CD⊥AB．
∴∠CDA＝∠CDB＝90°，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＋DC2＝AC2，
∴AC2＝12＋22＝5． ………………………………………………………………………3分
在Rt△BCD中，由勾股定理得：CD2＋BD2＝BC2，
∴BC2＝22＋42＝20． …………………………4分
在△ACB中，
∵AC2＋BC2＝5＋20＝25，
又∵AB2＝52＝25，
∴AC2＋BC2＝BC2．…………………………………………………………………………5分
∴由勾股定理逆定理得：△ACB是直角三角形
∴点C是A，B两点的强勾股点．………………………………………………………6分
（3）2，，，8．………………………………………………………10分
(
C
A
B
D
BP
＝
2
P
P
C
A
B
D
BP
＝
8
C
A
B
D
BP
＝
P
C
A
B
D
BP
＝
P
)