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2024年人教版九年数学下册同步及知识拓展学讲练测讲义（全国通用）
讲座二 相似
专题08 相似单元综合检测试卷
试卷满分100分，考试时间90分钟
一、单选题（5个小题，每空4分，共20分）
1.如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】D
【解析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可．
∵直线l1∥l2∥l3，∴.∵AB=5，BC=6，EF=4，∴.∴DE=.
2．矩形的两边长分别为a,b,下列数据能构成黄金矩形的是（ ）
A．a=4,b=+2 B．a=4,b=-2 C．a=2,b=+1 D．a=2,b=-1
【答案】D
【解析】黄金矩形的长宽之比为黄金分割比，即宽：长= ，只有选项D中b：a= ，故选D．
3. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（ ）
A. 9cm B. 12cm C. 15cm D. 18cm
【答案】C
【解析】根据平行得到，根据相似的性质得出，再结合，DE＝6cm，利用相似比即可得出结论．
在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DEBC，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查利用相似求线段长，涉及到平行线的性质、两个三角形相似的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
4．如图，在中，点在边上，若，，且，则线段的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】∵∠BCD＝∠A，∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，∴，
∵BC＝3，BD＝2，∴，∴BA＝，∴AD＝BA BD＝ 2＝．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
5.如图，相交于点E，，则的长
为（ ）
A. B. 4 C. D. 6
【答案】C
【解析】根据相似三角形对应边长成比例可求得BE的长，即可求得BD的长．
∵
∴
∴
∵，
∴
∵
∴
【点睛】本题考查了相似三角形的对应边长成比例，解题的关键在于找到对应边长．
二、填空题（4个小题，每空5分，共20分）
1. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为______米．
【答案】或者
【解析】根据点E是AB的黄金分割点，可得，代入数值得出答案．
∵点E是AB的黄金分割点，
∴．
∵AB=2米，
∴米．
【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键．
2. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是_________．
【答案】
【解析】根据位似图形的性质，得到，根据得到相似比为，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到结论．
和是以点为位似中心的位似图形，
，
，
，
，
根据与的周长比等于相似比可得．
【点睛】本题考查相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键．
3. 如图，原点O是△ABC和△A′B′C′的位似中心，点A(1，0)与点A′(－2，0)是对应点，△ABC的面积是，则△A′B′C′的面积是________．
【答案】见解析
【解析】∵点A(1，0)与点A′(－2，0)是对应点，原点O是位似中心，∴△ABC和△A′B′C′的位似比是1∶2，∴△ABC和△A′B′C′的面积比是1∶4，又∵△ABC的面积是，∴△A′B′C′的面积是6.
方法总结：位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．
4. （2023浙江杭州）如图，在中，，点分别在边，上，连接，已知点和点关于直线对称．设，若，则_________（结果用含的代数式表示）．
【答案】
【解析】先根据轴对称的性质和已知条件证明，再证，推出，通过证明，推出，即可求出的值．
点和点关于直线对称，
，
，
．
，
，
点和点关于直线对称，
，
又，
，
，
，，
点和点关于直线对称，
，
，
，
，
在和中，
，
．
在中，，
，，
，
，
，
，
，，
．
，
，
解得，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质等，有一定难度，解题的关键是证明．
三、解答题（本大题共7题，满分60分）
1.（8分）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，为平面直角坐标系的原点，矩形的4个顶点均在格点上，连接对角线．
（1）在平面直角坐标系内，以原点为位似中心，把缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与的相似比等于；
（2）将以为旋转中心，逆时针旋转，得到，作出，并求出线段旋转过程中所形成扇形的周长．
【答案】（1）见详解；（2）见详解； 弧长是
【解析】（1）根据位似图形的定义作图即可；（定义：如果两个图形不仅相似，而且对应点的连线交于一点，这两个图形叫做位似图形，交点叫做位似中心；）
（2）根据图形旋转的方法：将顶点与旋转中心的连线旋转即可得旋转后的图形；OB旋转后扇形的半径为OB长度，在坐标网格中，根据直角三角形勾股定理可得OB长度，然后代入扇形弧长公式,同时加上扇形两半径即可求出答案．
【详解】（1）位似图形如图所示
（2）作出旋转后图形，
，
周长是．
【点睛】题目主要考察位似图形的画法、旋转图形画法、勾股定理及弧长公式的计算，难点是对定义的理解及对公式的运用．
2．(8分)如图，在矩形中，是的中点，，垂足为．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】证明：（1）∵四边形是矩形，∴，．∴，
∵，∴．∴，∴．
解：（2）∵，∴．
∵，是的中点，∴．
∴在中，．
又∵，∴，∴．
【点晴】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键.
3. （8分）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA的延长线于F.求证：AC·CF＝BC·DF.
【答案】见解析
【解析】先证明△ADC∽△CDB可得＝，再结合条件证明△FDC∽△FAD，可得＝，则可证得结论．
证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠DAC＋∠B＝∠B＋∠DCB＝90°，∴∠DAC＝∠DCB，且∠ADC＝∠CDB，∴△ADC∽△CDB，∴＝.∵E为BC的中点，CD⊥AB，∴DE＝CE，∴∠EDC＝∠DCE，∵∠EDC＋∠FDA＝∠ECD＋∠ACD，∴∠FCD＝∠FDA，又∠F＝∠F，∴△FDC∽△FAD，∴＝，∴＝，∴AC·CF＝BC·DF.
方法总结：证明等积式或比例式的方法：把等积式或比例式中的四条线段分别看成两个三角形的对应边，然后证明两个三角形相似，得到要证明的等积式或比例式．
4. （8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5m，AB＝10m.M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1m/s；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2m/s.运动时间为ts.
(1)当t为何值时，△AMN的面积为6m2
(2)当t为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值．
【答案】见解析
【解析】(1)作NH⊥AC于H，证得△ANH∽△ABC，从而得到比例式，然后用t表示出NH，根据△AMN的面积为6m2，得到关于t的方程求得t值即可；(2)根据三角形的面积计算得到有关t的二次函数求最值即可．
解：(1)在Rt△ABC中，∵AB2＝BC2＋AC2，∴AC＝5m.如图，作NH⊥AC于H，∴∠NHA＝∠C＝90°，∵∠A是公共角，∴△NHA∽△BCA，∴＝，即＝，∴NH＝t，∴S△AMN＝ t(5－t)＝6，解得t1＝，t2＝4(舍去)，故当t为秒时，△AMN的面积为6m2.
（2）S△AMN＝t(5－t)＝－(t2－5t＋)＋＝－(t－)2＋，
∴当t＝时，S最大值＝m2.
方法总结：解题的关键是根据证得的相似三角形得到比例式，从而解决问题．
5. （8分）（2023湖南湘潭）在中，是斜边上的高．
（1）证明：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证；
（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵是斜边上的高．
∴，
∴，
∴
又∵
∴，
（2）∵
∴，
又
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
6.（10分） （2023浙江温州）如图，已知矩形，点E在延长线上，点F在延长线上，过点F作交的延长线于点H，连结交于点G，．
（1）求证：．
（2）当，时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得出，根据矩形的性质得出，，即可证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解；
（2）根据，得出，设，则， ，，根据相似三角形的性质列出等式，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，即．
（2）∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
设，∵，
∴，，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
7.（10分） （2023武汉）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，正方形四个顶点都是格点，是上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图（1）中，先将线段绕点顺时针旋转，画对应线段，再在上画点，并连接，使；
（2）在图（2）中，是与网格线的交点，先画点关于的对称点，再在上画点，并连接，使．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】【分析】（1）取格点F，连接BF，连接，再取格点P，连接交于Q，连接，延长交于G即可．
（2）取格点F，连接BF、，交格线于N，再取格点P，Q，连接交于O，连接并延长交于H即可．
【详解】（1）如图（1）所示，线段和点G即为所作；
∵，，，
∴
∴
∴
∴线段绕点顺时针旋转得；
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴
由旋转性质得，，
∴．
（2）如图（2）所示，点N与点H即为所作．
∵，，，
∴，
∴
∵
∴与关于对称，
∵
∴M、N关于对称；
∵，
∴，
∴
∵
∴，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
由轴对称可得
∴．
【点睛】本题考查利用网格作图，轴对称性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定与性质．取恰当的格点是解题的关键．
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讲座二 相似
专题08 相似单元综合检测试卷
试卷满分100分，考试时间90分钟
一、单选题（5个小题，每空4分，共20分）
1.如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
2．矩形的两边长分别为a,b,下列数据能构成黄金矩形的是（ ）
A．a=4,b=+2 B．a=4,b=-2 C．a=2,b=+1 D．a=2,b=-1
3. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（ ）
A. 9cm B. 12cm C. 15cm D. 18cm
4．如图，在中，点在边上，若，，且，则线段的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
5.如图，相交于点E，，则的长
为（ ）
A. B. 4 C. D. 6
二、填空题（4个小题，每空5分，共20分）
1. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为______米．
2. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是_________．
3. 如图，原点O是△ABC和△A′B′C′的位似中心，点A(1，0)与点A′(－2，0)是对应点，△ABC的面积是，则△A′B′C′的面积是________．
4. （2023浙江杭州）如图，在中，，点分别在边，上，连接，已知点和点关于直线对称．设，若，则_________（结果用含的代数式表示）．
三、解答题（本大题共7题，满分60分）
1.（8分）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，为平面直角坐标系的原点，矩形的4个顶点均在格点上，连接对角线．
（1）在平面直角坐标系内，以原点为位似中心，把缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与的相似比等于；
（2）将以为旋转中心，逆时针旋转，得到，作出，并求出线段旋转过程中所形成扇形的周长．
2．(8分)如图，在矩形中，是的中点，，垂足为．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
3. （8分）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA的延长线于F.求证：AC·CF＝BC·DF.
4. （8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5m，AB＝10m.M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1m/s；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2m/s.运动时间为ts.
(1)当t为何值时，△AMN的面积为6m2
(2)当t为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值．
5. （8分）（2023湖南湘潭）在中，是斜边上的高．
（1）证明：；
（2）若，求的长．
6.（10分） （2023浙江温州）如图，已知矩形，点E在延长线上，点F在延长线上，过点F作交的延长线于点H，连结交于点G，．
（1）求证：．
（2）当，时，求的长．
7.（10分） （2023武汉）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，正方形四个顶点都是格点，是上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图（1）中，先将线段绕点顺时针旋转，画对应线段，再在上画点，并连接，使；
（2）在图（2）中，是与网格线的交点，先画点关于的对称点，再在上画点，并连接，使．
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