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2024年人教版九年数学下册同步及知识拓展学讲练测讲义（全国通用）
讲座二 相似
专题01 图形的相似基础知识
(
课标要求
)
1. 了解相似图形和相似比的概念。
2. 理解相似多边形的定义。
3. 能根据多边形相似进行相关的计算，会根据条件判断两个多边形是否相似。
(
知识点解读
)
1．相似图形的概念
形状相同的图形叫做相似图形.相似图形的大小不一定相同.两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到。
2．比例线段
判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．
3.相似多边形与相似比
（1）相似多边形的定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。
（2）相似多边形的特征：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
（3）相似比：相似多边形的对应边的比叫作相似比。
4．相似多边形的判定和性质
（1）判定：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形是相似多边形．
（2）性质：①相似多边形的对应角相等；
②相似多边形的对应边的比相等．
(
思维方法
)
1. 判断两个图形的形状是否相同的思维方法
应仔细观察，当两个图形的形状除了大小没有其他任何差异时，我们才可以说这两个图形形状相同．
2.线段比例问题思维方法
（1）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．
（2）求线段之比时，要先统一线段的长度单位，然后根据比例关系求值．
（3）比例尺＝图上距离∶实际距离．根据比例尺进行计算时，要注意单位的转换．
3. 多边形相似判定与性质问题思维方法
（1）判定两个多边形相似，需要对应角相等，对应边成比例，这两个条件缺一不可．
（2）若两个多边形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例．在书写两个多边形相似时，要注意把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上．
(
考点
例题讲析
)
【例题1】如图所示，给出的两个四边形是相似形，具体数据如图所示，求出未知边a、b的长度及角α的值．
【答案】
【解析】根据相似多边形对应角相等和对应边成比例解答．
因为四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，所以∠B′＝∠B＝63°，∠D′＝∠D，＝＝，所以＝＝，所以a＝5，b＝18.在四边形A′B′C′D′中，∠D′＝360°－(84°＋75°＋63°)＝138°.∠α＝∠D＝∠D′＝138°.
方法总结：若两个多边形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例．在书写两个多边形相似时，要注意把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上．
【例题2】如图，在四边形ABCD与四边形EFGH中，∠A=80°，∠B=90°，∠C=120°，∠F=90°，∠G=120°，∠H=70°，四边形ABCD与四边形EFGH相似吗？
【答案】见解析。
【解析】给出错解和正解两种情况的分析。
错解：在四边形ABCD中，由∠A=80°，∠B=90°，∠C=120°，得∠D=70°；
在四边形EFGH中，由∠F=90°,∠G=120°，∠H=70°，得∠E=80°.
∴ ∠A=∠E，∠B=∠F，∠C=∠G，∠D=∠H.
∴ 四边形ABCD与四边形EFGH相似.
剖析： 不能准确地由相似形的定义判定相似.要判定两个图形是否相似，要看对应角是否相等，对应边是否成比例，二者缺一不可.
正解：在四边形ABCD中，由∠A=80°，∠B=90°，∠C=120°，得∠D=70°；
在四边形EFGH中，由∠F=90°∠G=120°，∠H=70°，得∠E=80°.
∴ ∠A=∠E，∠B=∠F，∠C=∠G，
∠D=∠H，但是根据已知条件无法判定对应边是否成比例.
∴ 四边形ABCD与四边形EFGH不一定相似.
(
考点精炼
)
1.在如图所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和角的大小．
【答案】x=31.5,y=27,=83°．
【解析】∵两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等．
∴，
∴．
．
【点拨】利用图形相似，对应边成比例，对应角相等的性质来进行解题。
2. 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（ ）
A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm
【答案】C．
【解析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得．
设另一个三角形的最长边长为xcm，
根据题意，得： =，
解得：x=4.5，
即另一个三角形的最长边长为4.5cm，故选：C．
3. 如图，四边形 ABCD 和 EFGH 相似，求角α，β的大小和EH的长度 x.
【答案】见解析。
【解析】∵ 四边形 ABCD 和 EFGH 相似，
∴ 它们的对应角相等．由此可得
∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°.
在四边形ABCD中，
∠β＝360°－(78°＋83°＋118°)＝81°.
∵ 四边形ABCD和EFGH相似，
∴它们的对应边成比例，由此可得
解得 x ＝ 28 cm.
4.已知图中的两个梯形相似，求出未知边x、y、z的长度和的度数．
【答案】见解析。
【解析】解题中要充分利用相似多边形的特征和梯形的性质．
由于对应边成比例，所以．
所以．
由于对应角相等，所以
，
．
5.所有的正方形都相似吗？为什么？所有的矩形都相似吗？为什么？
【答案】见解析。
【解析】所有的正方形都相似，因为正方形的每个角都是90°，因此对应角都相等，而每一个正方形的边长都相等，因此对应边成比例．
所有的矩形不一定相似，虽然所有的矩形的角都相等，但对应的边不一定成比例，因此，矩形不一定相似．
6.如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4．
(1)求AD的长．
(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．
【答案】（1）4（2）/2
【解析】(1)由已知，得MN=AB，MD= AD=BC．
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，
∴AD2=AB2，
∴由AB=4得，AD=4
(2)矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为
7.如图所示，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q。
⑴请写出图中各对相似三角形(相似比为1 除外)；
(2)求BP∶PQ∶QR
【答案】见解析。
【解析】（1）△BCP∽△BER，△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ
（2）∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形
∴BC=AD=CE，
AC∥DE，
∴PB=PR，
又∵PC∥DR，∴△PCQ∽△RDQ
又∵点R是DE中点，∴DR=RE。
，∴QR=2PQ。
又∵BP=PR=PQ＋QR=3PQ
∴BP∶PQ∶QR=3∶1∶2
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讲座二 相似
专题01 图形的相似基础知识
(
课标要求
)
1. 了解相似图形和相似比的概念。
2. 理解相似多边形的定义。
3. 能根据多边形相似进行相关的计算，会根据条件判断两个多边形是否相似。
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知识点解读
)
1．相似图形的概念
形状相同的图形叫做相似图形.相似图形的大小不一定相同.两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到。
2．比例线段
判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．
3.相似多边形与相似比
（1）相似多边形的定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。
（2）相似多边形的特征：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
（3）相似比：相似多边形的对应边的比叫作相似比。
4．相似多边形的判定和性质
（1）判定：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形是相似多边形．
（2）性质：①相似多边形的对应角相等；
②相似多边形的对应边的比相等．
(
思维方法
)
1. 判断两个图形的形状是否相同的思维方法
应仔细观察，当两个图形的形状除了大小没有其他任何差异时，我们才可以说这两个图形形状相同．
2.线段比例问题思维方法
（1）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．
（2）求线段之比时，要先统一线段的长度单位，然后根据比例关系求值．
（3）比例尺＝图上距离∶实际距离．根据比例尺进行计算时，要注意单位的转换．
3. 多边形相似判定与性质问题思维方法
（1）判定两个多边形相似，需要对应角相等，对应边成比例，这两个条件缺一不可．
（2）若两个多边形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例．在书写两个多边形相似时，要注意把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上．
(
考点
例题讲析
)
【例题1】如图所示，给出的两个四边形是相似形，具体数据如图所示，求出未知边a、b的长度及角α的值．
【例题2】如图，在四边形ABCD与四边形EFGH中，∠A=80°，∠B=90°，∠C=120°，∠F=90°，∠G=120°，∠H=70°，四边形ABCD与四边形EFGH相似吗？
(
考点精炼
)
1.在如图所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和角的大小．
=83°．
2. 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（ ）
A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm
3. 如图，四边形 ABCD 和 EFGH 相似，求角α，β的大小和EH的长度 x.
4.已知图中的两个梯形相似，求出未知边x、y、z的长度和的度数．
5.所有的正方形都相似吗？为什么？所有的矩形都相似吗？为什么？
6.如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4．
(1)求AD的长．
(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．
7.如图所示，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q。
⑴请写出图中各对相似三角形(相似比为1 除外)；
(2)求BP∶PQ∶QR
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