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2024年人教版九年数学下册同步及知识拓展学讲练测讲义（全国通用）
讲座二 相似
专题04 相似三角形的综合应用
(
课标要求
)
1. 能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度.
2. 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决
问题的能力.
(
知识点解读
)
1.利用相似三角形测量高度
测高方法一：测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
测高方法二：测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.
2.利用相似三角形测量宽度
测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.
3.利用相似解决有遮挡物问题
(
思维方法
)
1. 利用影子的长度测量物体的高度方法总结
解答此类问题时，首先要把实际问题转化为数学问题．利用相似三角形对应边成比例建立相等关系求解．
2. 利用镜子的反射测量物体的高度方法总结
解本题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程．解题时要灵活运用所学各学科知识．
3. 利用标杆测量物体的高度方法总结
利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆(或直尺)的高(长)作为三角形的边构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
4. 利用相似三角形的性质设计方案测量高度方法总结
解题的关键是根据相似三角形的性质设计出具体图形，将实际问题抽象出数学问题求解．
(
考点
例题讲析
)
【例题1】（2023湖北天门）如图，将边长为3的正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上（点不与点重合），点落在点处，与交于点，折痕分别与边，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【例题2】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC ⊥ BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D．
此时如果测得 BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离 AB．
【例题3】如图，在 ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C.若AB＝8，BE＝6，AD＝7，求BF的长．
(
考点精炼
)
1. 如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是________mm．
3．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是（ ）
A． B． C． D．
4. 小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度．如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE＝20m.当她与镜子的距离CE＝2.5m时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面高度DC＝1.6m，请你帮助小红测量出大楼AB的高度(注：入射角＝反射角)．
5. 星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到1928年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？”请你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑的高度(画出示意图)，并说明理由．
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2024年人教版九年数学下册同步及知识拓展学讲练测讲义（全国通用）
讲座二 相似
专题04 相似三角形的综合应用
(
课标要求
)
1. 能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度.
2. 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决
问题的能力.
(
知识点解读
)
1.利用相似三角形测量高度
测高方法一：测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
测高方法二：测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.
2.利用相似三角形测量宽度
测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.
3.利用相似解决有遮挡物问题
(
思维方法
)
1. 利用影子的长度测量物体的高度方法总结
解答此类问题时，首先要把实际问题转化为数学问题．利用相似三角形对应边成比例建立相等关系求解．
2. 利用镜子的反射测量物体的高度方法总结
解本题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程．解题时要灵活运用所学各学科知识．
3. 利用标杆测量物体的高度方法总结
利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆(或直尺)的高(长)作为三角形的边构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
4. 利用相似三角形的性质设计方案测量高度方法总结
解题的关键是根据相似三角形的性质设计出具体图形，将实际问题抽象出数学问题求解．
(
考点
例题讲析
)
【例题1】（2023湖北天门）如图，将边长为3的正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上（点不与点重合），点落在点处，与交于点，折痕分别与边，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】【分析】（1）由折叠和正方形的性质得到，则，进而证明，再由平行线的性质证明即可证明；
（2）如图，延长交于点．证明得到，，
设，则，．由，得到．则．由勾股定理建立方程，解方程即可得到．
【详解】（1）证明：由翻折和正方形的性质可得，．
∴．
∴，即，
∵四边形是正方形，
∴．
∴．
∴．
（2）如图，延长交于点．
∵，
∴．
又∵，正方形边长为3，
∴
∴，
∴，，
设，则，
∴．
∵，即，
∴．
∴．
在中，，
∴．
解得：（舍），．
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
【例题2】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC ⊥ BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D．
此时如果测得 BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离 AB．
【答案】因此，两岸间的大致距离为 100 m.
【解析】∵ ∠ADB＝∠EDC，
∠ABC＝∠ECD＝90°，
∴ △ABD∽△ECD.
解得 AB = 100.
因此，两岸间的大致距离为 100 m.
【例题3】如图，在 ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C.若AB＝8，BE＝6，AD＝7，求BF的长．
【答案】见解析
【解析】可通过证明∠BAF＝∠AED，∠AFB＝∠D，证得△ABF∽△EAD，可得出关于AB，AE，AD，BF的比例关系．已知AD，AB的长，只需求出AE的长即可．可在直角三角形ABE中用勾股定理求出AE的长，进而求出BF的长．
解：在平行四边形ABCD中，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠AED.∵∠AFB＋∠BFE＝180°，∠D＋∠C＝180°，∠BFE＝∠C，∴∠AFB＝∠D，∴△ABF∽△EAD.∵BE⊥CD，AB∥CD，∴BE⊥AB，∴∠ABE＝90°，∴AE＝＝＝10.∵△ABF∽△EAD，∴＝，∴＝，∴BF＝5.6.
方法总结：相似三角形与四边形知识综合时，往往要用到平行四边形的一些性质寻找角的等量关系证明三角形相似．
(
考点精炼
)
1. 如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】求出△AOB和△COD相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出AB，再根据外径的长度解答．
∵OA：OC=OB：OD=3，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴AB：CD=3，
∴AB：3=3，∴AB=9（cm），
∵外径为10cm，
∴19+2x=10，∴x=0.5（cm）．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出AB的长．
2. 如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是________mm．
【答案】48mm
【解析】设正方形的边长为x mm，则AI＝AD﹣x＝80﹣x，
∵EFHG是正方形，∴EF∥GH，∴△AEF∽△ABC，∴,即，
解得x＝48 mm，∴这个正方形零件的边长是48mm．
【点睛】本题主要考查了相似三角形判定与性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
3．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先求得AC，再说明△ABE∽△ACD，最后根据相似三角形的性质列方程解答即可．
∵，∴AC=1.2m+12.8m=14m
∵标杆和建筑物CD均垂直于地面∴BE//CD∴△ABE∽△ACD
∴,即,解得CD=17.5m．故答案为A．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确判定相似三角形并利用相似三角形的性质列方程计算是解答本题的关键．
4. 小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度．如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE＝20m.当她与镜子的距离CE＝2.5m时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面高度DC＝1.6m，请你帮助小红测量出大楼AB的高度(注：入射角＝反射角)．
【答案】见解析
【解析】根据物理知识得到∠BEA＝∠DEC，所以可得△BAE∽△DCE，再根据相似三角形的性质解答．
如图，∵根据光的反射定律知∠BEA＝∠DEC，∵∠BAE＝∠DCE＝90°，∴△BAE∽△DCE，∴＝.∵CE＝2.5m，DC＝1.6m，∴＝，∴AB＝12.8，∴大楼AB的高度为12.8m.
方法总结：解本题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程．解题时要灵活运用所学各学科知识．
5. 星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到1928年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？”请你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑的高度(画出示意图)，并说明理由．
【答案】见解析
【解析】设计相似三角形，利用相似三角形的性质求解即可．在距离纪念碑AB的地面上平放一面镜子E，人退后到D处，在镜子里恰好看见纪念碑顶A.若人眼距地面距离为CD，测量出CD、DE、BE的长，就可算出纪念碑AB的高．
设计方案例子：如图，在距离纪念碑AB的地面上平放一面镜子E，人退后到D处，在镜子里恰好看见纪念碑顶A.若人眼距地面距离为CD，测量出CD、DE、BE的长，就可算出纪念碑AB的高．
理由：测量出CD、DE、BE的长，因为∠CED＝∠AEB，∠D＝∠B＝90°，易得△ABE∽△CDE.根据＝，即可算出AB的高．
方法总结：解题的关键是根据相似三角形的性质设计出具体图形，将实际问题抽象出数学问题求解．
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