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2024年人教版九年数学下册同步及知识拓展学讲练测讲义（全国通用）
讲座二 相似
专题02 平行线分线段成比例
(
课标要求
)
1. 理解相似三角形的概念.
2. 理解平行线分线段成比例的基本事实及其推论，掌握相似三角形判定定理的预备定理的有关证明.
3. 掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应用，会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算.
(
知识点解读
)
一、相似三角形的定义
三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
二、比例的相关概念及性质
1．线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比．
2．比例中项：如果=，即b2=ac，我们就把b叫做a，c的比例中项．
3．比例的性质
性质 内容
性质1 = ad=bc（a，b，c，d≠0）．
性质2 如果=，那么．
性质3 如果==…=（b+d+…+n≠0），则=（不唯一）．
4.黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使，那么点C叫做线段AC的黄金分割点，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄金比．
三、平行线分线段成比例（基本事实）
1.一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
符号语言：若a∥b∥c ，
2.平行线分线段成比例定理的推论
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
四、相似三角形的引理
判定三角形相似的定理：平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 所构成的三角形与原三角形相似.
(
思维方法
)
一、比例线段及其性质
1．比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
2．对于四条线段长分别为a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a∶b=c∶d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
3.判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比
是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
二、三角形相似的两种常见类型
(
考点
例题讲析
)
【例题1】下列各组中的四条线段成比例的是( )
A．4cm，2cm，1cm，3cm
B．1cm，2cm，3cm，5cm
C．3cm，4cm，5cm，6cm
D．1cm，2cm，2cm，4cm
【例题2】点C是AB的黄金分割点，AB＝4，则线段AC的长为 ．
【例题3】如图，在△ABC中， EF∥BC.
(1) 如果E、F分别是 AB 和 AC 上的点， AE = BE=7，FC = 4 ，那么 AF 的长是多少？
(2) 如果AB = 10，AE=6，AF = 5，那么 FC 的长是多少？
（2）在△ABC中， EF∥BC.
(
考点精炼
)
1. 如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，直线l4、l5交于点O，且l1∥l2∥l3，已知EF∶DF＝5∶8，AC＝24.
(1)求的值；
(2)求AB的长．
2．宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
3．如图，．若，，则______．
4. 如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么BC/CE的值等于 ．
5. 如图，在 ABCD中，E为AB延长线上的一点，AB＝3BE，DE与BC相交于点F，请找出图中所有的相似三角形，并求出相应的相似比．
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讲座二 相似
专题02 平行线分线段成比例
(
课标要求
)
1. 理解相似三角形的概念.
2. 理解平行线分线段成比例的基本事实及其推论，掌握相似三角形判定定理的预备定理的有关证明.
3. 掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应用，会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算.
(
知识点解读
)
一、相似三角形的定义
三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
二、比例的相关概念及性质
1．线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比．
2．比例中项：如果=，即b2=ac，我们就把b叫做a，c的比例中项．
3．比例的性质
性质 内容
性质1 = ad=bc（a，b，c，d≠0）．
性质2 如果=，那么．
性质3 如果==…=（b+d+…+n≠0），则=（不唯一）．
4.黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使，那么点C叫做线段AC的黄金分割点，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄金比．
三、平行线分线段成比例（基本事实）
1.一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
符号语言：若a∥b∥c ，
2.平行线分线段成比例定理的推论
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
四、相似三角形的引理
判定三角形相似的定理：平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 所构成的三角形与原三角形相似.
(
思维方法
)
一、比例线段及其性质
1．比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
2．对于四条线段长分别为a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a∶b=c∶d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
3.判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比
是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
二、三角形相似的两种常见类型
(
考点
例题讲析
)
【例题1】下列各组中的四条线段成比例的是( )
A．4cm，2cm，1cm，3cm
B．1cm，2cm，3cm，5cm
C．3cm，4cm，5cm，6cm
D．1cm，2cm，2cm，4cm
【答案】D
【解析】选项A.从小到大排列，由于1×4≠2×3，所以不成比例，不符合题意；
选项B.从小到大排列，由于1×5≠2×3，所以不成比例，不符合题意；
选项C.从小到大排列，由于3×6≠4×5，所以不成比例，不符合题意；
选项D.从小到大排列，由于1×4＝2×2，所以成比例，符合题意．故选D.
方法总结：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．
【例题2】点C是AB的黄金分割点，AB＝4，则线段AC的长为 ．
【解答】2﹣2或6﹣2．
【解析】①当AC＞BC时，
∵点C是线段AB的黄金分割点，
∴AC＝AB＝2﹣2；
②当AC＜BC时，
∵点C是线段AB的黄金分割点，
∴BC＝AB＝2﹣2，
∴AC＝AB﹣BC＝6﹣2；
综上所述，线段AC的长为2﹣2或6﹣2；
故答案为2﹣2或6﹣2．
【例题3】如图，在△ABC中， EF∥BC.
(1) 如果E、F分别是 AB 和 AC 上的点， AE = BE=7，FC = 4 ，那么 AF 的长是多少？
(2) 如果AB = 10，AE=6，AF = 5，那么 FC 的长是多少？
【答案】见解析。
【解析】（1）在△ABC中， EF∥BC.
（2）在△ABC中， EF∥BC.
(
考点精炼
)
1. 如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，直线l4、l5交于点O，且l1∥l2∥l3，已知EF∶DF＝5∶8，AC＝24.
(1)求的值；
(2)求AB的长．
【答案】见解析
【解析】(1)根据l1∥l2∥l3推出＝；(2)根据l1∥l2∥l3，推出＝＝，代入AC＝24求出BC即可求出AB.
解：(1)∵l1∥l2∥l3，
∴＝.
又∵DF∶DF＝5∶8，
∴EF∶DE＝5∶3，
∴＝；
（2）∵l1∥l2∥l3，EF∶DF＝5∶8，AC＝24，
∴＝＝，
∴BC＝15，∴AB＝AC－BC＝24－15＝9.
方法总结：运用平行线分线段成比例定理时，一定要注意正确书写对应线段的位置
2．宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
【答案】D
【解析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形．
设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1 在直角三角形DCF中，
∴矩形DCGH为黄金矩形 故选：D．
【点睛】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形．
3．如图，．若，，则______．
【答案】10
【分析】根据平行线分线段成比例得到，由条件即可算出DF的值．
【详解】解：∵，∴，
又∵，，∴，∴，故答案为：10．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
4. 如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么BC/CE的值等于 ．
【答案】3/5．
【解析】首先求出AD的长度，然后根据平行线分线段成比例定理，列出比例式BC/CE=AD/DF即可得到结论．
∵AG=2，GD=1，
∴AD=3，
∵AB∥CD∥EF，
BC/CE=AD/DF=3/5
5. 如图，在 ABCD中，E为AB延长线上的一点，AB＝3BE，DE与BC相交于点F，请找出图中所有的相似三角形，并求出相应的相似比．
【答案】见解析
【解析】由平行四边形的性质可得：BC∥AD，AB∥CD，进而可得△EFB∽△EDA，△EFB∽△DFC，再进一步求解即可．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，AB∥CD，
∴△EFB∽△EDA，△EFB∽△DFC，∴△DFC∽△EDA，
∵AB＝3BE，∴相似比分别为1∶4，1∶3，3∶4.
方法总结：求相似比不仅要找准对应边，还需要注意两个三角形的先后顺序．
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