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2024年人教版九年数学下册同步及知识拓展学讲练测讲义（全国通用）
讲座一 反比例函数
专题06 反比例函数实际应用
(
课标要求
)
1. 体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力。
2. 能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型解决问题，进一步提高运用函数的图象、性质的综合能力。
3. 能够根据实际问题确定自变量的取值范围。
4.学习用反比例函数知识解决在物理、化学等学科实际问题。
(
知识点解读
)
实际问题与反比例函数
1.分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题
2.实际问题中的两个变量往往都只能取非负值；作实际问题中的函数图像时，横、纵坐标的单位长度不一定相同
3.在解决反比例函数相关的实际问题中，若题目要求“至多”、“至少”，可以利用反比例函数的增减性来解答 .
4.解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．
(
思维方法
)
用反比例函数解决实际问题的步骤
（1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；
（2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；
（3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；
（4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；
（5）解：用函数解析式去解决实际问题．
(
考点
例题讲析
)
【例题1】（2023湖北鄂州） 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（其中）相交于，两点，过点B作轴，交y轴于点P，则的面积是_______．
【例题2】 根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该物体承受的压强p的值为_________ Pa．
【例题3】南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设，玉林辆隧道是全线控制性隧道，首期打通共有土石方总量600千立方米，总需要时间y天，且完成首期工程限定时间不超过600天．设每天打通土石方x千立方米．（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？
(
考点精炼
)
1．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂. 小伟欲用撬根撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）关于动力臂l（单位：）的函数解析式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2. （2023浙江台州）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．
（1）求h关于的函数解析式．
（2）当密度计悬浮在另一种液体中时，，求该液体的密度．
3.近视眼镜的度数y（度）与焦距x（m）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m．
（1）试求眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式；
（2）求1 000度近视眼镜镜片的焦距．
4. 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200 N 和 0.5 m.
(1) 动力 F 与动力臂L有怎样的函数关系 当动力臂为1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力
(2) 若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少
5. 用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似地满足反比例函数关系．寄宿生小红、小敏晚饭后用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水（约10升），小敏每次用半盆水（约5升），如果她们都用了5克洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5克，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2克．
（1）请帮助小红、小敏求出各自衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数关系式；
（2）当洗衣粉的残留量降至0.5克时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡，为什么？
6. 病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后 2 小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为 4 毫克. 已知服药后，2 小时前每毫升血液中的含药量 y (单位：毫克)与时间 x (单位：小时) 成正比例；2 小时后 y 与 x 成反比例 (如图). 根据以上信息解答下列问题：
（1）求当 0 ≤ x ≤2 时，y 与 x 的函数解析式；
（2) 求当 x > 2 时，y 与 x 的函数解析式；
（3）若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？
7. 某商场出售一批进价为2元的贺卡，在销售中发现此商品的日售价x(元)与销售量y(张)之间有如下关系：
x(元) 3 4 5 6
y(张) 20 15 12 10
(1)猜测并确定y与x的函数关系式；
(2)当日销售单价为10元时，贺卡的日销售量是多少张？
(3)设此卡的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，若物价部门规定此卡的销售单价不能超过10元，试求出当日销售单价为多少元时，每天获得的利润最大并求出最大利润．
8. 如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间为x分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为4℃，加热一段时间使材料温度达到28℃时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间x成反比例函数关系．已知第12分钟时，材料温度是14℃.
(1)分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系式(写出x的取值范围)；
(2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于12℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？
9.（2023湖南郴州） 在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘（固定）中放置一个物体，在右边托盘（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘与点的距离（）（），记录容器中加入的水的质量，得到下表：
托盘与点的距离 30 25 20 15 10
容器与水的总质量 10 12 15 20 30
加入的水的质量 5 7 10 15 25
把上表中的与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的关于的函数图象．
（1）请在该平面直角坐标系中作出关于的函数图象；
（2）观察函数图象，并结合表中的数据：
①猜测与之间的函数关系，并求关于的函数表达式；
②求关于的函数表达式；
③当时，随的增大而_______（填“增大”或“减小”），随的增大而_____（填“增大”或“减小”），的图象可以由的图象向_____（以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到．
（3）若在容器中加入的水的质量（g）满足，求托盘与点的距离（cm）的取值范围．
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讲座一 反比例函数
专题06 反比例函数实际应用
(
课标要求
)
1. 体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力。
2. 能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型解决问题，进一步提高运用函数的图象、性质的综合能力。
3. 能够根据实际问题确定自变量的取值范围。
4.学习用反比例函数知识解决在物理、化学等学科实际问题。
(
知识点解读
)
实际问题与反比例函数
1.分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题
2.实际问题中的两个变量往往都只能取非负值；作实际问题中的函数图像时，横、纵坐标的单位长度不一定相同
3.在解决反比例函数相关的实际问题中，若题目要求“至多”、“至少”，可以利用反比例函数的增减性来解答 .
4.解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．
(
思维方法
)
用反比例函数解决实际问题的步骤
（1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；
（2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；
（3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；
（4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；
（5）解：用函数解析式去解决实际问题．
(
考点
例题讲析
)
【例题1】（2023湖北鄂州） 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（其中）相交于，两点，过点B作轴，交y轴于点P，则的面积是_______．
【答案】
【解析】把代入到可求得的值，再把代入双曲线函数的表达式中，可求得的值，进而利用三角形的面积公式进行求解即可．
【详解】∵直线与双曲线（其中）相交于，两点，
∴
∴，
∴双曲线的表达式为：，，
∵过点作轴，交轴于点，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解答此题的关键．
【例题2】 根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该物体承受的压强p的值为_________ Pa．
【答案】400
【解析】先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再把S=0.25代入，问题得解．
设反比例函数的解析式为，
由图象得反比例函数经过点（0.1,1000），
∴，
∴反比例函数的解析式为，
当S=0.25时，．
【点睛】考查反比例函数的应用，理解题意，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题关键．
【例题3】南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设，玉林辆隧道是全线控制性隧道，首期打通共有土石方总量600千立方米，总需要时间y天，且完成首期工程限定时间不超过600天．设每天打通土石方x千立方米．（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？
【答案】（1）（0【分析】（1）根据“工作时间=总工作量÷每天工作量”，即可得出y关于x的函数关系式；
（2）根据工期比原计划提前了100天列方程求解即可．
【解析】（1）∵共有土石方总量600千立方米，∴（0（2）由题意得，解得x1=1，x2=（负值舍去），
经检验x=1是原分式方程的解1+0.2=1.2千立方米，600÷1.2=500天．
答：实际挖掘了500天才能完成首期工程．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出函数关系式；（2）根据工期比原计划提前了100天列出方程．
(
考点精炼
)
1．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂. 小伟欲用撬根撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）关于动力臂l（单位：）的函数解析式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据所给公式列式，整理即可得答案.
∵阻力×阻力臂=动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，∴动力(单位：)关于动力臂(单位：)的函数解析式为：
，则．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，弄清题意，正确分析各量间的关系是解题的关键.
2. （2023浙江台州）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．
（1）求h关于的函数解析式．
（2）当密度计悬浮在另一种液体中时，，求该液体的密度．
【答案】（1）．
（2）该液体的密度为．
【解析】【分析】（1）由题意可得，设，把，代入解析式，求解即可；
（2）把代入（1）中的解析式，求解即可．
【详解】（1）设h关于的函数解析式为，
把，代入解析式，得．
∴h关于的函数解析式为．
（2）把代入，得．
解得：．
答：该液体的密度为．
【点睛】此题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活利用反比例函数的性质进行求解．
3.近视眼镜的度数y（度）与焦距x（m）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m．
（1）试求眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式；
（2）求1 000度近视眼镜镜片的焦距．
【答案】(1)y=100/x (2) 0.1m.
【解析】把实际问题转化为求反比例函数的解析式的问题．
（1）设y=k/x，把x=0.25，y=400代入，得400=k/0.25，
所以，k=400×0.25=100，即所求的函数关系式为y=100/x．
（2）当y=1000时，1000=100/x，解得x=0.1m．
4. 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200 N 和 0.5 m.
(1) 动力 F 与动力臂L有怎样的函数关系 当动力臂为1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力
(2) 若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少
【答案】（1）400N（2）1.5m
【解析】（1）根据“杠杆原理”，得 FL=1200×0.5，
∴ F 关于L的函数解析式为F =600/L
对于函数F =600/L，当 L=1.5 m时，F =600/1.5=400 N，此时杠杆平衡. 因此撬动石头至少需要400N的力.
（2）对于函数F =600/L，当 L＞0 时， L越大，F越小. 因此，若想用力不超过 400 N 的一半，则动力臂至少要加长1.5 m.
对于函数F =600/L，当 F =200 N时，L=600/200=3 m
则动力臂l至少要加长为3 m-1.5 m=1.5m
5. 用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似地满足反比例函数关系．寄宿生小红、小敏晚饭后用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水（约10升），小敏每次用半盆水（约5升），如果她们都用了5克洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5克，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2克．
（1）请帮助小红、小敏求出各自衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数关系式；
（2）当洗衣粉的残留量降至0.5克时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡，为什么？
【答案】小红共用30升水，小敏共用20升水，小敏的方法更值得提倡．
【解析】设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式分别为：y1=，y2=，后根据题意代入求出k1和k2即可；当y=0.5时，求出此时小红和小敏所用的水量，后进行比较即可．
（1）设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式分别为：y1=，y2=，
将和分别代入两个关系式得：
1.5=，2=，解得：k1=1.5，k2=2．
∴小红的函数关系式是=，小敏的函数关系式是．
（2）把y=0.5分别代入两个函数得：
=0.5，=0.5，
解得：x1=3，x2=4，
10×3=30（升），5×4=20（升）．
6. 病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后 2 小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为 4 毫克. 已知服药后，2 小时前每毫升血液中的含药量 y (单位：毫克)与时间 x (单位：小时) 成正比例；2 小时后 y 与 x 成反比例 (如图). 根据以上信息解答下列问题：
（1）求当 0 ≤ x ≤2 时，y 与 x 的函数解析式；
（2) 求当 x > 2 时，y 与 x 的函数解析式；
（3）若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？
【答案】见解析。
【解析】（1）当 0 ≤ x ≤2 时，y 与 x 成正比例函数关系．
设 y ＝kx，由于点 (2，4) 在线段上，
所以 4＝2k，k＝2，即 y＝2x.
（2）当 x > 2时，y 与 x 成反比例函数关系，
设y=k/x
由于点 (2，4) 在反比例函数的图象上，
所以4=k/2，解得 k ＝8
y=8/x
（3）当 0≤x≤2 时，含药量不低于 2 毫克，即 2x≥2，
解得x≥1，∴1≤x≤2；
当 x>2 时，含药量不低于 2 毫克，
即 8/x ≥ 2，解得 x ≤ 4. ∴2< x ≤4.
所以服药一次，治疗疾病的有
效时间是 1＋2＝3 (小时)．
7. 某商场出售一批进价为2元的贺卡，在销售中发现此商品的日售价x(元)与销售量y(张)之间有如下关系：
x(元) 3 4 5 6
y(张) 20 15 12 10
(1)猜测并确定y与x的函数关系式；
(2)当日销售单价为10元时，贺卡的日销售量是多少张？
(3)设此卡的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，若物价部门规定此卡的销售单价不能超过10元，试求出当日销售单价为多少元时，每天获得的利润最大并求出最大利润．
【答案】见解析
【解析】(1)要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现x与y的乘积是相同的，都是60，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解即可；(2)代入x＝10求得y的值即可；(3)首先要知道纯利润＝(日销售单价x－2)×日销售数量y，这样就可以确定W与x的函数关系式，然后根据销售单价最高不超过10元，就可以求出获得最大日销售利润时的日销售单价x.
解：(1)从表中数据可知y与x成反比例函数关系，设y＝(k为常数，k≠0)，把点(3，20)代入得k＝60，∴y＝；
(2)当x＝10时，y＝＝6，∴日销售单价为10元时，贺卡的日销售量是6张；
(3)∵W＝(x－2)y＝60－，又∵x≤10，∴当x＝10时，W取最大值，W最大＝60－＝48(元)．
方法总结：本题考查了根据实际问题列反比例函数的关系式及求最大值，解答此类题目的关键是准确理解题意．
8. 如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间为x分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为4℃，加热一段时间使材料温度达到28℃时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间x成反比例函数关系．已知第12分钟时，材料温度是14℃.
(1)分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系式(写出x的取值范围)；
(2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于12℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？
【答案】见解析
【解析】(1)首先根据题意，材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例函数关系．将题中数据代入可求得两个函数的关系式；(2)把y＝12代入y＝4x＋4得x＝2，代入y＝得x＝14，则对该材料进行特殊处理所用的时间为14－2＝12(分钟)．
解：(1)设加热停止后反比例函数表达式为y＝，∵y＝过(12，14)，得k1＝12×14＝168，则y＝；当y＝28时，28＝，解得x＝6.设加热过程中一次函数表达式为y＝k2x＋b，由图象知y＝k2x＋b过点(0，4)与(6，28)，∴解得∴y＝
(2)当y＝12时，y＝4x＋4，解得x＝2.由y＝，解得x＝14，所以对该材料进行特殊处理所用的时间为14－2＝12(分钟)．
方法总结：现实生活中存在大量成反比例函数关系的两个变量，解答此类问题的关键是首先确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
9.（2023湖南郴州） 在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘（固定）中放置一个物体，在右边托盘（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘与点的距离（）（），记录容器中加入的水的质量，得到下表：
托盘与点的距离 30 25 20 15 10
容器与水的总质量 10 12 15 20 30
加入的水的质量 5 7 10 15 25
把上表中的与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的关于的函数图象．
（1）请在该平面直角坐标系中作出关于的函数图象；
（2）观察函数图象，并结合表中的数据：
①猜测与之间的函数关系，并求关于的函数表达式；
②求关于的函数表达式；
③当时，随的增大而_______（填“增大”或“减小”），随的增大而_____（填“增大”或“减小”），的图象可以由的图象向_____（以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到．
（3）若在容器中加入的水的质量（g）满足，求托盘与点的距离（cm）的取值范围．
【答案】（1）作图见解析；
（2）①；②；③减小，减小，下；
（3）．
【解析】【分析】（1）将平面直角坐标系中的点用平滑曲线连接即可；
（2）①观察图象可知，函数可能是反比例函数，设，把，的坐标代入，得，再检验其余各个点是否满足即可；②根据可能与成反比例，设，即可得解；③跟图像结合解析式作答即可．
（3）利用反比例函数的性质即可解决问题．
【详解】（1）函数图象如图所示，
（2）①观察图象可知，可能是反比例函数，设，
把的坐标代入，得，
经检验，其余各个点坐标均满足，
∴关于的函数表达式；
②观察表格以及①可知，可能与成反比例，设，
把的坐标代入，得，
经检验，其余各个点坐标均满足，
∴关于的函数表达式；
③由图图像可知，当时，随的增大而减小，随的增大而减小，的图象可以由的图象向下平移得到，
故答案为：减小，减小，下；
（3）当时，解得，
当时，解得，
∴托盘与点的距离（）的取值范围．
【点睛】本题考查反比例函数的应用、描点法画图等知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，属于基础题，中考常考题型．
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