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2024年人教版九年数学下册同步及知识拓展学讲练测讲义（全国通用）
讲座一 反比例函数
专题05 一次函数与反比例函数
(
课标要求
)
1. 能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题.
2. 体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想方法，进一步提高对反比例函数相关知识的综合运用能力.
(
知识点解读
)
1．涉及自变量取值范围型
当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或．
2．求一次函数与反比例函数的交点坐标
（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.
①k值同号，两个函数必有两个交点；
②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；
（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
3.反比例函数与一次函数综合的主要题型：
（1）利用k值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置；
（2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标；
（3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式；
（4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等．
解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题．
(
思维方法
)
1.判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意b 的正负。
2.反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称
(
考点
例题讲析
)
【例题1】在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若a＜0，b＜0，则y＝ax+b经过二、三、四象限，反比例函数（ab≠0）位于一、三象限，故A选项符合题意；
若a＜0，b＞0，则y＝ax+b经过一、二、四象限，反比例函数（ab≠0）位于二、四象限，故B选项不符合题意；
若a＞0，b＞0，则y＝ax+b经过一、二、三象限，反比例函数（ab≠0）位于一、三象限，故C选项不符合题意；
若a＞0，b＜0，则y＝ax+b经过一、三、四象限，反比例函数数（ab≠0）位于二、四象限，故D选项不符合题意．故选：A．
【名师点拨】此题考查的是反比例函数和一次函数的图像及性质，掌握系数a，b与反比例函数和一次函数的图像的关系是解决此题的关键．
【例题2】如图，函数与函数的图象相交于点．若，则x的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【解析】如图所示，直线图象在反比例函数图象之上的x的取值范围为或，
故本题答案为：或．故选：D
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
【例题3】如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）设直线交轴于点，点，分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形是平行四边形，求点的坐标．
【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为
（2）或
【解析】（1）分别将，代入反比例函数解析式，即可求得，的值，再将，两点坐标代入一次函数解析式，求得，的值；
（2）若四边形是平行四边形，则，且，即，由此进行求解．
【详解】（1）将点，代入，
得，解得，
点，反比例函数的解析式为；
将点，代入，
得，解得，
一次函数的解析式为．
（2）将代入，得，
，．
若四边形是平行四边形，
则，且，
设，，
则，
解得．
或．
【点睛】本题考查一次函数、反比例函数与平行四边形的综合，熟练掌握平行四边形的性质与判定及函数相关知识是解题的关键．
(
考点精炼
)
1. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据一次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解．
当时，，则一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一 、三象限，故排除A，C选项；
当时，，则一次函数经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限，故排除B选项，故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像的性质，熟练掌握相关性质与函数图像的关系是解决本题的关键．
2. 已知一次函数的图象如图所示，则与的图象为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意可得，从而得到一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比函数的图象位于第一、三象限内，即可求解．
根据题意得：，
∴，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比函数的图象位于第一、三象限内．
故选：A
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质是解题的关键．
3. （2023湖南怀化）如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于、两点．已知点的坐标为，点为轴上任意一点．如果，那么点的坐标为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】反比例函数的图象过点，可得，进而求得直线的解析式为，得出点的坐标，设，根据，解方程即可求解．
【详解】∵反比例函数的图象过点
∴
∴
设直线的解析式为，
∴，
解得：,
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴，
设，
∵，
解得：或，
∴的坐标为或，故选：D．
【点睛】考查了一次函数与反比例数交点问题，待定系数法求解析式，求得点的坐标是解题的关键．
4. （2023湖南常德）如图所示，一次函数与反比例函数相交于点A和点．
（1）求m的值和反比例函数解析式；
（2）当时，求x的取值范围．
【答案】（1）， （2）或
【解析】【分析】（1）根据一次函数的图象与反比例函数的图象交于、B两点可得的值，进而可求反比例函数的表达式；
（2）观察函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】（1）将点代入得：
解得：
将代入得：
∴
（2）由得：，解得
所以的坐标分别为
由图形可得：当或时，
【点睛】考查反比例函数与一次函数的交点问题，解决关键是掌握反比例函数与一次函数的性质．
5. 如图，一次函数与函数为的图象交于两点．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围；
（3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标．
【答案】（1），
（2）
（3）点P的坐标为或
【解析】【分析】（1）将代入可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将和点B坐标代入即可求出一次函数解析式；
（2）直线在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求；
（3）设点P的横坐标为，代入一次函数解析式求出纵坐标，将代入反比例函数求出点Q的纵坐标，进而用含p的代数式表示出，再根据面积为3列方程求解即可．
【详解】（1）将代入，可得，
解得，
反比例函数解析式；
在图象上，
，
，
将，代入，得：
，
解得，
一次函数解析式为；
（2）解：，理由如下：
由（1）可知，
当时，，
此时直线在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为，
即满足时，x的取值范围为；
（3）解：设点P的横坐标为，
将代入，可得，
．
将代入，可得，
．
，
，
整理得，
解得，，
当时，，
当时，，
点P的坐标为或．
【点睛】本题属于一次函数与反比例函数的综合题，考查求一次函数解析式、反比例函数解析式，坐标系中求三角形面积、解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合思想．
6. 设函数，函数（，，b是常数，，）．
（1）若函数和函数的图象交于点，点B(3，1)，
①求函数，的表达式：
②当时，比较与的大小（直接写出结果）．
（2）若点在函数的图象上，点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，点D恰好落在函数的图象上，求n的值．
【答案】（1）①，；② （2）1
【解析】【分析】（1）①把点B(3，1)代入，可得；可得到m=3，再把点，点B(3，1)代入，即可求解；②根据题意，画出函数图象，观察图象，即可求解；
（2）根据点在函数的图象上，可得，再根据点的平移方式可得点D的坐标为，然后根据点D恰好落在函数的图象上，可得，即可求解．
【详解】（1）①把点B(3，1)代入，得，
∴．
∵函数图象过点，
∴，
∴点B(3，1)代入，得：
，解得，
∴．
②根据题意，画出函数图象，如图∶
观察图象得∶当时，函数的图象位于函数的下方，
∴．
（2）∵点在函数的图象上，
∴，
∵点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，
∴点D的坐标为，
∵点D恰好落在函数的图象上，
∴，
∴，
解得．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合题，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象和性质是解题的关键．
7. 已知直线与反比例函数的图象在第一象限交于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点，求的值；
（3）在（2）的条件下，设直线与轴、轴分别交于点，，求证：．
【答案】（1） （2） （3）见解析
【解析】分析】（1）先根据一次函数求出M点坐标，再代入反比例函数计算即可；
（2）先求出A的点坐标，再代入平移后的一次函数解析式计算即可；
（3）过点作轴于点，过点作轴于点，即可根据A、B坐标证明，得到，，再求出C、D坐标即可得到OC=OD，即可证明．
【详解】(1)∵直线过点，
∴
∴将代入中，得，
∴反比例函数的表达式为
（2）∵点在的图象上，
∴，
∴
设平移后直线的解析式为，
将代入中，得4=1+b，
解得．
（3）如图，过点作轴于点，过点作轴于点．
∵在反比例函数的图象上，
∴n=-4，
∴B（-4，-1）
又∵，
∴，，
∴
∴，
∴，
又∵直线与轴、轴分别交于点，，
∴，，
∴
在和中，
∴．
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，熟练根据坐标找线段关系是解题的关键．
8. 如图，一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，且点的横坐标为－2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点的坐标是，若点在轴上，且的面积与的面积相等，求点的坐标．
【答案】（1） （2）或
【解析】【分析】（1）将点的横坐标代入一次函数解析式，求得点的纵坐标，进而将的坐标代入反比例函数解析式即可求解．
（2）根据三角形面积公式列出方程即可求解．
【小问1详解】
一次函数与反比例函数图象在第二象限交于点，且点的横坐标为－2，
当时，，则，
将代入，可得，
反比例函数的解析式为，
【小问2详解】
点的坐标是，，
,
，
面积与的面积相等，
设，
，
解得或，
或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例数综合，坐标与图形，求点点的坐标是解题的关键．
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讲座一 反比例函数
专题05 一次函数与反比例函数
(
课标要求
)
1. 能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题.
2. 体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想方法，进一步提高对反比例函数相关知识的综合运用能力.
(
知识点解读
)
1．涉及自变量取值范围型
当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或．
2．求一次函数与反比例函数的交点坐标
（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.
①k值同号，两个函数必有两个交点；
②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；
（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
3.反比例函数与一次函数综合的主要题型：
（1）利用k值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置；
（2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标；
（3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式；
（4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等．
解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题．
(
思维方法
)
1.判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意b 的正负。
2.反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称
(
考点
例题讲析
)
【例题1】在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【例题2】如图，函数与函数的图象相交于点．若，则x的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【例题3】如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）设直线交轴于点，点，分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形是平行四边形，求点的坐标．
(
考点精炼
)
1. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
2. 已知一次函数的图象如图所示，则与的图象为（ ）
A. B. C. D.
3. （2023湖南怀化）如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于、两点．已知点的坐标为，点为轴上任意一点．如果，那么点的坐标为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
4. （2023湖南常德）如图所示，一次函数与反比例函数相交于点A和点．
（1）求m的值和反比例函数解析式；
（2）当时，求x的取值范围．
5. 如图，一次函数与函数为的图象交于两点．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围；
（3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标．
6. 设函数，函数（，，b是常数，，）．
（1）若函数和函数的图象交于点，点B(3，1)，
①求函数，的表达式：
②当时，比较与的大小（直接写出结果）．
若点在函数的图象上，点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，点D恰好落在函数的图象上，求n的值．
7. 已知直线与反比例函数的图象在第一象限交于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点，求的值；
（3）在（2）的条件下，设直线与轴、轴分别交于点，，求证：．
8. 如图，一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，且点的横坐标为－2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点的坐标是，若点在轴上，且的面积与的面积相等，求点的坐标．
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