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2024年人教版九年数学下册同步及知识拓展学讲练测讲义（全国通用）
讲座一 反比例函数
专题08 反比例函数单元综合检测试卷
试卷满分100分，考试时间90分钟
一、单选题（8个小题，每空3分，共24分）
1. 某公司计划新建一个容积V（m3）一定的长方体污水处理池，池的底面积S（m2）与其深度h（m）之间的函数关系式为，这个函数的图象大致是（ ）
. .
2. （2023湖南永州）已知点在反比例函数的图象上，其中a，k为常数，且﹐则点M一定在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. （2022广东）点，，，在反比例函数图象上，则，，，中最小的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴正半轴上，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C、D．若点C的横坐标为5，BE＝2DE，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
5. （2023湖南邵阳）如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图像上，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
6. 若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系
是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，l1是反比例函数y＝在第一象限内的图象，且经过点A (1，2) ．l1关于x轴对
称的图象为l2，那么l2的函数表达式为（ ）
A．y＝(x＜0) B．y＝(x＞0) C．y＝－(x＜0) D．y＝－(x＞0)
8. （2023浙江宁波）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，当时，的取值范围是( )
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
二、填空题（7个小题，每空3分，共21分）
1. 已知点 M（1，2）在反比例函数的图象上，则 k＝____．
2. （2022陕西）已知点A( 2，m)在一个反比例函数的图象上，点A′与点A关于y轴对称．若点A′在正比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为_______．
3. 点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围
是______．
4.如图所示，反比例函数的图象与经过坐标原点的直线l相交于A、B两点，过点B
作轴的垂线，垂足为C，若△ABC的面积为3，则这个反比例函数的解析式为 。
5. （2023湖北荆州）如图，点在双曲线上，将直线向上平移若干个单位长度交轴于点，交双曲线于点．若，则点的坐标是___________．
6. 如图所示，矩形顶点、在轴上，顶点在第一象限，轴为该矩形的一条对称轴，且矩形的面积为6．若反比例函数的图象经过点，则的值为_______．
7. 如图，A，B是双曲线y＝（x＞0）上的两点，连接OA，OB．过点A作AC⊥x轴于点C，交OB于点D．若D为AC的中点，△AOD的面积为3，点B的坐标为（m，2），则m的值为 _____．
三、解答题（本大题共4题，满分55分）
1．（8分）环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系
（1）求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（2）该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？
2. （16分）（2023湖南岳阳）如图，反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点．
（1）求反比例函数和正比例函数的表达式；
（2）若y轴上有一点的面积为4，求点的坐标．
3. （15分）已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．
（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
（2）根据函数图象，直接写出不等式的解集；
（3）若点是点关于轴的对称点，连接，，求的面积．
4. （16分）已知反比例函数和一次函数，其中一次函数图象过，两点．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）如图，函数的图象分别与函数图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
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讲座一 反比例函数
专题08 反比例函数单元综合检测试卷
试卷满分100分，考试时间90分钟
一、单选题（8个小题，每空3分，共24分）
1. 某公司计划新建一个容积V（m3）一定的长方体污水处理池，池的底面积S（m2）与其深度h（m）之间的函数关系式为，这个函数的图象大致是（ ）
. .
【答案】C
【解析】主要考查了反比例函数的应用和反比例函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活
解题．反比例函数y=的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；
当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
先根据长方体的体积公式列出解析式，再根据反比例函数的性质解答．注意深度h（m）
的取值范围．根据题意可知：，依据反比例函数的图象和性质可知，图象为
反比例函数在第一象限内的部分．故选C．
2. （2023湖南永州）已知点在反比例函数的图象上，其中a，k为常数，且﹐则点M一定在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】根据反比例函数中的，可知反比例函数经过第一、三象限，再根据点M点的横坐标判断点M所在的象限，即可解答
，
反比例函数的图象经过第一、三象限，
故点M可能在第一象限或者第三象限，
的横坐标大于0，
一定在第一象限，
故选：A．
【点睛】本题考查了判断反比例函数所在的象限，判断点所在的象限，熟知反比例函数的图象所经过的象限与k值的关系是解题的关键．
3. （2022广东）点，，，在反比例函数图象上，则，，，中最小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据反比例函数的性质可直接进行求解．
由反比例函数解析式可知：，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点，，，在反比例函数图象上，
∴，故选D．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
4. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴正半轴上，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C、D．若点C的横坐标为5，BE＝2DE，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知，可得菱形边长为5，设出点D坐标，即可用勾股定理构造方程，进而求出k值．
解：过点D作DF⊥BC于F，
由已知，BC＝5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC＝5，
∵BE＝2DE，
∴设DE＝x，则BE＝2x，
∴DF＝2x，BF＝x，FC＝5﹣x，
在Rt△DFC中，
DF2+FC2＝DC2，
∴（2x）2+（5﹣x）2＝52，
解得x1＝2，x2＝0（舍去），
∴DE＝2，FD＝4，
设OB＝a，
则点D坐标为（2，a+4），点C坐标为（5，a），
∵点D、C在双曲线上，
∴k＝2×（a+4）＝5a，
∴a＝，
∴k＝5×＝．
5. （2023湖南邵阳）如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图像上，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据经过确定解析式为，设正方形的边长为x，则点，代入解析式计算即可．
∵经过，
∴解析式为，
设正方形的边长为x，则点，
∴，
解得（舍去），
故点，
故选D．
【点睛】反比例函数的解析式，正方形的性质，解方程，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
6. 若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】将三点坐标分别代入函数解析式求出，然后进行比较即可．
将三点坐标分别代入函数解析式，得：
，解得；
，解得；
，解得；
∵-8<2<4，
∴．
【点睛】本题考查反比例函数，关键在于能熟练通过已知函数值求自变量．
7.如图，l1是反比例函数y＝在第一象限内的图象，且经过点A (1，2) ．l1关于x轴对
称的图象为l2，那么l2的函数表达式为（ ）
A．y＝(x＜0) B．y＝(x＞0) C．y＝－(x＜0) D．y＝－(x＞0)
【答案】D
【解析】考点是反比例函数的性质，轴对称的性质。
∵A（1，2）关于x轴的对称点为（1，－2）．
∴l2的解析式为y＝－。
∵l1是反比例函数y＝在第一象限内的图象，∴以x＞0。故选D。
8. （2023浙江宁波）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，当时，的取值范围是( )
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
【答案】B
【解析】根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案．
【详解】由图可知，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，
当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方，
即当时，的取值范围是或，
故选：B．
【点睛】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键．
二、填空题（7个小题，每空3分，共21分）
1. 已知点 M（1，2）在反比例函数的图象上，则 k＝____．
【答案】2
【解析】把点M（1，2）代入反比例函数中求出k的值即可．
把点M（1，2）代入得：xy=1×2=2
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
2. （2022陕西）已知点A( 2，m)在一个反比例函数的图象上，点A′与点A关于y轴对称．若点A′在正比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为_______．
【答案】y=
【解析】根据点A与点A′关于y轴对称，得到A′(2，m)，由点A′在正比例函数的图象上，求得m的值，再利用待定系数法求解即可．
∵点A与点A′关于y轴对称，且A( 2，m)，
∴A′(2，m)，
∵点A′在正比例函数的图象上，
∴m=×2，
解得：m=1，
∴A( 2，1)，
设这个反比例函数的表达式为y=，
∵A( 2，1) 在这个反比例函数的图象上，
∴k=-2×1=-2，
∴这个反比例函数的表达式为y=，
故答案为：y=．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出m的值．
3. 点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围
是______．
【答案】
【解析】反比例函数中k＞0，则同一象限内y随x的增大而减小，由于，得到，从而得到的取值范围．
∵在反比例函数y=中，k＞0，
∴在同一象限内y随x增大而减小，
∵，∴这两个点在同一象限，
∴，
解得：
【点睛】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的增减性，当k＞0，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，在每一象限内y随x的增大而增大．
4.如图所示，反比例函数的图象与经过坐标原点的直线l相交于A、B两点，过点B
作轴的垂线，垂足为C，若△ABC的面积为3，则这个反比例函数的解析式为 。
【答案】
【解析】设A（，）（，），
则根据反比例函数的对称性，B（－，－）（，），
因此 S△ABC= S△ACO＋S△BCO=。
则这个反比例函数的解析式为。
5. （2023湖北荆州）如图，点在双曲线上，将直线向上平移若干个单位长度交轴于点，交双曲线于点．若，则点的坐标是___________．
【答案】
【解析】【分析】求出反比例函数解析式，证明，过点作轴的垂线段交轴于点，过点作轴的垂线段交轴于点，通过平行线的性质得到，解直角三角形求点的横坐标，结合反比例函数解析式求出的坐标，即可解答．
【详解】把代入，可得，解得，
反比例函数解析式，
如图，过点作轴的垂线段交轴于点，过点作轴的垂线段交轴于点，
，
，
，
，
将直线向上平移若干个单位长度交轴于点，
,
在中，，
，
即点C的横坐标为，
把代入，可得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，一次函数的平移，解直角三角形，熟练求得点的横坐标是解题的关键．
6. 如图所示，矩形顶点、在轴上，顶点在第一象限，轴为该矩形的一条对称轴，且矩形的面积为6．若反比例函数的图象经过点，则的值为_______．
【答案】3
【解析】由图得，轴把矩形平均分为两份，即可得到上半部分的面积，利用矩形的面积公式即，又由于点C在反比例函数图象上，则可求得答案．
【详解】解：轴为该矩形的一条对称轴，且矩形的面积为6，
，
，
故答案为3．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握是解题的关键．
7. 如图，A，B是双曲线y＝（x＞0）上的两点，连接OA，OB．过点A作AC⊥x轴于点C，交OB于点D．若D为AC的中点，△AOD的面积为3，点B的坐标为（m，2），则m的值为 _____．
【答案】6
【解析】应用k几何意义及中线的性质求解．
D为AC的中点，的面积为3，
的面积为6，
所以，
解得：m＝6．
【点睛】考查反比例函数中k的几何意义，关键是利用的面积转化为三角形AOC的面积．
三、解答题（本大题共4题，满分55分）
1．（8分）环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系
（1）求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（2）该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？
【答案】（1）当0≤x≤3时，y=﹣2x+10；当x＞3时，y=。
（2）能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．
【解析】A.分情况讨论：①当0≤x≤3时，设线段AB对应的函数表达式为y=kx+b；把A（0，0），B（3，4）代入得出方程组，解方程组即可；②当x＞3时，设y=，把（3，4）代入求出m的值即可
B.令y==1，得出x=12＜15，即可得出结论．
（1）分情况讨论：
①当0≤x≤3时，
设线段AB对应的函数表达式为y=kx+b；
把A（0，0），B（3，4）代入得，
解得：，
∴y=﹣2x+10；
②当x＞3时，设y=，
把（3，4）代入得：m=3×4=12，
∴y=；
综上所述：当0≤x≤3时，y=﹣2x+10；当x＞3时，y=；
（2）能；理由如下：
令y==1，则x=12＜15，
故能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．
2. （16分）（2023湖南岳阳）如图，反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点．
（1）求反比例函数和正比例函数的表达式；
（2）若y轴上有一点的面积为4，求点的坐标．
【答案】（1）；
（2）或
【解析】【分析】（1）把分别代入函数的解析式，计算即可．
（2）根据反比例函数的中对称性质，得到，设，根据，列式计算即可．
【详解】（1）∵反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点，
∴，
解得，
故反比例函数的表达式为，正比例函数的表达式．
（2）∵反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点，
根据反比例函数图象的中心对称性质，
∴，设，
根据题意，得，
∴，
解得或，
故点C的坐标为或．
【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的综合，反比例函数的中心对称性，三角形面积的特殊坐标表示法，熟练掌握反比例函数与正比例函数的综合，反比例函数的中心对称性是解题的关键．
3. （15分）已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．
（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
（2）根据函数图象，直接写出不等式的解集；
（3）若点是点关于轴的对称点，连接，，求的面积．
【答案】（1），图见解析
（2）或 （3）12
【解析】【分析】（1）把，分别代入得到m，n的值，得到点A和点B的坐标，利用待定系数法求出一次函数的表达式，并画出图象即可；
（2）由函数图象可知，当 或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，即可得到答案；
（3）根据点是点关于轴的对称点，求出点C的坐标，得到BC的长，进一步求出三角形的面积即可．
【详解】（1）把，分别代入得，
，，
解得m＝4，n＝﹣2，
∴ 点A（1，4），点B（﹣2，﹣2），
把点A（1，4），点B（﹣2，﹣2）代入一次函数得，
，
解得，
∴一次函数的表达式是y＝2x＋2，
这个一次函数的图象如图，
（2）由函数图象可知，当 或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，
∴不等式的解集为或；
（3）∵点是点关于轴的对称点，点B的坐标是（﹣2，﹣2），
∴点C的坐标是（2，﹣2），
∴BC＝2－（﹣2）＝4，
∴．
【点睛】此题是反比例函数与一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、三角形的面积，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键．
4. （16分）已知反比例函数和一次函数，其中一次函数图象过，两点．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）如图，函数的图象分别与函数图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式；
（2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，进行计算即可；
【详解】（1）把代入，得
，
解得，，
所以反比例函数解析式是；
（2）存在点P使△ABP周长最小，理由：
解和得，
和，
，
和，
，
作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，当点、、在一条直线上时，线段 的长度最短，所以存在点P使△ABP周长最小，
△ABP的周长= ，
，
，
．
【点睛】本题考查函数的综合，掌握待定系数法求函数解析式，利用轴对称求出点位置是解题关键．
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