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2024年人教版九年数学下册同步及知识拓展学讲练测讲义（全国通用）
讲座一 反比例函数
专题01 反比例函数的概念
(
课标要求
)
1. 理解并掌握反比例函数的概念.
2. 从实际问题中抽象出反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式.
(
知识点解读
)
1．反比例函数的概念：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．
注意1.
反比例函数的三种表达方式(注意 k ≠ 0)
（1）;
（2）;
（3）xy=k.
注意2.
（1）反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y，等号右边是关于自变量x的分式，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式．
（2）反比例函数的一般形式的结构特征：①k≠0；②以分式形式呈现；③在分母中x的指数为1．
（3）反比例函数解析式可以写成xy＝k(k≠0)，它表明在反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于已知常数k.
2．反比例函数（k是常数，k0）中x，y的取值范围
自变量x和函数值y的取值范围都是不等于0的任意实数．x≠0, y≠ 0.函数与x轴、y轴无交点．
3.确定反比例函数的解析式
待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
(
思维方法
)
已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程(组)求解即可，如题中 x 的次数为－1，且系数不等于0.
(
考点
例题讲析
)
【例题1】已知函数
是反比例函数，求 m 的值。
【答案】m =－2.
【解析】已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程(组)求解即可，如本题中 x 的次数为－1，且系数不等于0.所以有
2m2 + 3m－3=－1，
2m2+ m－1≠0.
解得 m =－2.
【例题2】人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄. 当车速为 50km/h 时，视野为 80 度，如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数解析式，并计算当车速为100km/h 时视野的度数.
【答案】 f=4000/v, 40度
【解析】设f=k/v . 由题意知，当 v =50时，f =80，
80=k/50,k=4000
因此f=4000/v
当 v=100 时，f =4000/100=40.
所以当车速为100km/h 时视野为40度.
(
考点精炼
)
1. 下列函数中：①y＝；②3xy＝1；③y＝；④y＝.反比例函数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】①y＝是反比例函数，正确；
②3xy＝1可化为y＝，是反比例函数，正确；
③y＝是反比例函数，正确；
④y＝是正比例函数，错误．故选C.
方法总结：判断一个函数是否是反比例函数，首先要看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的定义去判断，其形式为y＝(k为常数，k≠0)，y＝kx－1(k为常数，k≠0)或xy＝k(k为常数，k≠0)．
2．《长沙晚报》对外发布长沙高铁两站设计方案，该方案以三湘四水，杜鹃花开 ，塑造出杜鹃花开的美丽姿态，该高铁站建设初期需要运送大量的土石方，某运输公司承担了运送总量为土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度（单位：天）与完成运送任务所需的时间t（单位：天）之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由总量=vt，求出v即可．
∵vt=106，∴v=，故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的概念特征是解题的关键．
3. 下列函数：①y=2x﹣1；②；③y=x2+8x﹣2；④；⑤；⑥中，y是x的反比例函数的有 （填序号）
【答案】②⑤．
【解析】根据反比例函数的定义逐一作出判断：①y=2x﹣1是一次函数，不是反比例函数；②是反比例函数；③y=x2+8x﹣2是二次函数，不是反比例函数；④不是反比例函数；⑤是反比例函数；⑥中，a≠0时，是反比例函数，没有此条件则不是反比例函数．故答案为②⑤．
4. 已知反比例函数。当x=-3时,y=4，则的值是_________．
【答案】﹣12
【解析】当x=-3时,y=4，则
，解得：=﹣12．
5. 已知变量y与x成反比例，且当x＝2时，y＝－6.求：
(1)y与x之间的函数解析式；
(2)当y＝2时，x的值．
【答案】见解析
【解析】(1)由题意中变量y与x成反比例，设出函数的解析式，利用待定系数法进行求解．(2)代入求得的函数解析式，解得x的值即可．
解：(1)∵变量y与x成反比例，∴设y＝(k≠0)，∵当x＝2时，y＝－6，∴k＝2×(－6)＝－12，∴y与x之间的函数解析式是y＝－；
(2)当y＝2时，y＝－＝2，解得x＝－6.
方法总结：用待定系数法求反比例函数解析式时要注意：①设出含有待定系数的反比例函数解析式，形如y＝(k为常数，k≠0)；②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数；④写出解析式．
6. 已知y＝y1＋y2，y1与(x－1)成正比例，y2与(x＋1)成反比例，当x＝0时，y＝－3；当x＝1时，y＝－1.求：
(1)y关于x的关系式；
(2)当x＝－时，y的值．
【答案】见解析
【解析】根据正比例函数和反比例函数的定义得到y1，y2的关系式，进而得到y的关系式，把所给两组数据代入即可求出相应的比例系数，也就求得了所要求的关系式．
（1）∵y1与(x－1)成正比例，y2与(x＋1)成反比例，
∴设y1＝k1(x－1)(k1≠0)，
y2＝(k2≠0)，
∵y＝y1＋y2，
∴y＝k1(x－1)＋.
当x＝0时，y＝－3；
当x＝1时，y＝－1，
∴
∴k1＝1，k2＝－2，
∴y＝x－1－；
(2)把x＝－代入(1)中函数关系式得y＝－.
方法总结：能根据题意设出y1，y2的函数关系式并用待定系数法求得等量关系是解答此题的关键．
7.若 y=m(m+2)/x是反比例函数，求m的取值范围。
【答案】见解析。
【解析】 y=m(m+2)/x是反比例函数，
所以m(m+2)≠ 0
解得：m ≠ 0 且 m ≠ －2
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讲座一 反比例函数
专题01 反比例函数的概念
(
课标要求
)
1. 理解并掌握反比例函数的概念.
2. 从实际问题中抽象出反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式.
(
知识点解读
)
1．反比例函数的概念：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．
注意1.
反比例函数的三种表达方式(注意 k ≠ 0)
（1）;
（2）;
（3）xy=k.
注意2.
（1）反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y，等号右边是关于自变量x的分式，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式．
（2）反比例函数的一般形式的结构特征：①k≠0；②以分式形式呈现；③在分母中x的指数为1．
（3）反比例函数解析式可以写成xy＝k(k≠0)，它表明在反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于已知常数k.
2．反比例函数（k是常数，k0）中x，y的取值范围
自变量x和函数值y的取值范围都是不等于0的任意实数．x≠0, y≠ 0.函数与x轴、y轴无交点．
3.确定反比例函数的解析式
待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
(
思维方法
)
已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程(组)求解即可，如题中 x 的次数为－1，且系数不等于0.
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考点
例题讲析
)
【例题1】已知函数
是反比例函数，求 m 的值。
【例题2】人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄. 当车速为 50km/h 时，视野为 80 度，如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数解析式，并计算当车速为100km/h 时视野的度数.
(
考点精炼
)
1. 下列函数中：①y＝；②3xy＝1；③y＝；④y＝.反比例函数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．《长沙晚报》对外发布长沙高铁两站设计方案，该方案以三湘四水，杜鹃花开 ，塑造出杜鹃花开的美丽姿态，该高铁站建设初期需要运送大量的土石方，某运输公司承担了运送总量为土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度（单位：天）与完成运送任务所需的时间t（单位：天）之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
3. 下列函数：①y=2x﹣1；②；③y=x2+8x﹣2；④；⑤；⑥中，y是x的反比例函数的有 （填序号）
4. 已知反比例函数。当x=-3时,y=4，则的值是_________．
当x=-3时,y=4，则
5. 已知变量y与x成反比例，且当x＝2时，y＝－6.求：
(1)y与x之间的函数解析式；
(2)当y＝2时，x的值．
6. 已知y＝y1＋y2，y1与(x－1)成正比例，y2与(x＋1)成反比例，当x＝0时，y＝－3；当x＝1时，y＝－1.求：
(1)y关于x的关系式；
(2)当x＝－时，y的值．
7.若 y=m(m+2)/x是反比例函数，求m的取值范围。
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