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2024年人教版九年数学下册同步及知识拓展学讲练测讲义（全国通用）
讲座一 反比例函数
专题02 反比例函数的图象和性质
(
课标要求
)
1. 经历画反比例函数的图象、归纳得到反比例函数的图象特征和性质的过程。
2. 会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图象和性质。
3. 能够初步应用反比例函数的图象和性质解题。
(
知识点解读
)
1．反比例函数的图象与性质
（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
提示：画函数（k是常数，k≠0）的图象步骤一般分为：列表→描点→连线. 需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0.
（2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
2．反比例函数图象的对称性
反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．
(
思维方法
)
1．画反比例函数图像方法
（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．
（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永不与坐标轴相交，因为反比例函数中x≠0且y≠0．
（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
2. 正确的表述方法
双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．
(
考点
例题讲析
)
【例题1】（2023湖北荆州）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系．下列反映电流与电阻之间函数关系的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据电流与电阻之间函数关系可知图象为双曲线，并且在第一象限，即可得到答案．
∵反比例函数的图象是双曲线，且，，
∴图象是第一象限双曲线的一支．故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象，并结合实际意义去判断图象，数形结合思想是关键．
【例题2】（2023湖北天门）在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意可得反比例函数的图象在一三象限，进而可得，解不等式即可求解．
∵当时，有，
∴反比例函数的图象在一三象限，
∴
解得：，故选：C．
【点睛】考查反比例函数图象的性质，根据题意得出反比例函数的图象在一三象限是解题的关键．
【例题3】画反比例函数y=6/x 与y=12/x的图象.
【答案】见解析。
【解析】（1）列表如下：
（2）描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点．
（3）连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得反比例函数y=6/x 与y=12/x的图象.
【例题4】点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】反比例函数中k＞0，则同一象限内y随x的增大而减小，由于，得到，从而得到的取值范围．
∵在反比例函数y=中，k＞0，
∴在同一象限内y随x增大而减小，
∵，
∴这两个点在同一象限，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的增减性，当k＞0，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，在每一象限内y随x的增大而增大．
(
考点精炼
)
1. （2023武汉）关于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A. 图像位于第二、四象限
B 图像与坐标轴有公共点
C. 图像所在的每一个象限内，随的增大而减小
D. 图像经过点，则
【答案】C
【解析】根据反比例函数的性质逐项排查即可解答．
A．的图像位于第一、三象限，故该选项不符合题意；
B． 的图像与坐标轴没有有公共点，故该选项不符合题意；
C． 的图像所在的每一个象限内，随的增大而减小，故该选项符合题意；
D． 由的图像经过点，则，计算得或，故该选项不符合题意．
故选C．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，明确题意、正确利用反比例函数的性质是解答本题的关键．
2. （2023湖南株洲）下列哪个点在反比例函数的图像上？（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据反比例函数的图像上的点的横纵坐标乘积为4进行判断即可．
A．∵，∴不在反比例函数的图像上，故选项不符合题意；
B．∵，∴不在反比例函数的图像上，故选项不符合题意；
C．∵，∴不在反比例函数的图像上，故选项不符合题意；
D．∵，∴在反比例函数的图像上，故选项符合题意．
故选：D．
【点睛】考查反比例函数，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
3. （2023湖南怀化）已知压力、压强与受力面积之间有如下关系式：．当F为定值时，下图中大致表示压强P与受力面积S之间函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据反比例函数的定义，即可得到答案．
根据题意得：，
∴当物体的压力F为定值时，该物体的压强P与受力面积S的函数关系式是：，
则函数图象是双曲线，同时自变量是正数．故选：D．
【点睛】本题主要考查反比例函数，掌握以及反比例函数定义，是解题的关键．
4. （2023湖南邵阳）如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图像上，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据经过确定解析式为，设正方形的边长为x，则点，代入解析式计算即可．
∵经过，
∴解析式为，
设正方形的边长为x，则点，
∴，
解得（舍去），
故点，故选D．
【点睛】反比例函数的解析式，正方形的性质，解方程，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
5．反比例函数y＝（x＜0）的图象位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】根据题目中的函数解析式和x的取值范围，可以解答本题．
∵反比例函数y＝（x＜0）中，k＝1＞0，∴该函数图象在第三象限，故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的图象,关键在于熟记反比例函数图象的性质.
6. 已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】把点A和点B的坐标代入解析式，根据条件可判断出、的大小关系．
∵点，）是反比例函数的图象时的两点，
∴．
∵，
∴．
【点睛】考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
7. 已知反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ）
A. （2，3） B. （-2，3） C. （3，0） D. （-3，0）
【答案】B
【解析】根据反比例函数性质求出k<0，再根据k=xy，逐项判定即可．
∵反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，,
∴k=xy<0，
A、∵2×3>0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
B、∵-2×3<0，∴点（2，3）可能在这个函数图象上，故此选项符合题意；
C、∵3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
D、∵-3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
8．若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【解析】∵反比例函数，∴图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
①若点A、点B同在第二或第四象限，∵，∴a-1＞a+1，此不等式无解；
②若点A在第二象限且点B在第四象限，∵，∴，解得：；
③由y1＞y2，可知点A在第四象限且点B在第二象限这种情况不可能．
综上，的取值范围是．故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键，注意要分情况讨论，不要遗漏．
9.（2023湖北十堰） 函数的图象可以由函数的图象左右平移得到．
（1）将函数的图象向右平移4个单位得到函数的图象，则____；
（2）下列关于函数的性质：①图象关于点对称；②随的增大而减小；③图象关于直线对称；④的取值范围为．其中说法正确的是________（填写序号）；
（3）根据（1）中的值，写出不等式的解集：_________．
【答案】（1） （2）①④ （3）或
【解析】【分析】（1）根据“左加右减”的规律即可求解；
（2）根据平移的性质得出①正确；类比反比例函数图象的性质即可判断②④，根据平移的性质将向左平移个单位，得出，即可判断③；
（3）根据题意，画出两个函数图象，结合图象即可求解．
详解】（1）∵函数的图象向右平移4个单位得到函数的图象，
∴；
故答案为：．
（2）∵可以看作是由向左平移个单位得到的，
∵函数图象的对称中心为，将其对称中心向左平移个单位，
则对称中心为，故①正确，
②类比反比例函数图象，可得，故函数图象不是连续的，
在直线两侧， 随的增大而减小；故②错误；
③∵关于对称，
同①可得，向左平移个单位得到：
∴图象关于直线对称；故③不正确；
④∵平移后的对称中心为，左右平移图象后，与轴没有交点，
∴的取值范围为．故④正确，
故答案为：①④．
（3）∵，
∴不等式
如图所示，在第三象限内和第一象限内，，
∴或，
故答案为：或．
【点睛】考查反比例函数的性质，一次函数的平移，平移的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
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讲座一 反比例函数
专题02 反比例函数的图象和性质
(
课标要求
)
1. 经历画反比例函数的图象、归纳得到反比例函数的图象特征和性质的过程。
2. 会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图象和性质。
3. 能够初步应用反比例函数的图象和性质解题。
(
知识点解读
)
1．反比例函数的图象与性质
（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
提示：画函数（k是常数，k≠0）的图象步骤一般分为：列表→描点→连线. 需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0.
（2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
2．反比例函数图象的对称性
反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．
(
思维方法
)
1．画反比例函数图像方法
（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．
（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永不与坐标轴相交，因为反比例函数中x≠0且y≠0．
（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
2. 正确的表述方法
双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．
(
考点
例题讲析
)
【例题1】（2023湖北荆州）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系．下列反映电流与电阻之间函数关系的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【例题2】（2023湖北天门）在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【例题3】画反比例函数y=6/x 与y=12/x的图象.
【例题4】点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是______．
(
考点精炼
)
1. （2023武汉）关于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A. 图像位于第二、四象限
B 图像与坐标轴有公共点
C. 图像所在的每一个象限内，随的增大而减小
D. 图像经过点，则
2. （2023湖南株洲）下列哪个点在反比例函数的图像上？（ ）
A. B. C. D.
3. （2023湖南怀化）已知压力、压强与受力面积之间有如下关系式：．当F为定值时，下图中大致表示压强P与受力面积S之间函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
4. （2023湖南邵阳）如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图像上，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
5．反比例函数y＝（x＜0）的图象位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6. 已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ）
A. （2，3） B. （-2，3） C. （3，0） D. （-3，0）
8．若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
9.（2023湖北十堰） 函数的图象可以由函数的图象左右平移得到．
（1）将函数的图象向右平移4个单位得到函数的图象，则____；
（2）下列关于函数的性质：①图象关于点对称；②随的增大而减小；③图象关于直线对称；④的取值范围为．其中说法正确的是________（填写序号）；
（3）根据（1）中的值，写出不等式的解集：_________．
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