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2024年人教版九年数学下册同步及知识拓展学讲练测讲义（全国通用）
讲座一 反比例函数
专题03 用待定系数法求反比例函数的解析式
(
课标要求
)
1.学会求解反比例函数解析式的方法；
2.能用来解决实际反比例函数的解析式。
(
知识点解读
)
1.待定系数法：
确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤
（1）设反比例函数解析式为（k≠0）；
（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；
（3）解这个方程求出待定系数k；
（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．
(
思维方法
)
1．反比例函数的解析式（k≠0）中，只有一个待定系数k，确定了k值，也就确定了反比例函数，因要确定反比例函数的解析式，只需给出一对x，y的对应值或图象上一个点的坐标，代入中即可．
2．确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y的值，若所求值等于点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上．（2）把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k，则点在图象上，若乘积不等于k，则点不在图象上．
(
考点
例题讲析
)
【例题1】已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是( )
A．y= B．y=﹣ C．y= D．y=﹣
【例题2】如图，点P（x，y）在双曲线的图象上，PA⊥x轴，垂足为A，若S△AOP＝2，则该反比例函数的解析式为 _____．
【例题3】（2023湖北随州）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：)是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为( )
A. B. C. D.
(
考点精炼
)
1. 已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是( )
A．y= B．y=﹣ C．y= D．y=﹣
2.如图所示，反比例函数的图象与经过坐标原点的直线l相交于A、B两点，过点B
作轴的垂线，垂足为C，若△ABC的面积为3，则这个反比例函数的解析式为 。
3.如图所示，点A在反比例函数y=k/x的图象上，AC垂直 x 轴于点 C，且 △AOC 的面积为 2，求该反比例函数的表达式．
4.如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，反比例函数的图象经过点(1，4)，菱
形OABC的顶点A在函数的图象上，对角线OB在轴上．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）直接写出菱形OABC的面积．
5.如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）．
（1）求点D的坐标；（2）求经过点C的反比例函数解析式．
6. （2023四川内江）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与x轴相交于点C，连接．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）当时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式的解集；
（3）过点B作平行于x轴，交于点D，求梯形的面积．
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2024年人教版九年数学下册同步及知识拓展学讲练测讲义（全国通用）
讲座一 反比例函数
专题03 用待定系数法求反比例函数的解析式
(
课标要求
)
1.学会求解反比例函数解析式的方法；
2.能用来解决实际反比例函数的解析式。
(
知识点解读
)
1.待定系数法：
确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤
（1）设反比例函数解析式为（k≠0）；
（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；
（3）解这个方程求出待定系数k；
（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．
(
思维方法
)
1．反比例函数的解析式（k≠0）中，只有一个待定系数k，确定了k值，也就确定了反比例函数，因要确定反比例函数的解析式，只需给出一对x，y的对应值或图象上一个点的坐标，代入中即可．
2．确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y的值，若所求值等于点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上．（2）把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k，则点在图象上，若乘积不等于k，则点不在图象上．
(
考点
例题讲析
)
【例题1】已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是( )
A．y= B．y=﹣ C．y= D．y=﹣
【答案】D
【解析】设反比例函数解析式为y=，将(2，-4)代入，得：-4=，
解得：k=-8，所以这个反比例函数解析式为y=-．故选：D．
【点睛】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，求反比例函数解析式只需要知道其图像上一点的坐标即可．
【例题2】如图，点P（x，y）在双曲线的图象上，PA⊥x轴，垂足为A，若S△AOP＝2，则该反比例函数的解析式为 _____．
【答案】
【解析】根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解．
根据题意得：，
∴，
∵图象位于第二象限内，
∴，
∴该反比例函数解析式为．
【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．
【例题3】（2023湖北随州）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：)是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】设该反比函数解析式为，根据当时，，可得该反比函数解析式为，再把代入，即可求出电流I．
【详解】设该反比函数解析式为，
由题意可知，当时，，
，
解得：，
设该反比函数解析式为，
当时，，
即电流为，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，求出反比例函数解析式是解题关键．
(
考点精炼
)
1. 已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是( )
A．y= B．y=﹣ C．y= D．y=﹣
【答案】D
【解析】设解析式y=，代入点(2,-4)求出即可．
设反比例函数解析式为y=，将(2，-4)代入，得：-4=，
解得：k=-8，所以这个反比例函数解析式为y=-．故选：D．
【点睛】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，求反比例函数解析式只需要知道其图像上一点的坐标即可．
2.如图所示，反比例函数的图象与经过坐标原点的直线l相交于A、B两点，过点B
作轴的垂线，垂足为C，若△ABC的面积为3，则这个反比例函数的解析式为 。
【答案】
【解析】设A（，）（，），
则根据反比例函数的对称性，B（－，－）（，），
因此 S△ABC= S△ACO＋S△BCO=。
则这个反比例函数的解析式为。
3.如图所示，点A在反比例函数y=k/x的图象上，AC垂直 x 轴于点 C，且 △AOC 的面积为 2，求该反比例函数的表达式．
【答案】y=4/x
【解析】设点 A 的坐标为(xA，yA)，
∵点 A 在反比例函数y=k/x的图象上，
∴ xA·yA＝k，
∴ S△AOC＝k/2＝2，
∴ k＝4，
∴反比例函数的表达式为y=4/x
4.如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，反比例函数的图象经过点(1，4)，菱
形OABC的顶点A在函数的图象上，对角线OB在轴上．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）直接写出菱形OABC的面积．
【答案】（1）（2）8
【解析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将点A的坐标(1，4)代入即可求出，从而求出反比例函数的关系式。
∵的图象经过点(1，4)，
∴，即＝4 。
∴所求反比例函数的关系式为。
（2）根据菱形的性质，可得S菱形OABC＝4××1×4＝8
5.如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）．
（1）求点D的坐标；（2）求经过点C的反比例函数解析式．
【答案】见解析。
【解析】菱形的四边相等，对边平行，根据此可求出D点的坐标；求出C点的坐标，设出反比例函数的解析式，根据C点的坐标可求出确定函数式。
（1） ∵A（0，4），B（﹣3，0）， ∴OA=4，OB=3。 ∴AB=5。
在菱形ABCD中，AD=AB=5, ∴OD=1。 ∴D（0，1） 。
（2）∵BC∥AD, BC=AB=5，∴C（－3，－5）。
设经过点C的反比例函数解析式为，
把（－3，－5）代入中，得：， ∴。
∴经过点C的反比例函数解析式为。
6. （2023四川内江）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与x轴相交于点C，连接．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）当时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式的解集；
（3）过点B作平行于x轴，交于点D，求梯形的面积．
【答案】（1）反比例函数为：，一次函数为． （2） （3）9
【解析】【分析】（1）利用可得反比例函数为，再求解，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；
（2）由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合可得答案；
（3）求解的解析式为：，结合过点B作平行于x轴，交于点D，，可得，，由为，可得，，再利用梯形的面积公式进行计算即可．
【详解】（1）∵反比例函数过，
∴，
∴反比例函数为：，
把代入可得：，
∴，
∴，解得：，
∴一次函数为．
（2）由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合可得
不等式的解集为：．
（3）∵，同理可得的解析式为：，
∵过点B作平行于x轴，交于点D，，
∴，
∴，即，
∴，
∵为，
当，则，即，
∴，
∴梯形的面积为：．
【点睛】本题考查是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，利用图象解不等式，坐标与图形面积，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
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