中小学教育资源及组卷应用平台
2024年人教版九年数学下册同步及知识拓展学讲练测讲义（全国通用）
讲座一 反比例函数
专题07 反比例函数单元总结与例题讲析
(
课标要求
)
1. 结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式。
2. 能画出反比例函数的图像，根据图像和表达式 y =(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时，图像的变化情况。
3. 能用反比例函数解决简单实际问题。
(
知识点解读
)
1. 反比例函数的概念
定义：形如y=k/x (k为常数，k≠0) 的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例
系数．
三种表达式方法：y=k/x 或 xy＝kx 或y＝kx－1 (k≠0)．
防错提醒：(1)k≠0；(2)自变量x≠0；(3)函数y≠0.
2.反比例函数的图象和性质
(1) 反比例函数的图象：反比例函数 y=k/x (k≠0)的图象是双曲线，它既是轴对称图形又是中心对称图形.
反比例函数的两条对称轴为直线y = x和y=－x；
对称中心是原点.
（2）反比例函数的性质
（3）反比例函数比例系数 k 的几何意义
k 的几何意义：反比例函数图象上的点 (x，y) 具有两坐标之积 (xy＝k) 为常数这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数 |k|.
规律：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数 |k|/2．
3. 反比例函数的应用
（1）利用待定系数法确定反比例函数：
① 根据两变量之间的反比例关系，设y=k/x；
② 代入图象上一个点的坐标，即 x、y 的一对对应值，求出 k 的值；
③ 写出解析式.
（2）反比例函数与一次函数的图象的交点的求法
求直线 y＝k1x＋b (k1≠0) 和双曲线y=k2/x (k2≠0)的交点坐标就是解这两个函数解析式组成的方程组.
（3）利用反比例函数相关知识解决实际问题
过程：分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题
注意：实际问题中的两个变量往往都只能取非负值.
(
思维方法
)
1.方法总结：比较反比例函数值的大小，在同一个象限内根据反比例函数的性质比较，在不同象限内，不能按其性质比较，函数值的大小只能根据特征确定．
2.方法总结：此类一次函数，反比例函数，二元一次方程组，三角形面积等知识的综合运用，其关键是理清解题思路. 在直角坐标系中，求三角形或四边形面积时，是要选取合适的底边和高，正确利用坐标算出线段长度.
3.学习反比例函数的性质，需要掌握下面四点:
(1)x，y 的取值范围；
(2)增减性；
(3)对称性；
(4)k的几何意义。
(
考点
例题讲析
)
【例题1】已知函数y＝(2m2＋m－1)x2m2+3m-3是反比例函数，求m的值．【例题2】已知变量y与x成反比例，且当x＝2时，y＝－6.求：
(1)y与x之间的函数解析式；
(2)当y＝2时，x的值．
【例题3】若正比例函数y＝－2x与反比例函数y＝图象的一个交点坐标为(－1，2)，则另一个交点坐标为( )
A．(2，－1) B．(1，－2)
C．(－2，－1) D．(－2，1)
【例题4】若M(－4，y1)、N(－2，y2)、P(2，y3)三点都在函数y＝(k＜0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为( )
A．y2＞y3＞y1 B．y2＞y1＞y3
C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
【例题5】（2023湖南湘潭）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图像上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于直N，若四边形的面积为2．则k的值是（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
【例题6】（2023湖北天门）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的面积为_________．
【例题7】在某河治理工程施工过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y(天)与每天完成的工程量x(m/天)的函数关系图象如图所示．
(1)请根据题意，求y与x之间的函数表达式；
(2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠15米，问该工程队需用多少天才能完成此项任务？
(3)如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内(按30天计算)完成任务，那么每天至少要完成多少米？
【例题8】在反比例函数y＝的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k的值可以
是( )
A．－1 B．3 C．1 D．2
【例题9】公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆原理”，小明利用此原理，要制作一个杠杆撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200N和0.5m.
(1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m时，撬动石头至少要多大的力？
(2)若想使动力F不超过(1)题中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？
【例题10】（2023四川广元） 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴交于点C，将直线沿y轴向上平移3个单位长度后与反比例函数图象交于点D，E．
（1）求k，m的值及C点坐标；
（2）连接，，求的面积．
【例题11】（2023浙江杭州）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．
（1）求的值．
（2）过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2024年人教版九年数学下册同步及知识拓展学讲练测讲义（全国通用）
讲座一 反比例函数
专题07 反比例函数单元总结与例题讲析
(
课标要求
)
1. 结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式。
2. 能画出反比例函数的图像，根据图像和表达式 y =(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时，图像的变化情况。
3. 能用反比例函数解决简单实际问题。
(
知识点解读
)
1. 反比例函数的概念
定义：形如y=k/x (k为常数，k≠0) 的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例
系数．
三种表达式方法：y=k/x 或 xy＝kx 或y＝kx－1 (k≠0)．
防错提醒：(1)k≠0；(2)自变量x≠0；(3)函数y≠0.
2.反比例函数的图象和性质
(1) 反比例函数的图象：反比例函数 y=k/x (k≠0)的图象是双曲线，它既是轴对称图形又是中心对称图形.
反比例函数的两条对称轴为直线y = x和y=－x；
对称中心是原点.
（2）反比例函数的性质
（3）反比例函数比例系数 k 的几何意义
k 的几何意义：反比例函数图象上的点 (x，y) 具有两坐标之积 (xy＝k) 为常数这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数 |k|.
规律：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数 |k|/2．
3. 反比例函数的应用
（1）利用待定系数法确定反比例函数：
① 根据两变量之间的反比例关系，设y=k/x；
② 代入图象上一个点的坐标，即 x、y 的一对对应值，求出 k 的值；
③ 写出解析式.
（2）反比例函数与一次函数的图象的交点的求法
求直线 y＝k1x＋b (k1≠0) 和双曲线y=k2/x (k2≠0)的交点坐标就是解这两个函数解析式组成的方程组.
（3）利用反比例函数相关知识解决实际问题
过程：分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题
注意：实际问题中的两个变量往往都只能取非负值.
(
思维方法
)
1.方法总结：比较反比例函数值的大小，在同一个象限内根据反比例函数的性质比较，在不同象限内，不能按其性质比较，函数值的大小只能根据特征确定．
2.方法总结：此类一次函数，反比例函数，二元一次方程组，三角形面积等知识的综合运用，其关键是理清解题思路. 在直角坐标系中，求三角形或四边形面积时，是要选取合适的底边和高，正确利用坐标算出线段长度.
3.学习反比例函数的性质，需要掌握下面四点:
(1)x，y 的取值范围；
(2)增减性；
(3)对称性；
(4)k的几何意义。
(
考点
例题讲析
)
【例题1】已知函数y＝(2m2＋m－1)x2m2+3m-3
是反比例函数，求m的值．
【答案】-2
【解析】由反比例函数的定义可得 2m2＋3m－3＝－1，2m2＋m－1≠0，然后求解即可．
∵y＝(2m2＋m－1)x2m2＋3m－3是反比例函数，
∴
解得m＝－2.
方法总结：反比例函数也可以写成y＝kx－1(k≠0)的形式，注意x的次数为－1，系数不等于0.
【例题2】已知变量y与x成反比例，且当x＝2时，y＝－6.求：
(1)y与x之间的函数解析式；
(2)当y＝2时，x的值．
【答案】见解析
【解析】(1)由题意中变量y与x成反比例，设出函数的解析式，利用待定系数法进行求解．(2)代入求得的函数解析式，解得x的值即可．
解：(1)∵变量y与x成反比例，∴设y＝(k≠0)，∵当x＝2时，y＝－6，∴k＝2×(－6)＝－12，∴y与x之间的函数解析式是y＝－；
(2)当y＝2时，y＝－＝2，解得x＝－6.
方法总结：用待定系数法求反比例函数解析式时要注意：①设出含有待定系数的反比例函数解析式，形如y＝(k为常数，k≠0)；②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数；④写出解析式．
【例题3】若正比例函数y＝－2x与反比例函数y＝图象的一个交点坐标为(－1，2)，则另一个交点坐标为( )
A．(2，－1) B．(1，－2)
C．(－2，－1) D．(－2，1)
【答案】B
【解析】∵正比例函数y＝－2x与反比例函数y＝的图象均关于原点对称，∴两函数的交点也关于原点对称．∵一个交点的坐标是(－1，2)，∴另一个交点的坐标是(1，－2)．故选B.
方法总结：反比例函数y＝(k≠0)的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴是一、三(或二、四)象限角平分线所在的直线，对称中心是坐标原点．
【例题4】若M(－4，y1)、N(－2，y2)、P(2，y3)三点都在函数y＝(k＜0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为( )
A．y2＞y3＞y1 B．y2＞y1＞y3
C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
【答案】B
【解析】∵k＜0，故反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大．∵M(－4，y1)、N(－2，y2)是双曲线y＝(k＜0)上的两点，∴y2>y1>0.∵2＞0，P(2，y3)在第四象限，∴y3＜0.故y1，y2，y3的大小关系为y2＞y1＞y3.故选B.
方法总结：反比例函数的解析式是y＝(k≠0)，当k＜0时，图象在第二、四象限，且在每个现象内y随x的增大而增大；当k＞0，图象在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小．
【例题5】（2023湖南湘潭）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图像上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于直N，若四边形的面积为2．则k的值是（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】证明四边形是矩形，根据反比例函数的值的几何意义，即可解答．
轴于点M，轴于直N，，
四边形是矩形，
四边形的面积为2，
，
反比例函数在第一、三象限，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的判定，反比例函数的值的几何意义，熟知在一个反比例函数图像上任取一点，过点分别作x轴，y轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积为是解题的关键．
【例题6】（2023湖北天门）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的面积为_________．
【答案】
【解析】利用待定系数法求出反比例函数解析式，从而求出点坐标，画图，最后利用割补法即可求出的面积．
反比例函数的图象经过点，
，
．
反比例函数为：．
反比例函数的图象经过点，
，
．
如图所示，过点作于，过点作的延长线于，设与轴的交点为，
，，
，，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数，涉及到待定系数求解析式，反比例函数与三角形面积问题，解题的关键需要画出图形以及利用割补法求出面积．
【例题7】在某河治理工程施工过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y(天)与每天完成的工程量x(m/天)的函数关系图象如图所示．
(1)请根据题意，求y与x之间的函数表达式；
(2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠15米，问该工程队需用多少天才能完成此项任务？
(3)如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内(按30天计算)完成任务，那么每天至少要完成多少米？
【答案】见解析
【解析】(1)将点(24，50)代入反比例函数解析式，即可求得反比例函数的解析式；(2)用工作效率乘以工作时间即可得到工作量，然后除以工作效率即可得到工作时间；(3)工作量除以工作时间即可得到工作效率．
解：(1)设y＝.∵点(24，50)在其图象上，∴k＝24×50＝1200，所求函数表达式为y＝；
(2)由图象可知共需开挖水渠24×50＝1200(m)，2台挖掘机需要工作1200÷(2×15)＝40(天)；
(3)1200÷30＝40(m)，故每天至少要完成40m.
方法总结：解决问题的关键是掌握工作量、工作效率和工作时间之间的关系．
【例题8】在反比例函数y＝的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k的值可以
是( )
A．－1 B．3 C．1 D．2
【答案】A
【解析】∵反比例函数y＝的图象在每一条曲线上，y都随x的增大而减小，∴1－k＞0，解得k＜1.故选A.
方法总结：对于函数y＝，当k＞0时，其图象在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，熟记这些性质在解题时能事半功倍．
【例题9】公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆原理”，小明利用此原理，要制作一个杠杆撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200N和0.5m.
(1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m时，撬动石头至少要多大的力？
(2)若想使动力F不超过(1)题中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？
【答案】见解析
【解析】(1)根据“动力×动力臂＝阻力×阻力臂”，可得出F与l的函数关系式，将l＝1.5m代入可求出F；(2)根据(1)的答案，可得F≤200，解出l的最小值，即可得出动力臂至少要加长多少．
解：(1)Fl＝1200×0.5＝600N·m，则F＝.当l＝1.5m时，F＝＝400N；
(2)由题意得，F＝≤200，解得l≥3m，故至少要加长1.5m.
方法总结：明确“动力×动力臂＝阻力×阻力臂”是解题的关键．
【例题10】（2023四川广元） 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴交于点C，将直线沿y轴向上平移3个单位长度后与反比例函数图象交于点D，E．
（1）求k，m的值及C点坐标；
（2）连接，，求的面积．
【答案】（1）；； （2）
【解析】【分析】（1）把点代入和求出k、m的值即可；把代入的解析式，求出点C的坐标即可；
（2）延长交x轴于点F，先求出平移后的关系式，再求出点D的坐标，然后求出解析式，得出点F的坐标，根据求出结果即可．
【详解】（1）把点代入和得：
，，
解得：，，
∴的解析式为，反比例函数解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴点C的坐标为；
（2）延长交x轴于点F，如图所示：
将直线沿y轴向上平移3个单位长度后解析式：
，
联立，
解得：，，
∴点，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
把代入得，
解得：，
∴点F的坐标为，
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求一次函数解析式，反比例函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法，能求出一次函数和反比例函数的交点坐标．
【例题11】（2023浙江杭州）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．
（1）求的值．
（2）过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点．
【答案】（1）， （2）见解析
【解析】【分析】（1）首先将点的横坐标代入求出点A的坐标，然后代入求出，然后将点的纵坐标代入求出，然后代入即可求出；
（2）首先根据题意画出图形，然后求出点C和点D的坐标，然后利用待定系数法求出所在直线的表达式，进而求解即可．
【详解】（1）∵点的横坐标是2，
∴将代入
∴，
∴将代入得，，
∴，
∵点的纵坐标是，
∴将代入得，，
∴，
∴将代入得，，
∴解得，
∴；
（2）如图所示，
由题意可得，，，
∴设所在直线的表达式为，
∴，解得，
∴，
∴当时，，
∴直线经过原点．
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式等知识，解题关键是熟练掌握以上知识点．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
