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2024年人教版九年数学下册同步及知识拓展学讲练测讲义（全国通用）
讲座一 反比例函数
专题04 求解反比例函数的k值
(
课标要求
)
1. 理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中.
2. 体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想方法，进一步提高对反比例函数相关知识的综合运用能力.
(
知识点解读
)
1.反比例函数解析式中 k 的几何意义
对于反比例函数y=k/x, 点 Q 是其图象上的任意一点，作 QA 垂直于 y 轴，作QB 垂直于x 轴，矩形AOBQ的面积与 k 的关系是S=|k|
2. 推理：
△QAO与△QBO的面积和 k 的关系是S△QAO=S△QBO=|k|/2
(
思维方法
)
反比例函数图象中有关图形的面积
(
考点
例题讲析
)
【例题1】已知反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣5），则k的值为 ．
【答案】﹣10．
【解析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，k＝2×（﹣5）＝﹣10．
∵反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣5），
∴k＝2×（﹣5）＝﹣10．
【例题2】如图，矩形ABOC的顶点A在反比例函数y＝的图象上，矩形ABOC的面积为3，则k＝ ．
【答案】3．
【解析】根据反比例函数系数k的几何意义可得出答案．
∵矩形ABOC的面积为3，
∴|k|＝3，
又∵k＞0，
∴k＝3．
【例题3】（2023湖南张家界）如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为3，则k的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】设点的坐标为，根据矩形对称中心的性质得出延长恰好经过点B，，确定，然后结合图形及反比例函数的意义，得出，代入求解即可．
【详解】∵四边形是矩形，
∴，，
设点的坐标为，
∵矩形的对称中心M，
∴延长恰好经过点B，，
∵点D在上，且，
∴，
∴，
∴
∵在反比例函数的图象上，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，故选C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
(
考点精炼
)
1. 如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则________．
【答案】3
【解析】【分析】过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，先证四边形CDEB为矩形，得出CD=BE，再证Rt△COD≌Rt△BAE（HL），根据S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，再求S△OBA=即可．
详解】过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，
∴CD∥BE，
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴CB∥OA，即CB∥DE，OC=AB，
∴四边形CDEB为平行四边形，
∵CD⊥OA，
∴四边形CDEB为矩形，
∴CD=BE，
∴在Rt△COD和Rt△BAE中，
，
Rt△COD≌Rt△BAE（HL），
∴S△OCD=S△ABE，
∵OC=AC，CD⊥OA，
∴OD=AD，
∵反比例函数的图象经过点C，
∴S△OCD=S△CAD=，
∴S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，
∴S△OBA=，
∴S△OBE=S△OBA+S△ABE=，
∴．
故答案为3．
【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质．
2．如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于点M，反比例函数y=（x＞0）的图象恰好经过点F，M．若直尺的宽CD=3，三角板的斜边FG=，则k=_____．
【答案】
【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，求出MN，FN，进而求出AN、MB，表示出点F、点M的坐标，利用反比例函数k的意义，确定点F的坐标，进而确定k的值即可．
【解析】过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN=AD=3，
在Rt△FMN中，∠MFN=30°，∴FN=MN=3，∴AN=MB=8﹣3=5，
设OA=x，则OB=x+3，∴F（x，8），M（x+3，5），∴8x=（x+3）×5，
解得，x=5，∴F（5，8），∴k=5×8=40．故答案为：40．
【点睛】考查反比例函数的图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法．
3．如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，过点A作AC⊥x轴于点C，AC交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B，点P是y轴正半轴上一点．若△PAB的面积为2，则k的值为 ．
【答案】8
【解析】连接OA、OB，由反比例函数系数k的几何意义可得S△AOC＝6，S△BOC＝，又S△AOB＝S△APB＝2，所以S△AOC﹣S△BOC＝2，代入计算即可得出k的值．
解：连接OA、OB，
∵AC⊥x轴，
∴AC∥y轴，
∴S△AOB＝S△APB，
∵S△APB＝2，
∴S△AOB＝2，
由反比例函数系数k的几何意义可得：
S△AOC＝6，S△BOC＝，
∴6﹣＝2，
解得：k＝8，
故答案为8．
4．如图，一直线经过原点O，且与反比例函数y＝（k＞0）相交于点A、点B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，连接BC．若△ABC面积为8，则k＝ ．
【答案】8
【解析】首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段AB的中点，故△BOC的面积等于△AOC的面积，都等于4，然后由反比例函数y＝的比例系数k的几何意义，可知△AOC的面积等于|k|，从而求出k的值．
∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，
∴A、B两点关于原点对称，
∴OA＝OB，
∴△BOC的面积＝△AOC的面积＝8÷2＝4，
又∵A是反比例函数y＝图象上的点，且AC⊥y轴于点C，
∴△AOC的面积＝|k|，
∴|k|＝4，
∵k＞0，
∴k＝8．
5. （2023湖南株洲）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，其中点A、C分别在x轴负半轴，y轴负半轴上，点B在第三象限内，点，点在函数的图像上
（1）求k的值；
（2）连接，记的面积为S，设，求T的最大值．
【答案】（1） （2）1
【解析】【分析】（1）点在函数的图像上，代入即可得到k的值；
（2）由点在x轴负半轴得到，由四边形为正方形得到，轴，得的面积为，则，根据二次函数的性质即可得到T的最大值．
【详解】（1）∵点在函数的图像上，
∴，
∴，
即k的值为2；
（2）∵点在x轴负半轴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，轴，
∴的面积为，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，有最大值，T的最大值是1．
【点睛】此题考查了二次函数的性质、反比例函数的图象和性质、正方形的性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
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专题04 求解反比例函数的k值
(
课标要求
)
1. 理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中.
2. 体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想方法，进一步提高对反比例函数相关知识的综合运用能力.
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知识点解读
)
1.反比例函数解析式中 k 的几何意义
对于反比例函数y=k/x, 点 Q 是其图象上的任意一点，作 QA 垂直于 y 轴，作QB 垂直于x 轴，矩形AOBQ的面积与 k 的关系是S=|k|
2. 推理：
△QAO与△QBO的面积和 k 的关系是S△QAO=S△QBO=|k|/2
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思维方法
)
反比例函数图象中有关图形的面积
(
考点
例题讲析
)
【例题1】已知反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣5），则k的值为 ．
【例题2】如图，矩形ABOC的顶点A在反比例函数y＝的图象上，矩形ABOC的面积为3，则k＝ ．
【例题3】（2023湖南张家界）如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为3，则k的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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考点精炼
)
1. 如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则________．
2．如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于点M，反比例函数y=（x＞0）的图象恰好经过点F，M．若直尺的宽CD=3，三角板的斜边FG=，则k=_____．
3．如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，过点A作AC⊥x轴于点C，AC交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B，点P是y轴正半轴上一点．若△PAB的面积为2，则k的值为 ．
4．如图，一直线经过原点O，且与反比例函数y＝（k＞0）相交于点A、点B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，连接BC．若△ABC面积为8，则k＝ ．
5. （2023湖南株洲）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，其中点A、C分别在x轴负半轴，y轴负半轴上，点B在第三象限内，点，点在函数的图像上
（1）求k的值；
（2）连接，记的面积为S，设，求T的最大值．
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