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2024年人教版九年数学下册同步及知识拓展学讲练测讲义（全国通用）
讲座三 锐角三角函数
专题05 锐角三角函数单元总结与例题讲析
(
课标要求
)
1.探索并认识锐角三角函数（sin A，cos A，tan A），知道30°，45°，60°角的三角函数值。
2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。
3.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。
(
总结知识点
)
知识点一：锐角三角函数
1．三角函数定义
在Rt△ABC中，若∠C=90°
2.同角三角函数的关系
（1）平方关系：
（2）商数关系：
（3）倒数关系：
3.互为余角的三角函数关系
，
，
或者：若∠A+∠B=90°，则
sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=cotB，cotA=tanB
特殊角的三角函数值
α sinα Cosα tanα cotα
0° 0 1 0 不存在
30°
45° 1 1
60°
90° 1 0 不存在 0
5.锐角三角函数的增减性(0°--90°)
（1）锐角的正弦值（或正切值）随着角度的增大而增大，随着角度的减小而减小。
（2）锐角的余弦值（或余切值）随着角度的增大而减小，随着角度的减小而增大。
6.锐角三角函数的取值范围
0≤sinα≤1，0≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0.
知识点二：解直角三角形
1.直角三角形中边角关系
在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么
（1）三边之间的关系为（勾股定理）
（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90°
（3）30°角所对直角边等于斜边的一半。
（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（5）边角之间的关系为：
sinA＝cosB＝a/c，
cosA＝sinB ＝b/c，
tanA＝sinA/cosA，
tanB＝sinB/cosB.
2.其他有关公式
（1）==
（2）Rt△面积公式：
（3）直角三角形外接圆的半径，内切圆半径
结论：直角三角形斜边上的高
3.实际问题中术语的含义
(1)仰角与俯角
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。
(2)坡度：如图，我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或坡比），用字母i表示，即.
（3）坡角：坡面与水平面的夹角；
（4）坡度与坡角（用表示）的关系：i=tan.坡角越大，坡度越大，坡面越陡。
（5）方位角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°角的为方位角．
知识点三：利用三角函数测高
(1) 测量底部可以到达的物体的高度步骤：
①在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；
②量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；
③量出测倾器的高度AC=a，可求出 MN=ME+EN=l·tanα+a.
(2) 测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？
①在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；
②在测点A与物体之间的B处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MDE=β；
③量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A，B之间的距离 AB=b.根据测量数据，可求出物体MN的高度.
(
思维方法
)
一、解直角三角形问题的依据与类型
（1）解直角三角形的的定义：已知边和角(其中必有一条边)，求所有未知的边和角.
（2）解直角三角形的依据：
角的关系：两个锐角互余；
边的关系：勾股定理；
边角关系：锐角三角函数；
（3）解直角三角形的常见类型及一般解法
Rt△ABC中的已知条件 一般解法
两边 两直角边a，b (1)； (2)由求出∠A； (3)∠B=90 ∠A.
一直角边a，斜边c (1)； (2)由求出∠A； (3)∠B=90 ∠A.
一边一锐角 一直角边a，锐角A (1)∠B=90 ∠A； (2)； (3).
斜边c，锐角A (1)∠B=90 ∠A； (2)a=c·sin A； (3)b=c·cos A.
二、解直角三角形需要注意的问题
1.正确理解锐三角函数的概念，能准确表达各三角函数，并能说出常用特殊角的三角函数值。
2.在完成锐角三角函数的填空、选择题时，要能根据题意画出相关图形，结合图形解题更具直观性。
3.能将实际问题转化为相关的直角三角形问题，即把实际问题抽象为几何问题，研究图形，利用数形结合思想、方程思想等解决生活问题。
4.注重基础，不断创新，掌握解直角三角形的基本技能，能灵活应对在测量、航海、定位等现代生活中常见问题，这也是以后中考命题的趋势。
5.解决实际问题的关键在于建立数学模型，要善于把实际问题的数量关系转化为解直角三角形的问题．在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，应根据题目要求的精确度定答案．
三、求三角函数值的方法总结：
求三角函数值方法较多，解法灵活，在具体的解题中要根据已知条件采取灵活的计算方法，常用的方法主要有：(1)根据特殊角的三角函数值求值；(2)直接运用三角函数的定义求值；(3)借助边的数量关系求值；(4)借助等角求值；(5)根据三角函数关系求值；(6)构造直角三角形求值．
注意：考查已知三角形中的边与角求其他的边与角.解决这类问题一般是结合方程思想与勾股定理，利用锐角三角函数进行求解.
(
考点
例题讲析
)
考点一：求三角函数的值
【例题1】如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（ ）
A. B. C. D.
考点二：特殊角的三角函数值
【例题2】 计算：．
考点三：解直角三角形
【例题3】（2023浙江温州）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形，使点D，E，F分别在边，，上，过点E作于点H．当，，时，的长为（ ）
A. B. C. D.
考点四：三角函数的应用
【例题4】（2023四川广元）“一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为，当其中一片风叶与塔干叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角，风叶的视角．
（1）已知α，β两角和的余弦公式为： ，请利用公式计算；
（2）求风叶的长度．
【例题5】（2023湖南邵阳）我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功，如图（九），有一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达处时，地面处的雷达站测得距离是，仰角为．，火箭直线到达处，此时地面处雷达站测得处的仰角为．求火箭从到处的平均速度（结果精确到）．（参考数据：
）
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讲座三 锐角三角函数
专题05 锐角三角函数单元总结与例题讲析
(
课标要求
)
1.探索并认识锐角三角函数（sin A，cos A，tan A），知道30°，45°，60°角的三角函数值。
2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。
3.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。
(
总结知识点
)
知识点一：锐角三角函数
1．三角函数定义
在Rt△ABC中，若∠C=90°
2.同角三角函数的关系
（1）平方关系：
（2）商数关系：
（3）倒数关系：
3.互为余角的三角函数关系
，
，
或者：若∠A+∠B=90°，则
sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=cotB，cotA=tanB
特殊角的三角函数值
α sinα Cosα tanα cotα
0° 0 1 0 不存在
30°
45° 1 1
60°
90° 1 0 不存在 0
5.锐角三角函数的增减性(0°--90°)
（1）锐角的正弦值（或正切值）随着角度的增大而增大，随着角度的减小而减小。
（2）锐角的余弦值（或余切值）随着角度的增大而减小，随着角度的减小而增大。
6.锐角三角函数的取值范围
0≤sinα≤1，0≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0.
知识点二：解直角三角形
1.直角三角形中边角关系
在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么
（1）三边之间的关系为（勾股定理）
（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90°
（3）30°角所对直角边等于斜边的一半。
（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（5）边角之间的关系为：
sinA＝cosB＝a/c，
cosA＝sinB ＝b/c，
tanA＝sinA/cosA，
tanB＝sinB/cosB.
2.其他有关公式
（1）==
（2）Rt△面积公式：
（3）直角三角形外接圆的半径，内切圆半径
结论：直角三角形斜边上的高
3.实际问题中术语的含义
(1)仰角与俯角
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。
(2)坡度：如图，我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或坡比），用字母i表示，即.
（3）坡角：坡面与水平面的夹角；
（4）坡度与坡角（用表示）的关系：i=tan.坡角越大，坡度越大，坡面越陡。
（5）方位角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°角的为方位角．
知识点三：利用三角函数测高
(1) 测量底部可以到达的物体的高度步骤：
①在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；
②量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；
③量出测倾器的高度AC=a，可求出 MN=ME+EN=l·tanα+a.
(2) 测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？
①在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；
②在测点A与物体之间的B处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MDE=β；
③量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A，B之间的距离 AB=b.根据测量数据，可求出物体MN的高度.
(
思维方法
)
一、解直角三角形问题的依据与类型
（1）解直角三角形的的定义：已知边和角(其中必有一条边)，求所有未知的边和角.
（2）解直角三角形的依据：
角的关系：两个锐角互余；
边的关系：勾股定理；
边角关系：锐角三角函数；
（3）解直角三角形的常见类型及一般解法
Rt△ABC中的已知条件 一般解法
两边 两直角边a，b (1)； (2)由求出∠A； (3)∠B=90 ∠A.
一直角边a，斜边c (1)； (2)由求出∠A； (3)∠B=90 ∠A.
一边一锐角 一直角边a，锐角A (1)∠B=90 ∠A； (2)； (3).
斜边c，锐角A (1)∠B=90 ∠A； (2)a=c·sin A； (3)b=c·cos A.
二、解直角三角形需要注意的问题
1.正确理解锐三角函数的概念，能准确表达各三角函数，并能说出常用特殊角的三角函数值。
2.在完成锐角三角函数的填空、选择题时，要能根据题意画出相关图形，结合图形解题更具直观性。
3.能将实际问题转化为相关的直角三角形问题，即把实际问题抽象为几何问题，研究图形，利用数形结合思想、方程思想等解决生活问题。
4.注重基础，不断创新，掌握解直角三角形的基本技能，能灵活应对在测量、航海、定位等现代生活中常见问题，这也是以后中考命题的趋势。
5.解决实际问题的关键在于建立数学模型，要善于把实际问题的数量关系转化为解直角三角形的问题．在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，应根据题目要求的精确度定答案．
三、求三角函数值的方法总结：
求三角函数值方法较多，解法灵活，在具体的解题中要根据已知条件采取灵活的计算方法，常用的方法主要有：(1)根据特殊角的三角函数值求值；(2)直接运用三角函数的定义求值；(3)借助边的数量关系求值；(4)借助等角求值；(5)根据三角函数关系求值；(6)构造直角三角形求值．
注意：考查已知三角形中的边与角求其他的边与角.解决这类问题一般是结合方程思想与勾股定理，利用锐角三角函数进行求解.
(
考点
例题讲析
)
考点一：求三角函数的值
【例题1】如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据正弦三角函数的定义判断即可．
∵BC⊥AC，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠ABC=α，
∴．
【点睛】本题考查了正弦三角函数的定义．在直角三角形中任意锐角∠A的对边与斜边之比叫做∠A的正弦，记作sin∠A．掌握正弦三角函数的定义是解答本题的关键．
考点二：特殊角的三角函数值
【例题2】 计算：．
【答案】2
【解析】根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数、绝对值的性质化简即可．
原式==2．
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
考点三：解直角三角形
【例题3】（2023浙江温州）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形，使点D，E，F分别在边，，上，过点E作于点H．当，，时，的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据菱形性质和解直角三角形求出，，继而求出再根据，即可求．
【详解】∵在菱形中，，，
∴，
又∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴
∵，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形、菱形的性质，根据菱形性质和解直角三角形求出、、是解题关键．
考点四：三角函数的应用
【例题4】（2023四川广元）“一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为，当其中一片风叶与塔干叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角，风叶的视角．
（1）已知α，β两角和的余弦公式为： ，请利用公式计算；
（2）求风叶的长度．
【答案】（1）
（2）风叶的长度为米
【解析】【分析】（1）根据题中公式计算即可；
（2）过点A作，连接，，先根据题意求出，再根据等腰对等边证明，结合第一问的结论用三角函数即可求，再证明四边形是矩形，即可求出．
【详解】（1）由题意可得：，
∴；
（2）过点A作，连接，，如图所示，
由题意得：米，，
∴米，，
∵三片风叶两两所成的角为，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴米，
∵，，
∴，
由（1）得：，
∴米，
∴米，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴米，
∵三片风叶两两所成的角为，且三片风叶长度相等，
∴，
∴米，
∴风叶的长度为米．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意和作出辅助线是关键．
【例题5】（2023湖南邵阳）我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功，如图（九），有一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达处时，地面处的雷达站测得距离是，仰角为．，火箭直线到达处，此时地面处雷达站测得处的仰角为．求火箭从到处的平均速度（结果精确到）．（参考数据：
）
【答案】火箭从到处的平均速度为
【解析】【分析】根据题意得出，，，，分别解，，求得，进而根据路程除以时间即可求解．
【详解】依题意，得，，，，
在中，，
，
在中，，
∴，
∴火箭从到处的平均速度为，
答：火箭从到处的平均速度为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
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