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2024年人教版九年数学下册同步及知识拓展学讲练测讲义（全国通用）
讲座三 锐角三角函数
专题04 利用仰俯角方位角坡度角等知识解直角三角形
(
课标要求
)
1. 巩固解直角三角形有关知识.
2. 能运用解直角三角形知识解决仰角和俯角有关的实际问题，在解题过程中进一步体会数形结合、转化、方程的数学思想，并从这些问题中归纳出常见的基本模型及解题思路.
3. 正确理解方向角、坡度的概念。
4. 能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题；能够掌握综合性较强的题型、融会贯通地运用相关的数学知识，进一步提高运用解直角三角形知识分析解决问题的综合能力。
(
知识点解读
)
1.仰角与俯角：如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．
2.运用解直角三角形解决仰角、俯角问题
解决实际问题的关键在于建立数学模型，要善于把实际问题的数量关系转化为解直角三角形的问题．在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，应根据题目要求的精确度确定答案。
1.方位角
指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°角的为方位角。
2.解与坡度有关的问题
（1）坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α .
（2）坡度 (或坡比)
如图所示，坡面的铅垂高度 (h) 和水平长度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作i， 即 i = h : l .
坡度通常写成 1∶m的形式，如i=1∶6.
（3）坡度与坡角的关系。即坡度等于坡角的正切值.
3．应用本专题的知识，可以解决：
(1)测量物体高度．
(2)有关航行问题．
(3)计算坝体或边路的坡度等问题．
(
思维方法
)
1．利用仰角和俯角求高度
方法总结：解决此类问题要了解角与角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形．当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
方法总结：本题考查了利用俯角求高度，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．
注意：测底部不可到达物体的高度．如图，
在Rt△ABP中，
BP=xcotα
在Rt△AQB中，
BQ=xcotβ
BQ—BP=a，
即xcotβ-xcotα=a．
2．利用仰角和俯角求不可到达两点之间的距离
方法总结：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
3．仰角和俯角的综合．
方法总结：本题考查的是解直角三角形的应用中仰角、俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
4. 利用方位角解直角三角形
（1）解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
（2）在解决有关方位角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方位角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．
5. 利用坡角、坡度解直角三角形
（1）解决此类问题一般要构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解．
（2）解直角三角形的应用中坡度、坡角问题，明确坡度等于坡角的正切值是解题的关键．
(
考点
例题讲析
)
【例题1】（2023湖北鄂州） 鄂州市莲花山是国家级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅游爱好者的青睐．今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动．如图2，景区工作人员小明准备从元明塔的点G处挂一条大型竖直条幅到点E处，挂好后，小明进行实地测量，从元明塔底部F点沿水平方向步行30米到达自动扶梯底端A点，在A点用仪器测得条幅下端E的仰角为；接着他沿自动扶梯到达扶梯顶端D点，测得点A和点D的水平距离为15米，且；然后他从D点又沿水平方向行走了45米到达C点，在C点测得条幅上端G的仰角为．（图上各点均在同一个平面内，且G，C，B共线，F，A，B共线，G、E、F共线，，）．
（1）求自动扶梯长度；
（2）求大型条幅的长度．（结果保留根号）
【答案】（1）25米 （2）米
【解析】【分析】（1）过D作于M，由可得，求出的长，利用勾股定理即可求解；
（2）过点D作于N，则四边形是矩形，得，，由已知计算得出的长度，解直角三角形得出的长度，在中求得的长度，利用线段的和差，即可解决问题．
【详解】（1）过D作于M，如图：
在中，，
∵(米)，
∴(米)，
由勾股定理得(米)
（2）如图，过点D作于N，
∵，
∴四边形是矩形，
∴(米)，(米)，
由题意，(米)，
∵，
∴，
∴(米)，（米），
由题意，，(米)，
∴，
∴(米)，
∴米
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题、勾股定理、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握锐角三角函数定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【例题2】（2023湖北天门）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：
）
【答案】斜坡的长约为10米
【解析】【分析】过点作于点，在中，利用正弦函数求得，在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】过点作于点，则四边形是矩形，
在中，，
．
∴．
∵，
∴在中，（米）．
答：斜坡的长约为10米．
【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
(
考点精炼
)
1. （2023湖南岳阳）2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在处用仪器测得赛场一宣传气球顶部处的仰角为，仪器与气球的水平距离为20米，且距地面高度为1.5米，则气球顶部离地面的高度是_________米（结果精确到0.1米，）．
【答案】9.5
【解析】通过解直角三角形，求出，再根据求出结论即可．
根据题意得，四边形是矩形，
∴
在中，
∴,
∴
故答案为：9.5
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．此题难度适中，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
2. （2023湖北荆州）如图，无人机在空中处测得某校旗杆顶部的仰角为，底部的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为______．（，结果精确到0.1）
【答案】13.8####
【解析】解直角三角形，求得和的长，即可解答．
根据题意可得，
在中，，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用-俯角仰角，含有30度角的直角三角形的边长特征，熟练解直角三角形是解题的关键．
3. （2023湖南怀化）为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的点用测角仪测得碑顶的仰角为，在点处测得碑顶的仰角为，已知，测角仪的高度是（、、在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高．（，结果保留一位小数）
【答案】烈士纪念碑的通高约为米
【解析】【分析】根据题意，四边形是矩形，米，米，根据三角形的外角的性质得出，，等角对等边得出，进而解，求得，最后根据，即可求解．
【详解】依题意，四边形是矩形，米，米，
∵
∴
∴，
∴米，
在中，
∴米
∴米
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．
4. 如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线．嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯角为7°．已知爸爸的身高为1.7m．
（1）求∠C的大小及AB的长；
（2）请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．（参考数据：取4，取4.1）
【答案】（1）， （2）见详解，约米
【解析】【分析】（1）由水面截线可得，从而可求得，利用锐角三角形的正切值即可求解．
（2）过点作，交MN于D点，交半圆于H点，连接OM，过点M作MG⊥OB于G，水面截线，即可得DH即为所求，由圆周角定理可得，进而可得，利用相似三角形的性质可得，利用勾股定理即可求得的值，从而可求解．
【详解】（1）解：∵水面截线
，
，
，
在中，，，
，
解得．
（2）过点作，交MN于D点，交半圆于H点，连接OM，过点M作MG⊥OB于G，如图所示：
水面截线，，
，，
为最大水深，
，
，
，且，
，
，即，即，
在中，，，
，即，
解得，
，
最大水深约为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形，主要考查了锐角三角函数的正切值、圆周角定理、相似三角形的判定及性质、平行线的性质和勾股定理，熟练掌握解直角三角形的相关知识是解题的关键．
5.如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52′．已知山高BE为56m，楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE．(参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75)
【答案】该铁塔的高AE为52米．
【解析】如图，过点C作CF⊥AB于点F．
设塔高AE=x，由题意得：
EF=BE-CD=56-27=29，AF=AE+EF=(x+29)，
在Rt△AFC中，
∵∠ACF=36°52′，AF=(x+29)，
∴CF===x+，
在Rt△ABD中，
∵∠ADB=45°，AB=x+56，∴BD=AB=x+56.
∵CF=BD，∴x+56=x+. 解得：x=52.
答：该铁塔的高AE为52米．
6．如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度，在观测点处测得大桥主架顶端的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离为60米，且垂直于桥面．（点在同一平面内）
（1）求大桥主架在桥面以上的高度；（结果保留根号）；
（2）求大桥主架在水面以上的高度．（结果精确到1米）（参考数据）
【答案】（1）大桥主架在桥面以上的高度为米；（2）大桥主架在水面以上的高度约为50米．
【解析】（1）垂直于桥面
在中，
（米）
答：大桥主架在桥面以上的高度为米．
（2）在中，
（米）答：大桥主架在水面以上的高度约为50米．
【点睛】本题考查直角三角形的边角关系，锐角三角函数的意义，掌握锐角三角函数的意义是解决问题的前提．
7. 如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．(i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比)
(1)求点B距水平面AE的高度BH；
(2)求广告牌CD的高度．
(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732)
【答案】见解析。
【解析】(1)如图，过B作BG⊥DE于G，
在Rt△ABF中，
∵i=tan∠BAH==，
∴∠BAH=30.
∴BH=AB=5；
(2)由(1)得：BH=5，AH=5，
∴BG=AH+AE=5+15.
在Rt△BGC中，
∵∠CBG=45， ∴CG=BG=5+15．
在Rt△ADE中，
∵∠DAE=60°，AE=15，∴DE=AE=15．
∴CD=CG+GE﹣DE=5+15+5-15=20-10≈2.7m．
答：宣传牌CD高约2.7米．
8. 如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为10海里．
（1）填空：∠BAC＝ 度，∠C＝ 度；
（2）求观测站B到AC的距离BP（结果保留根号）．
【答案】见解析。
【解析】（1）由题意得：∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝90°+15°＝105°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝45°；
故答案为：30，45；
（2）∵BP⊥AC，
∴∠BPA＝∠BPC＝90°，
∵∠C＝45°，
∴△BCP是等腰直角三角形，
∴BP＝PC，
∵∠BAC＝30°，
∴PA＝BP，
∵PA+PC＝AC，
∴BP+BP＝10，
解得：BP＝5﹣5，
答：观测站B到AC的距离BP为（5﹣5）海里．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过解直角三角形得出方程是解题的关键．
9. （2023四川内江）某中学依山而建，校门A处有一坡角的斜坡，长度为30米，在坡顶B处测得教学楼的楼顶C的仰角，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角，的延长线交水平线于点D，求的长（结果保留根号）．
【答案】的长为米
【解析】作于点，首先根据坡度求出，并通过矩形的判定确定出，然后通过解三角形求出，即可相加得出结论．
【详解】如图所示，作于点，则由题意，四边形为矩形，
∵在中，，，，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
由题意，，，，，
∴为等腰直角三角形，，
设，则，
在中，，
∴，即：，
解得：，经检验，是上述方程的解，且符合题意，
∴，
∴，
∴的长为米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，准确构造出直角三角形并求解是解题关键．
10. （2023浙江宁波）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．
（1）如图2，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式示．
（2）如图3，为了测量广场上空气球离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点分别测得气球的仰角为，为，地面上点在同一水平直线上，，求气球离地面的高度．（参考数据：，）
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】（1）如图，铅垂线与水平线相互垂直，从而利用直角三角形中两锐角互余即可得到答案；
（2）根据题意，，在中，，由等腰直角三角形性质得到；在中，，由，解方程得到答案．
【详解】（1）解：如图所示：
由题意知，
在中，，则，即，
；
（2）解：如图所示：
，
在中，，由等腰直角三角形性质得到，
在中，，
由，
即，
解得，
气球离地面的高度．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，涉及直角三角形性质、等腰直角三角形性质和正切函数测高等，熟练掌握解直角三角形的方法及相关知识点是解决问题的关键．
11. （2023湖南株洲）如图所示，在某交叉路口，一货车在道路①上点A处等候“绿灯”一辆车从被山峰遮挡的道路②上的点B处由南向北行驶．已知，，线段的延长线交直线于点D．
（1）求大小；
（2）若在点B处测得点O在北偏西方向上，其中米．问该轿车至少行驶多少米才能发现点A处货车？（当该轿车行驶至点D处时，正好发现点A处的货车）
【答案】（1）
（2）轿车至少行驶24米才能发现点A处的货车
【解析】【分析】（1）由得到，由得到，由得到，即可得到的大小；
（2）由得到，在中求得，由勾股定理得到，由得到，即可得到答案．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的大小为；
（2）∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即轿车至少行驶24米才能发现点A处的货车．
【点睛】此题考查了解直角三角形、勾股定理、垂直定义和平行线的性质、方位角的的定义等知识，读懂题意，熟练掌握直角三角形的性质和锐角三角形函数的定义是解题的关键．
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2024年人教版九年数学下册同步及知识拓展学讲练测讲义（全国通用）
讲座三 锐角三角函数
专题04 利用仰俯角方位角坡度角等知识解直角三角形
(
课标要求
)
1. 巩固解直角三角形有关知识.
2. 能运用解直角三角形知识解决仰角和俯角有关的实际问题，在解题过程中进一步体会数形结合、转化、方程的数学思想，并从这些问题中归纳出常见的基本模型及解题思路.
3. 正确理解方向角、坡度的概念。
4. 能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题；能够掌握综合性较强的题型、融会贯通地运用相关的数学知识，进一步提高运用解直角三角形知识分析解决问题的综合能力。
(
知识点解读
)
1.仰角与俯角：如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．
2.运用解直角三角形解决仰角、俯角问题
解决实际问题的关键在于建立数学模型，要善于把实际问题的数量关系转化为解直角三角形的问题．在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，应根据题目要求的精确度确定答案。
1.方位角
指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°角的为方位角。
2.解与坡度有关的问题
（1）坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α .
（2）坡度 (或坡比)
如图所示，坡面的铅垂高度 (h) 和水平长度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作i， 即 i = h : l .
坡度通常写成 1∶m的形式，如i=1∶6.
（3）坡度与坡角的关系。即坡度等于坡角的正切值.
3．应用本专题的知识，可以解决：
(1)测量物体高度．
(2)有关航行问题．
(3)计算坝体或边路的坡度等问题．
(
思维方法
)
1．利用仰角和俯角求高度
方法总结：解决此类问题要了解角与角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形．当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
方法总结：本题考查了利用俯角求高度，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．
注意：测底部不可到达物体的高度．如图，
在Rt△ABP中，
BP=xcotα
在Rt△AQB中，
BQ=xcotβ
BQ—BP=a，
即xcotβ-xcotα=a．
2．利用仰角和俯角求不可到达两点之间的距离
方法总结：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
3．仰角和俯角的综合．
方法总结：本题考查的是解直角三角形的应用中仰角、俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
4. 利用方位角解直角三角形
（1）解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
（2）在解决有关方位角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方位角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．
5. 利用坡角、坡度解直角三角形
（1）解决此类问题一般要构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解．
（2）解直角三角形的应用中坡度、坡角问题，明确坡度等于坡角的正切值是解题的关键．
(
考点
例题讲析
)
【例题1】（2023湖北鄂州） 鄂州市莲花山是国家级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅游爱好者的青睐．今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动．如图2，景区工作人员小明准备从元明塔的点G处挂一条大型竖直条幅到点E处，挂好后，小明进行实地测量，从元明塔底部F点沿水平方向步行30米到达自动扶梯底端A点，在A点用仪器测得条幅下端E的仰角为；接着他沿自动扶梯到达扶梯顶端D点，测得点A和点D的水平距离为15米，且；然后他从D点又沿水平方向行走了45米到达C点，在C点测得条幅上端G的仰角为．（图上各点均在同一个平面内，且G，C，B共线，F，A，B共线，G、E、F共线，，）．
（1）求自动扶梯长度；
（2）求大型条幅的长度．（结果保留根号）
【例题2】（2023湖北天门）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：
）
(
考点精炼
)
1. （2023湖南岳阳）2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在处用仪器测得赛场一宣传气球顶部处的仰角为，仪器与气球的水平距离为20米，且距地面高度为1.5米，则气球顶部离地面的高度是_________米（结果精确到0.1米，）．
2. （2023湖北荆州）如图，无人机在空中处测得某校旗杆顶部的仰角为，底部的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为______．（，结果精确到0.1）
3. （2023湖南怀化）为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的点用测角仪测得碑顶的仰角为，在点处测得碑顶的仰角为，已知，测角仪的高度是（、、在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高．（，结果保留一位小数）
4. 如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线．嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯角为7°．已知爸爸的身高为1.7m．
（1）求∠C的大小及AB的长；
（2）请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．（参考数据：取4，取4.1）
5.如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52′．已知山高BE为56m，楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE．(参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75)
6．如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度，在观测点处测得大桥主架顶端的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离为60米，且垂直于桥面．（点在同一平面内）
（1）求大桥主架在桥面以上的高度；（结果保留根号）；
（2）求大桥主架在水面以上的高度．（结果精确到1米）（参考数据）
7. 如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．(i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比)
(1)求点B距水平面AE的高度BH；
(2)求广告牌CD的高度．
(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732)
8. 如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为10海里．
（1）填空：∠BAC＝ 度，∠C＝ 度；
（2）求观测站B到AC的距离BP（结果保留根号）．
9. （2023四川内江）某中学依山而建，校门A处有一坡角的斜坡，长度为30米，在坡顶B处测得教学楼的楼顶C的仰角，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角，的延长线交水平线于点D，求的长（结果保留根号）．
10. （2023浙江宁波）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．
（1）如图2，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式示．
（2）如图3，为了测量广场上空气球离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点分别测得气球的仰角为，为，地面上点在同一水平直线上，，求气球离地面的高度．（参考数据：，）
11. （2023湖南株洲）如图所示，在某交叉路口，一货车在道路①上点A处等候“绿灯”一辆车从被山峰遮挡的道路②上的点B处由南向北行驶．已知，，线段的延长线交直线于点D．
（1）求大小；
（2）若在点B处测得点O在北偏西方向上，其中米．问该轿车至少行驶多少米才能发现点A处货车？（当该轿车行驶至点D处时，正好发现点A处的货车）
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