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2024年人教版九年数学下册同步及知识拓展学讲练测讲义（全国通用）
讲座三 锐角三角函数
专题02 特殊角的三角函数值
(
课标要求
)
1. 运用三角函数的知识，自主探索，推导出30°、45°、60°角的三角函数值。
2. 熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用。
3. 会使用科学计算器求锐角的三角函数值。
4. 会根据锐角的三角函数值，借助科学计算器求锐角的大小。
5. 熟练运用计算器解决锐角三角函数中的问题。
(
知识点解读
)
1. 30°、45°、60°角的三角函数值
α sinα cosα tanα
30°
45° 1
60°
2. 通过三角函数值求角度
sinα
cosα
tanα 1
α 30° 45° 60°
3. 计算器
通过前面的学习，我们知道当锐角 A 是 30°、45°、60°等特殊角时，可以求得这些特殊角的锐角三角函数值；如果锐角 A 不是这些特殊角，怎样得到它的锐角三角函数值呢？
希望学生通过教材和计算器说明书自学计算器的使用。
（1）用计算器求锐角的三角函数值或角的度数
（2）利用计算器探索三角函数的性质（拓展）
1）sin2α=2sinαcosα.
2）平方关系：
3）商数关系：
（4）倒数关系：
（3）互为余角的三角函数关系
，
，
或者：若∠A+∠B=90°，则
sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=cotB，cotA=tanB
(
思维方法
)
1.30°、45°、60°角的三角函数值需要记忆。若记不住可以推导。2.通过三角函数值求角度时，先要计算出三角函数的值，然后看这个值是特殊值，马上就会求出锐角。
(
考点
例题讲析
)
【例题1】若tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是( )
A．20° B．30° C．40° D．50°
【例题2】（2023湖南常德）计算：
【例题3】已知 sinA = 0.501 8，用计算器求 ∠A 的度数。
【例题4】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．
(
考点精炼
)
1．2sin45°的值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
2. 计算：cos245°+sin245°=（ ）
A． B． 1 C． D．
3．规定：给出以下四个结论：（1） ；（2）；（3） ；（4）其中正确的结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．计算：________．
5. 已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣|+=0，则α+β= ．
6.（2023湖南郴州） 计算：．
7. 计算：．
8. 计算：4°．
9. 要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算．作Rt△ABC，使∠C＝90°，斜边AB＝2，直角边AC＝1，那么BC＝，∠ABC＝30°，∴tan30°＝＝＝.在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，探究tan15°与tan75°的值．
10.(1)通过计算 (可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：
① sin30°____2sin15°cos15°；
② sin36°____2sin18°cos18°；
③ sin45°____2sin22.5°cos22.5°；
④ sin60°____2sin30°cos30°；
⑤ sin80°____2sin40°cos40°.
猜想：
已知0°＜α＜45°，则sin2α___2sinαcosα.
(2) 如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2α，请利用面积方法验证 (1) 中的结论．
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2024年人教版九年数学下册同步及知识拓展学讲练测讲义（全国通用）
讲座三 锐角三角函数
专题02 特殊角的三角函数值
(
课标要求
)
1. 运用三角函数的知识，自主探索，推导出30°、45°、60°角的三角函数值。
2. 熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用。
3. 会使用科学计算器求锐角的三角函数值。
4. 会根据锐角的三角函数值，借助科学计算器求锐角的大小。
5. 熟练运用计算器解决锐角三角函数中的问题。
(
知识点解读
)
1. 30°、45°、60°角的三角函数值
α sinα cosα tanα
30°
45° 1
60°
2. 通过三角函数值求角度
sinα
cosα
tanα 1
α 30° 45° 60°
3. 计算器
通过前面的学习，我们知道当锐角 A 是 30°、45°、60°等特殊角时，可以求得这些特殊角的锐角三角函数值；如果锐角 A 不是这些特殊角，怎样得到它的锐角三角函数值呢？
希望学生通过教材和计算器说明书自学计算器的使用。
（1）用计算器求锐角的三角函数值或角的度数
（2）利用计算器探索三角函数的性质（拓展）
1）sin2α=2sinαcosα.
2）平方关系：
3）商数关系：
（4）倒数关系：
（3）互为余角的三角函数关系
，
，
或者：若∠A+∠B=90°，则
sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=cotB，cotA=tanB
(
思维方法
)
1.30°、45°、60°角的三角函数值需要记忆。若记不住可以推导。
2.通过三角函数值求角度时，先要计算出三角函数的值，然后看这个值是特殊值，马上就会求出锐角。
(
考点
例题讲析
)
【例题1】若tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是( )
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】A
【解析】∵tan(α＋10°)＝1，
∴tan(α＋10°)＝.
∵tan30°＝，
∴α＋10°＝30°，∴α＝20°.故选A.
方法总结：熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
【例题2】（2023湖南常德）计算：
【答案】0
【解析】首先计算负整数指数幂，特殊角的三角函数，零指数幂和绝对值，然后计算加减．
原式
．
【点睛】此题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数，零指数幂和绝对值，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．
【例题3】已知 sinA = 0.501 8，用计算器求 ∠A 的度数。
【答案】见解析。
【解析】第一步：按计算器2nd F sin－1键；
第二步：然后输入函数值0. 501 8；
屏幕显示答案： 30.119 158 67°(按实际需要进行精确).
还可以利用2nd F D.M′S 键，进一步得到∠A = 30°07′08.97 ″ (这说明锐角 A 精确到 1′ 的结果为 30°7′，精确到 1″ 的结果为30°7′9″).
【例题4】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．
【答案】见解析
【解析】由题意可知△BCD为等腰直角三角形，则BD＝BC，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长即可．
解：∵∠B＝90°，∠BDC＝45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BD＝BC.在Rt△ABC中，tan∠A＝tan30°＝，即＝，解得BC＝2(＋1)．
方法总结：在直角三角形中求线段的长，如果有特殊角，可考虑利用三角函数的定义列出式子，求出三角函数值，进而求出答案．
(
考点精炼
)
1．2sin45°的值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】2sin45°=2×故选B
2. 计算：cos245°+sin245°=（ ）
A． B． 1 C． D．
【答案】B
【解析】考点是 特殊角的三角函数值．首先根据cos45°=sin45°=，分别求出cos245°、sin245°的值是多少；然后把它们求和，求出cos245°+sin245°的值是多少即可．
∵cos45°=sin45°=，
∴cos245°+sin245°
=
==1．故选：B．
3．规定：给出以下四个结论：（1） ；（2）；（3） ；（4）其中正确的结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】根据题目所规定的公式，化简三角函数，即可判断结论．
（1），故此结论正确；
（2），故此结论正确；
（3）故此结论正确；
（4）==
，故此结论错误.故选：C．
【点睛】本题属于新定义问题，主要考查了三角函数的知识，解题的关键是熟练掌握三角函数的基础知识，理解题中公式.
4．计算：________．
【答案】
【解析】根据特殊角的三角函数值直接书写即可．
故答案为：．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，牢固记忆是解题的关键．
5. 已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣|+=0，则α+β= ．
【答案】75°．
【解析】根据非负数的性质求出sinα、tanβ的值，然后根据特殊角的三角函数值求出两个角的度数。
∵|sinα﹣|+=0，
∴sinα=，tanβ=1，
∴α=30°，β=45°，
则α+β=30°+45°=75°．
6.（2023湖南郴州） 计算：．
【答案】4
【解析】先化简各式，再进行加减运算即可．
原式
．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，实数的混合运算．熟练掌握相关运算法则，正确的进行计算，是解题的关键．
7. 计算：．
【答案】5
【解析】根据解答．
原式
【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根、绝对值、零指数幂、特殊角的正切值等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
8. 计算：4°．
【答案】2
【解析】先计算负整数指数幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，再计算乘法，再合并即可．
4°．
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的运算，负整数指数幂的含义，二次根式的化简，掌握“运算基础运算”是解本题的关键．
9. 要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算．作Rt△ABC，使∠C＝90°，斜边AB＝2，直角边AC＝1，那么BC＝，∠ABC＝30°，∴tan30°＝＝＝.在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，探究tan15°与tan75°的值．
【答案】见解析
【解析】根据角平分线的性质以及勾股定理首先求出CD的长，进而得出tan15°＝，tan75°＝求出即可．
解：作∠B的平分线交AC于点D，作DE⊥AB，垂足为E.∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE.设CD＝x，则AD＝1－x，AE＝2－BE＝2－BC＝2－.在Rt△ADE中，DE2＋AE2＝AD2，x2＋(2－)2＝(1－x)2，解得x＝2－3，∴tan15°＝＝2－，tan75°＝＝＝2＋.
方法总结：解决问题的关键是添加辅助线构造含有15°和75°的直角三角形，再根据三角函数的定义求出15°和75°的三角函数值．
10.(1)通过计算 (可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：
① sin30°____2sin15°cos15°；
② sin36°____2sin18°cos18°；
③ sin45°____2sin22.5°cos22.5°；
④ sin60°____2sin30°cos30°；
⑤ sin80°____2sin40°cos40°.
猜想：
已知0°＜α＜45°，则sin2α___2sinαcosα.
(2) 如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2α，请利用面积方法验证 (1) 中的结论．
【答案】见解析。
【解析】（1）通过用计算器计算得到
① sin30°=2sin15°cos15°；
② sin36°=2sin18°cos18°；
③ sin45°=2sin22.5°cos22.5°；
④ sin60°=2sin30°cos30°；
⑤ sin80°=2sin40°cos40°.
猜想：已知0°＜α＜45°，则sin2α=2sinαcosα.
(2)证明：∵ S△ABC =1/2×AB · sin2α · AC =1/2×sin2α，
S△ABC =1/2×2ABsinα · ACcosα = sinα · cosα，
∴sin2α＝2sinαcosα.
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