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2024年人教版九年数学下册同步及知识拓展学讲练测讲义（全国通用）
讲座三 锐角三角函数
专题01 正余弦函数和正切函数
(
课标要求
)
1. 理解并掌握锐角正弦、余弦、正切的定义，进而得到锐角三角函数的概念。
2. 能灵活运用锐角三角函数进行相关运算。
(
知识点解读
)
一、锐角三角函数的定义
1.锐角∠A的正弦、余弦、正切的定义
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°。
（1）我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A 即
sin A==，
（2）我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，
cos A==，
（3）我们把锐角A的对边与邻边的比叫做 ∠A 的正切，记作 tanA， 即
tan A==．
2.锐角三角函数的定义
sin A、cos A、tan A分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A的三角函数．
二、锐角∠A的正弦、余弦、正切的定义应用
1.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，知道三条边的任意两条边，可以求出锐角∠A（或者∠B）的正弦、余弦、正切的值。
2.已知锐角的正弦值求直角三角形的边长以及三角形周长、面积等。
注意：当用三角函数定义求角的三角函数值时，首先要判断这个三角形是否为直角三角形，若是，还应明确哪个角是直角，切忌硬套定义式．对于复杂问题，需要构造直角三角形，将所考察的角置身在这个直角三角形中．
(
思维方法
)
求三角函数值的方法
1. 结合平面直角坐标系求某角的正弦、余弦、正切，函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解。
2. 已知一边及其邻角的正弦、余弦、正切，函数值时，一般需结合方程思想和勾股定理，解决问题。
3. 在没有明确三角形是直角三角形的前提下，首先判定三角形是不是直角三角形，在明确三角形是直角三角形的条件下，再使用锐角三角函数定义进行解证，否则，通过分割或补形法转换成直角三角形。
4. 依据同角或等角的三角函数值相等的性质，将一个的三角函数值用另一个等角的三角函数值替换。
(
考点
例题讲析
)
【例题1】如图，在正方形网格中有△ABC，则sin∠ABC的值等于( )
A. B. C. D．10
【答案】B
【解析】∵AB＝，BC＝，AC＝，
∴AB2＝BC2＋AC2，∴∠ACB＝90°，
∴sin∠ABC＝＝＝.故选B.
方法总结：解决有关网格的问题往往和勾股定理及其逆定理相联系，根据勾股定理求出三边长度，再运用勾股定理的逆定理判断三角形形状．
【例题2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则cosA＝( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，
∴cosA＝＝.故选C.
方法总结：在直角三角形中，锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值．
【例题3】（2023四川广元） 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在轴上，且点在点右方，连接，，若，则点坐标为 _____．
【答案】
【解析】根据已知条件得出，根据等面积法得出，设，则，进而即可求解．
∵点，点，
∴，
，
∵，
∴，
过点作于点，
∵，是的角平分线，
∴
∵
∴
设，则，
∴
解得：或（舍去）
∴
故答案为：．
【点睛】考查了正切的定义，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
(
考点精炼
)
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，sinA＝，则AB的长为( )
A. B．6 C．12 D．8
【答案】B
【解析】∵sinA＝＝＝，
∴AB＝6.故选B.
方法总结：根据正弦定义表示出边的关系，然后将数值代入求解，记住定义是解决问题的关键．
2．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角△ABD中根据三角函数的意义求解．
如图，作BD⊥AC于D，由勾股定理得，，
∵，∴，
∴．故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD是解决问题的关键．
3. （2023浙江杭州）如图，矩形的对角线相交于点．若，
则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据矩形性质得出，推出则有等边三角形，即，然后运用余切函数即可解答．
【详解】∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，故D正确．故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形性质和判定、矩形的性质、余切的定义等知识点，求出是解答本题的关键．
4. sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是( )
A．tan70°＜cos70°＜sin70°
B．cos70°＜tan70°＜sin70°
C．sin70°＜cos70°＜tan70°
D．cos70°＜sin70°＜tan70°
【答案】D
【解析】根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又∵cos70°＝sin20°，正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞cos70°＝sin20°.故选D.
方法总结：当角度在0°≤∠A≤90°之间变化时，0≤sinA≤1，0≤cosA≤1，tanA≥0.
5．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】首先根据圆周角定理可知，∠ABC＝，在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正弦值．
∵和∠ABC所对的弧长都是，∴根据圆周角定理知，∠ABC＝，
∴在Rt△ACB中，AB=
根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC＝，∴=，故选A．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义和圆周角的知识点，解答本题的关键是利用圆周角定理把求的正弦值转化成求∠ABC的正弦值，本题是一道比较不错的习题．
6．比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，过点向垂直中心线引垂线，垂足为点．通过测量可得、、的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小．下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】确定所在的直角三角形，找出直角，然后根据三角函数的定义求解。
由题可知，△ABD是直角三角形，，
，
．
选项B、C、D都是错误的，故答案选A．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形中三角函数的定义理解，准确理解是解题的关键．
7.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，求 sinA 和sinB 的值.
【答案】见解析。
【解析】如图，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
8. 如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝，求sinC的值．
【答案】见解析
【解析】根据tan∠BAD＝，求得BD的长．在直角△ACD中由勾股定理可求AC的长，然后利用正弦的定义求解．
∵在直角△ABD中，tan∠BAD＝＝，∴BD＝AD·tan∠BAD＝12×＝9，∴CD＝BC－BD＝14－9＝5，∴AC＝＝＝13，∴sinC＝＝.
方法总结：在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义，分清它们的边角关系，结合勾股定理是解答此类问题的关键．
9. 已知△ABC中，a=，b=，c=，求tanB，sinC，cosB及．
【答案】见解析
【解析】由题意知：a=，b=，c=
所以b2+c2=a2，∴∠A=90°，
∴tanB==，
sinC==，
cosB==，
＝bc＝．
10. 如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD.
(1)求证：DC＝BC；
(2)若AB＝5，AC＝4，求tan∠DCE的值．
【答案】见解析
【解析】(1)连接OC，求证DC＝BC可以先证明∠CAD＝∠BAC，进而证明＝；(2)由AB＝5，AC＝4，可根据勾股定理得到BC＝3，易证△ACE∽△ABC，可以求出CE、DE的长，在Rt△CDE中根据三角函数的定义就可以求出tan∠DCE的值．
(1)证明：连接OC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE＝90°.∵AE⊥CE，∴∠AEC＝∠OCE＝90°，∴OC∥AE，∴∠OCA＝∠CAD，∴∠CAD＝∠BAC，∴＝.∴DC＝BC；
(2)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝3.
∵∠CAE＝∠BAC，∠AEC＝∠ACB＝90°，
∴△ACE∽△ABC，
∴＝，即＝，EC＝.
∵DC＝BC＝3，
∴ED＝＝＝，
∴tan∠DCE＝＝＝.
方法总结：证明圆的弦相等可以转化为证明弦所对的弧相等．利用圆的有关性质，寻找或构造直角三角形来求三角函数值，遇到比较复杂的问题时，可通过全等或相似将线段进行转化．
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讲座三 锐角三角函数
专题01 正余弦函数和正切函数
(
课标要求
)
1. 理解并掌握锐角正弦、余弦、正切的定义，进而得到锐角三角函数的概念。
2. 能灵活运用锐角三角函数进行相关运算。
(
知识点解读
)
一、锐角三角函数的定义
1.锐角∠A的正弦、余弦、正切的定义
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°。
（1）我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A 即
sin A==，
（2）我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，
cos A==，
（3）我们把锐角A的对边与邻边的比叫做 ∠A 的正切，记作 tanA， 即
tan A==．
2.锐角三角函数的定义
sin A、cos A、tan A分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A的三角函数．
二、锐角∠A的正弦、余弦、正切的定义应用
1.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，知道三条边的任意两条边，可以求出锐角∠A（或者∠B）的正弦、余弦、正切的值。
2.已知锐角的正弦值求直角三角形的边长以及三角形周长、面积等。
注意：当用三角函数定义求角的三角函数值时，首先要判断这个三角形是否为直角三角形，若是，还应明确哪个角是直角，切忌硬套定义式．对于复杂问题，需要构造直角三角形，将所考察的角置身在这个直角三角形中．
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思维方法
)
求三角函数值的方法
1. 结合平面直角坐标系求某角的正弦、余弦、正切，函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解。
2. 已知一边及其邻角的正弦、余弦、正切，函数值时，一般需结合方程思想和勾股定理，解决问题。
3. 在没有明确三角形是直角三角形的前提下，首先判定三角形是不是直角三角形，在明确三角形是直角三角形的条件下，再使用锐角三角函数定义进行解证，否则，通过分割或补形法转换成直角三角形。
4. 依据同角或等角的三角函数值相等的性质，将一个的三角函数值用另一个等角的三角函数值替换。
(
考点
例题讲析
)
【例题1】如图，在正方形网格中有△ABC，则sin∠ABC的值等于( )
A. B. C. D．10
【例题2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则cosA＝( )
A. B. C. D.
【例题3】（2023四川广元） 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在轴上，且点在点右方，连接，，若，则点坐标为 _____．
(
考点精炼
)
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，sinA＝，则AB的长为( )
A. B．6 C．12 D．8
2．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=（ ）
A． B． C． D．
3. （2023浙江杭州）如图，矩形的对角线相交于点．若，
则（ ）
A. B. C. D.
4. sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是( )
A．tan70°＜cos70°＜sin70°
B．cos70°＜tan70°＜sin70°
C．sin70°＜cos70°＜tan70°
D．cos70°＜sin70°＜tan70°
5．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，过点向垂直中心线引垂线，垂足为点．通过测量可得、、的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小．下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
7.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，求 sinA 和sinB 的值.
8. 如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝，求sinC的值．
9. 已知△ABC中，a=，b=，c=，求tanB，sinC，cosB及．
10. 如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD.
(1)求证：DC＝BC；
(2)若AB＝5，AC＝4，求tan∠DCE的值．
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