讲座三锐角三角函数:专题03 解直角三角形及简单应用(原卷版+解析版)

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名称 讲座三锐角三角函数:专题03 解直角三角形及简单应用(原卷版+解析版)
格式 zip
文件大小 2.6MB
资源类型 试卷
版本资源 人教版
科目 数学
更新时间 2023-11-21 15:17:58

文档简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2024年人教版九年数学下册同步及知识拓展学讲练测讲义(全国通用)
讲座三 锐角三角函数
专题03 解直角三角形及简单应用
(
课标要求
)
1. 了解并掌握解直角三角形的概念;
2. 理解直角三角形中的五个元素之间的联系。
3. 学会解直角三角形。
1. 巩固解直角三角形相关知识.
2. 能从实际问题中构造直角三角形,从而把实际问 题转化为解直角三角形的问题,并能灵活选择三
角函数解决问题
(
知识点解读
)
1.解直角三角形
由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫作解直角三角形。
注意:在直角三角形中,除直角外有5个元素(即3条边、2个锐角),只要知道其中的2个元素(至少有1个是边),就可以求出其余的3个未知元素。
2.直角三角形中边角关系
在直角三角形ABC中,如果∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,那么
(1)三边之间的关系为(勾股定理)
(2)锐角之间的关系为∠A+∠B=90°
(3)30°角所对直角边等于斜边的一半。
(4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
(5)边角之间的关系为:(三角函数定义)
3.其他有关公式
(1)==
(2)Rt△面积公式:
(3)直角三角形外接圆的半径,内切圆半径
(4)直角三角形斜边上的高
1. 解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
2. 解直角三角形的依据
(1) 三边之间的关系:(勾股定理);
(2) 两锐角之间的关系:∠ A+ ∠ B= 90 ;
(3) 边角之间的关系:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90,则
(
A
C
B
斜边
c

A
的对边
a

A
的邻边
b
)
sin A==,
cos A==,
tan A==.
(
思维方法
)
一、解直角三角形依据
1.勾股定理
2.两锐角互余
3.锐角的三角函数
二、解直角三角形的常见类型及一般解法
只要知道五个元素中的两个元素(至少有一个是边),就可以求出余下的三个未知元素.
Rt△ABC中的已知条件 一般解法
两边 两直角边a,b (1); (2)由求出∠A; (3)∠B=90 ∠A.
一直角边a,斜边c (1); (2)由求出∠A; (3)∠B=90 ∠A.
一边一锐角 一直角边a,锐角A (1)∠B=90 ∠A; (2); (3).
斜边c,锐角A (1)∠B=90 ∠A; (2)a=c·sin A; (3)b=c·cos A.
三、解直角三角形的方法口诀
已知斜边求直边,正弦、余弦很方便;已知直边求直边,理所当然用正切;
已知两边求一边,勾股定理最方便;已知两边求一角,函数关系要记牢;
已知锐角求锐角,互余关系不能少;已知直边求斜边,用除还需正余弦.
四、解直角三角形的简单应用基本解题思路
1. 求河的宽度方法:解题的关键在于构造出直角三角形,通过测量角的度数和测量边的长度,计算出所要求的物体的高度或长度.
2. 求不可到达的两点的高度方法:将实际问题抽象为数学问题,画出平面图形,构造出直角三角形转化为解直角三角形问题.
3. 方案设计类问题方法:主要是利用三角函数解决实际问题,关键是把实际问题转化为解直角三角形的问题,利用三角函数解决问题.
(
考点
例题讲析
)
【例题1】(2023湖北十堰)如图所示,有一天桥高为5米,是通向天桥的斜坡,,市政部门启动“陡改缓”工程,决定将斜坡的底端C延伸到D处,使,则的长度约为(参考数据:)( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【例题2】 (2023湖北黄冈)如图,已知点,点B在y轴正半轴上,将线段绕点A顺时针旋转到线段,若点C的坐标为,则_______.
【例题3】(2023湖南常德)今年“五一”长假期间,小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩,坐在如图的椅子上休息时,小陈感觉很舒服,激发了她对这把椅子的好奇心,就想出个问题考考同学小余,小陈同学先测量,根据测量结果画出了图1的示意图(图2).在图2中,已知四边形是平行四边形,座板与地面平行,是等腰三角形且,,靠背,支架,扶手的一部分.这时她问小余同学,你能算出靠背顶端点距地面()的高度是多少吗?请你帮小余同学算出结果(最后结果保留一位小数).(参考数据:,,)
(
考点精炼
)
1. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,sin A=.求BC的长和tan B的值.
2. 如图是一个半圆形桥洞截面示意图,圆心为O,直径AB是河底线,弦CD是水位线,CD∥AB,且CD = 24 m,OE⊥CD于点E.已测得sin∠DOE =.
(
A
O
B
E
C
D
)
(1)求半径OD;
(2)根据需要,水面要以每小时0.5 m的速度下降,则经过多长时间才能将水排干?
3. 一副直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=30°,∠A=45°,AC=12,试求CD的长.
4. 已知等腰三角形的底边长为,周长为2+,求底角的度数.
解析:先求腰长,作底边上的高,利用等腰三角形的性质,求得底角的余弦,即可求得底角的度数.
5. 如图,放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为30cm,灯罩BC长为20cm,底座厚度为2cm,灯臂与底座构成的∠BAD=60°.使用发现,光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°,此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少(结果精确到0.1cm,参考数据:≈1.732)
6. 动感单车是一种新型的运动器械.图①是一辆动感单车的实物图,图②是其侧面示意图.△BCD为主车架,AB为调节管,点A,B,C在同一直线上.已知BC长为70cm,∠BCD的度数为58°.当AB长度调至34cm时,求点A到CD的距离AE的长度(结果精确到1cm).(参考数据:sin58°=0.85,cos58°=0.53,tan58°=1.60)
7. 去年,我国南方菜地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响,被冰雪从C处压折,塔尖恰好落在坡面上的点B处,造成局部地区供电中断,为尽快抢通供电线路,专业维修人员迅速奔赴现场进行处理,在B处测得BC与水平线的夹角为45°,塔基A所在斜坡与水平线的夹角为30°,A、B两点间的距离为16米,求压折前该输电铁塔的高度(结果保留根号).
8.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,过点D作DE⊥AC于点E.(1)请说明DE是⊙O的切线;
(2)若∠B=30°,AB=8,求DE的长.
9.(2023湖北鄂州) 如图,在中,,,,点为的中点,以为圆心,长为半径作半圆,交于点,则图中阴影部分的面积是(  )
A. B. C. D.
10. (2023浙江温州)根据背景素材,探索解决问题.
测算发射塔的高度
背 景 素 材 某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度(如图1).他们通过自制的测倾仪(如图2)在,,三个位置观测,测倾仪上的示数如图3所示.
经讨论,只需选择其中两个合适的位置,通过测量、换算就能计算发射塔的高度.
问题解决
任务1 分析规划 选择两个观测位置:点_________和点_________
获取数据 写出所选位置观测角的正切值,并量出观测点之间的图上距离.
任务2 推理计算 计算发射塔图上高度.
任务3 换算高度 楼房实际宽度为米,请通过测量换算发射塔的实际高度.
注:测量时,以答题纸上的图上距离为准,并精确到1.
11. (2023湖北宜昌)2023年5月30日,“神舟十六号”航天飞船成功发射.如图,飞船在离地球大约的圆形轨道上,当运行到地球表面P点的正上方F点时,从中直接看到地球表面一个最远的点是点Q.在中,.
(参考数据:)
(1)求的值(精确到);
(2)在中,求的长(结果取整数).
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2024年人教版九年数学下册同步及知识拓展学讲练测讲义(全国通用)
讲座三 锐角三角函数
专题03 解直角三角形及简单应用
(
课标要求
)
1. 了解并掌握解直角三角形的概念;
2. 理解直角三角形中的五个元素之间的联系。
3. 学会解直角三角形。
1. 巩固解直角三角形相关知识.
2. 能从实际问题中构造直角三角形,从而把实际问 题转化为解直角三角形的问题,并能灵活选择三
角函数解决问题
(
知识点解读
)
1.解直角三角形
由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫作解直角三角形。
注意:在直角三角形中,除直角外有5个元素(即3条边、2个锐角),只要知道其中的2个元素(至少有1个是边),就可以求出其余的3个未知元素。
2.直角三角形中边角关系
在直角三角形ABC中,如果∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,那么
(1)三边之间的关系为(勾股定理)
(2)锐角之间的关系为∠A+∠B=90°
(3)30°角所对直角边等于斜边的一半。
(4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
(5)边角之间的关系为:(三角函数定义)
3.其他有关公式
(1)==
(2)Rt△面积公式:
(3)直角三角形外接圆的半径,内切圆半径
(4)直角三角形斜边上的高
1. 解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
2. 解直角三角形的依据
(1) 三边之间的关系:(勾股定理);
(2) 两锐角之间的关系:∠ A+ ∠ B= 90 ;
(3) 边角之间的关系:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90,则
(
A
C
B
斜边
c

A
的对边
a

A
的邻边
b
)
sin A==,
cos A==,
tan A==.
(
思维方法
)
一、解直角三角形依据
1.勾股定理
2.两锐角互余
3.锐角的三角函数
二、解直角三角形的常见类型及一般解法
只要知道五个元素中的两个元素(至少有一个是边),就可以求出余下的三个未知元素.
Rt△ABC中的已知条件 一般解法
两边 两直角边a,b (1); (2)由求出∠A; (3)∠B=90 ∠A.
一直角边a,斜边c (1); (2)由求出∠A; (3)∠B=90 ∠A.
一边一锐角 一直角边a,锐角A (1)∠B=90 ∠A; (2); (3).
斜边c,锐角A (1)∠B=90 ∠A; (2)a=c·sin A; (3)b=c·cos A.
三、解直角三角形的方法口诀
已知斜边求直边,正弦、余弦很方便;已知直边求直边,理所当然用正切;
已知两边求一边,勾股定理最方便;已知两边求一角,函数关系要记牢;
已知锐角求锐角,互余关系不能少;已知直边求斜边,用除还需正余弦.
四、解直角三角形的简单应用基本解题思路
1. 求河的宽度方法:解题的关键在于构造出直角三角形,通过测量角的度数和测量边的长度,计算出所要求的物体的高度或长度.
2. 求不可到达的两点的高度方法:将实际问题抽象为数学问题,画出平面图形,构造出直角三角形转化为解直角三角形问题.
3. 方案设计类问题方法:主要是利用三角函数解决实际问题,关键是把实际问题转化为解直角三角形的问题,利用三角函数解决问题.
(
考点
例题讲析
)
【例题1】(2023湖北十堰)如图所示,有一天桥高为5米,是通向天桥的斜坡,,市政部门启动“陡改缓”工程,决定将斜坡的底端C延伸到D处,使,则的长度约为(参考数据:)( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】D
【解析】在中,求得米,在中,求得米,即可得到的长度.
在中,,,
∴米,
在中,,,
∴,
∴(米),
∴(米)
故选:D.
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用,熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.
【例题2】 (2023湖北黄冈)如图,已知点,点B在y轴正半轴上,将线段绕点A顺时针旋转到线段,若点C的坐标为,则_______.
【答案】
【解析】在x轴上取点D和点E,使得,过点C作于点F,在中,解直角三角形可得,,再证明,则,,求得,在中,得,,得到,解方程即可求得答案.
【详解】在x轴上取点D和点E,使得,过点C作于点F,
∵点C的坐标为,
∴,,
在中,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,,
∵点,
∴,
∴,
在中,
∴,
∴,
∵,
∴,
解得,故答案为:
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、解直角三角形、旋转的性质等知识,构造三角形全等是解题的关键.
【例题3】(2023湖南常德)今年“五一”长假期间,小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩,坐在如图的椅子上休息时,小陈感觉很舒服,激发了她对这把椅子的好奇心,就想出个问题考考同学小余,小陈同学先测量,根据测量结果画出了图1的示意图(图2).在图2中,已知四边形是平行四边形,座板与地面平行,是等腰三角形且,,靠背,支架,扶手的一部分.这时她问小余同学,你能算出靠背顶端点距地面()的高度是多少吗?请你帮小余同学算出结果(最后结果保留一位小数).(参考数据:,,)
【答案】
【解析】【分析】方法一:过点作交的延长线于点,由平行四边形的性质可得,进而求得,过点作于点,根据平行线的性质可得,进而求得,过作于点,根据等腰三角形三线合一可得,进而求得,利用求解即可;
方法二:过点作交的延长线于点,过点作于点,延长交于点,根据等腰三角形三线合一可得,进而求得,,过作于,根据平行线的性质可得,进而求得,根据求解即可.
【详解】方法一:
过点作交的延长线于点,
四边形是平行四边形,,


过点作于点,
由题意知,,

又,

过作于点,
,,
,

靠背顶端点距地面高度为

方法二:
如图,过点作交的延长线于点,过点作于点,延长交于点,
,,

又,



过作于,
由题意知,,

又,

靠背顶端点距地面高度为.
【点睛】本题主要考查了解直角三角形,等腰三角形的性质,平行四边形的性质,正确作出辅助线,构造直角三角形是解题的关键.
(
考点精炼
)
1. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,sin A=.求BC的长和tan B的值.
【答案】见解析。
【解析】用正弦的定义即可求得BC,而要求tan B则先要用勾股定理求得AC.
∵sin A==,AB=10,∴BC=4.
∵AC=,
∴tan B==.
2. 如图是一个半圆形桥洞截面示意图,圆心为O,直径AB是河底线,弦CD是水位线,CD∥AB,且CD = 24 m,OE⊥CD于点E.已测得sin∠DOE =.
(
A
O
B
E
C
D
)
(1)求半径OD;
(2)根据需要,水面要以每小时0.5 m的速度下降,则经过多长时间才能将水排干?
【答案】(1)13m.(2)10小时.
【解析】(1)∵OE⊥CD于点E,CD=24(m),
∴ED ==12(m).
在Rt△DOE中,∵sin∠DOE = =,∴OD =13(m).
(2)OE== (m)
∴将水排干需:5÷0.5=10(小时).
3. 一副直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=30°,∠A=45°,AC=12,试求CD的长.
【答案】见解析
【解析】过点B作BM⊥FD于点M,求出BM与CM的长度,然后在△EFD中可求出∠EDF=60°,利用解直角三角形解答即可.
过点B作BM⊥FD于点M,在△ACB中,∠ACB=90°,∠A=45°,AC=12,∴BC=AC=12.∵AB∥CF,∴BM=sin45°BC=12×=12,CM=BM=12.在△EFD中,∠F=90°,∠E=30°,∴∠EDF=60°,∴MD==4,∴CD=CM-MD=12-4.
方法总结:解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形,然后利用所学的三角函数的关系进行解答.
4. 已知等腰三角形的底边长为,周长为2+,求底角的度数.
解析:先求腰长,作底边上的高,利用等腰三角形的性质,求得底角的余弦,即可求得底角的度数.
【答案】见解析
【解析】如图,在△ABC中,AB=AC,BC=,∵周长为2+,∴AB=AC=1.过A作AD⊥BC于点D,则BD=,在Rt△ABD中,cos∠ABD==,∴∠ABD=45°,即等腰三角形的底角为45°.
方法总结:求角的度数时,可考虑利用特殊角的三角函数值.
5. 如图,放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为30cm,灯罩BC长为20cm,底座厚度为2cm,灯臂与底座构成的∠BAD=60°.使用发现,光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°,此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少(结果精确到0.1cm,参考数据:≈1.732)
【答案】见解析
【解析】首先过点B作BF⊥CD于点F,作BG⊥AD于点G,进而求出FC的长,再求出BG的长,即可得出答案.
解:过点B作BF⊥CD于点F,作BG⊥AD于点G,∴四边形BFDG是矩形,∴BG=FD.在Rt△BCF中,∠CBF=30°,∴CF=BC·sin30°=20×=10cm.在Rt△ABG中,∵∠BAG=60°,∴BG=AB·sin60°=30×=15cm,∴CE=CF+FD+DE=10+15+2=12+15≈38.0(cm).
答:此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是38.0cm.
方法总结:将实际问题抽象为数学问题,画出平面图形,构造出直角三角形转化为解直角三角形问题.
6. 动感单车是一种新型的运动器械.图①是一辆动感单车的实物图,图②是其侧面示意图.△BCD为主车架,AB为调节管,点A,B,C在同一直线上.已知BC长为70cm,∠BCD的度数为58°.当AB长度调至34cm时,求点A到CD的距离AE的长度(结果精确到1cm).(参考数据:sin58°=0.85,cos58°=0.53,tan58°=1.60)
【答案】点A到CD的距离AE的长度约为88cm.
【解析】根据正弦的概念即可求解.
在Rt△ACE中,∠AEC=90°,∠ACE=58°,AC=AB+BC=34+70=104(cm),
∵sin∠ACE=,即sin58°=,
∴AE=104×0.85=88.4≈88(cm),
∴点A到CD的距离AE的长度约为88cm.
【点睛】本题考查的是解直角三角形的知识,掌握锐角三角函数的概念是解题的关键.
7. 去年,我国南方菜地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响,被冰雪从C处压折,塔尖恰好落在坡面上的点B处,造成局部地区供电中断,为尽快抢通供电线路,专业维修人员迅速奔赴现场进行处理,在B处测得BC与水平线的夹角为45°,塔基A所在斜坡与水平线的夹角为30°,A、B两点间的距离为16米,求压折前该输电铁塔的高度(结果保留根号).
【答案】米
【解析】【分析】过点作于点,在和中,分别解直角三角形求出的长,由此即可得.
【详解】如图,过点作于点,
由题意得:米,,


在中,米,米,
在中,米,米,
则(米),
答:压折前该输电铁塔的高度为米.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键.
8.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,过点D作DE⊥AC于点E.(1)请说明DE是⊙O的切线;
(2)若∠B=30°,AB=8,求DE的长.
【答案】见解析。
【解析】要想证DE是⊙O的切线,只要连接OD,求证∠ODE=90°即可.利用直角三角形和等边三角形的特点来求DE的长.
(1)连接OD,则OD=OB,∴∠B=∠ODB.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.∴∠ODB=∠C.∴OD∥AC.∴∠ODE=∠DEC=90°.
∴DE是⊙O的切线.
(2)连接AD,
∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°.
∴.
又∵AB=AC,∴CD=BD=,∠C=∠B=30°.
∴.
9.(2023湖北鄂州) 如图,在中,,,,点为的中点,以为圆心,长为半径作半圆,交于点,则图中阴影部分的面积是(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接,,作交于点,首先根据勾股定理求出的长度,然后利用解直角三角形求出、的长度,进而得到是等边三角形,,然后根据角直角三角形的性质求出的长度,最后根据进行计算即可.
【详解】如图所示,连接,,作交于点
∵在中,,,,
∴,
∵点为的中点,以为圆心,长为半径作半圆,
∴是半圆的直径,
∴,
∵,
∴,,
又∵,
∴,
∴是等边三角形,
∴,
∵,,
∴,
∴.
故选:C.
【点睛】本题考查了角直角三角形的性质,解直角三角形,等边三角形的性质和判定,扇形面积,勾股定理等知识,正确添加辅助线,熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
10. (2023浙江温州)根据背景素材,探索解决问题.
测算发射塔的高度
背 景 素 材 某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度(如图1).他们通过自制的测倾仪(如图2)在,,三个位置观测,测倾仪上的示数如图3所示.
经讨论,只需选择其中两个合适的位置,通过测量、换算就能计算发射塔的高度.
问题解决
任务1 分析规划 选择两个观测位置:点_________和点_________
获取数据 写出所选位置观测角的正切值,并量出观测点之间的图上距离.
任务2 推理计算 计算发射塔图上高度.
任务3 换算高度 楼房实际宽度为米,请通过测量换算发射塔的实际高度.
注:测量时,以答题纸上的图上距离为准,并精确到1.
【答案】规划一:[任务 1]选择点和点;,,,测得图上;[任务 2];[任务 3]发射塔的实际高度为米;规划二:[任务 1]选择点和点.[任务 2];[任务 3]发射塔的实际高度为米;
【解析】【分析】规划一:[任务 1]选择点和点,根据正切的定义求得三个角的正切值,测得图上
[任务 2]如图1,过点作于点,过点作于点,设.根据,,得出,.由,解得,根据,得出,即可求解;
[任务3 ]测得图上,设发射塔的实际高度为米.由题意,得,解得,
规划二:[任务 1]选择点和点.根据正切的定义求得三个角的正切值,测得图上;
[任务 2]如图2,过点作于点,过点作,交的延长线于点,则,设.根据,,得出,.根据,得出,然后根据,得出,进而即可求解.
[任务 3]测得图上,设发射塔的实际高度为米.由题意,得,解得,即可求解.
【详解】有以下两种规划,任选一种作答即可.
规划一:
[任务 1]选择点和点.
,,,测得图上.
[任务 2]如图1,过点作于点,过点作于点,
则,设.
∵,,
∴,.
∵,

解得,
∴.
∵,
∴,
∴.
[任务3 ]测得图上,设发射塔的实际高度为米.
由题意,得,解得,
∴发射塔的实际高度为米.
规划二:
[任务 1]选择点和点.
,,,测得图上.
[任务 2]如图2,过点作于点,过点作,交的延长线于点,则,设.
∵,,
∴,.
∵,
∴,解得,
∴.
∵,∴,
∴.
[任务 3]测得图上,设发射塔的实际高度为米.
由题意,得,解得.
∴发射塔的实际高度为米.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,熟练掌握三角函数关系是解题的关键.
11. (2023湖北宜昌)2023年5月30日,“神舟十六号”航天飞船成功发射.如图,飞船在离地球大约的圆形轨道上,当运行到地球表面P点的正上方F点时,从中直接看到地球表面一个最远的点是点Q.在中,.
(参考数据:)
(1)求的值(精确到);
(2)在中,求的长(结果取整数).
【答案】(1) (2)
【解析】【分析】(1)在中,利用余弦函数即可求解;
(2)先求得的度数,再利用弧长公式即可求解.
【详解】(1)由题意可知,,


在中,;
(2),

的长为

【点睛】本题考查了求余弦函数的值,弧长公式的应用,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
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