中小学教育资源及组卷应用平台
2024年人教版九年数学下册同步及知识拓展学讲练测讲义（全国通用）
讲座三 锐角三角函数
专题03 解直角三角形及简单应用
(
课标要求
)
1. 了解并掌握解直角三角形的概念；
2. 理解直角三角形中的五个元素之间的联系。
3. 学会解直角三角形。
1. 巩固解直角三角形相关知识.
2. 能从实际问题中构造直角三角形，从而把实际问 题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三
角函数解决问题
(
知识点解读
)
1.解直角三角形
由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形。
注意：在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素。
2.直角三角形中边角关系
在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么
（1）三边之间的关系为（勾股定理）
（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90°
（3）30°角所对直角边等于斜边的一半。
（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（5）边角之间的关系为：（三角函数定义）
3.其他有关公式
（1）==
（2）Rt△面积公式：
（3）直角三角形外接圆的半径，内切圆半径
（4）直角三角形斜边上的高
1. 解直角三角形
在直角三角形中，除直角外，由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
2. 解直角三角形的依据
(1) 三边之间的关系：（勾股定理）；
(2) 两锐角之间的关系：∠ A＋ ∠ B＝ 90 ；
(3) 边角之间的关系：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90，则
(
A
C
B
斜边
c
∠
A
的对边
a
∠
A
的邻边
b
)
sin A==，
cos A==，
tan A==．
(
思维方法
)
一、解直角三角形依据
1.勾股定理
2.两锐角互余
3.锐角的三角函数
二、解直角三角形的常见类型及一般解法
只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素.
Rt△ABC中的已知条件 一般解法
两边 两直角边a，b (1)； (2)由求出∠A； (3)∠B=90 ∠A.
一直角边a，斜边c (1)； (2)由求出∠A； (3)∠B=90 ∠A.
一边一锐角 一直角边a，锐角A (1)∠B=90 ∠A； (2)； (3).
斜边c，锐角A (1)∠B=90 ∠A； (2)a=c·sin A； (3)b=c·cos A.
三、解直角三角形的方法口诀
已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；
已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.
四、解直角三角形的简单应用基本解题思路
1. 求河的宽度方法：解题的关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
2. 求不可到达的两点的高度方法：将实际问题抽象为数学问题，画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题．
3. 方案设计类问题方法：主要是利用三角函数解决实际问题，关键是把实际问题转化为解直角三角形的问题，利用三角函数解决问题．
(
考点
例题讲析
)
【例题1】（2023湖北十堰）如图所示，有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为（参考数据：）（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【例题2】 （2023湖北黄冈）如图，已知点，点B在y轴正半轴上，将线段绕点A顺时针旋转到线段，若点C的坐标为，则_______．
【例题3】（2023湖南常德）今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形是平行四边形，座板与地面平行，是等腰三角形且，，靠背，支架，扶手的一部分．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端点距地面（）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：，，）
(
考点精炼
)
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sin A=.求BC的长和tan B的值．
2. 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD = 24 m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE =．
(
A
O
B
E
C
D
)
（1）求半径OD；
（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？
3. 一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12，试求CD的长．
4. 已知等腰三角形的底边长为，周长为2＋，求底角的度数．
解析：先求腰长，作底边上的高，利用等腰三角形的性质，求得底角的余弦，即可求得底角的度数．
5. 如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为30cm，灯罩BC长为20cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少(结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732)
6. 动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）
7. 去年，我国南方菜地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理，在B处测得BC与水平线的夹角为45°，塔基A所在斜坡与水平线的夹角为30°，A、B两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）．
8.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．（1）请说明DE是⊙O的切线；
（2）若∠B=30°，AB=8，求DE的长．
9.（2023湖北鄂州） 如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
10. （2023浙江温州）根据背景素材，探索解决问题．
测算发射塔的高度
背 景 素 材 某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度（如图1）．他们通过自制的测倾仪（如图2）在，，三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示．
经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度．
问题解决
任务1 分析规划 选择两个观测位置：点_________和点_________
获取数据 写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离．
任务2 推理计算 计算发射塔图上高度．
任务3 换算高度 楼房实际宽度为米，请通过测量换算发射塔的实际高度．
注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1．
11. （2023湖北宜昌）2023年5月30日，“神舟十六号”航天飞船成功发射．如图，飞船在离地球大约的圆形轨道上，当运行到地球表面P点的正上方F点时，从中直接看到地球表面一个最远的点是点Q．在中，．
（参考数据：）
（1）求的值（精确到）；
（2）在中，求的长（结果取整数）．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2024年人教版九年数学下册同步及知识拓展学讲练测讲义（全国通用）
讲座三 锐角三角函数
专题03 解直角三角形及简单应用
(
课标要求
)
1. 了解并掌握解直角三角形的概念；
2. 理解直角三角形中的五个元素之间的联系。
3. 学会解直角三角形。
1. 巩固解直角三角形相关知识.
2. 能从实际问题中构造直角三角形，从而把实际问 题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三
角函数解决问题
(
知识点解读
)
1.解直角三角形
由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形。
注意：在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素。
2.直角三角形中边角关系
在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么
（1）三边之间的关系为（勾股定理）
（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90°
（3）30°角所对直角边等于斜边的一半。
（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（5）边角之间的关系为：（三角函数定义）
3.其他有关公式
（1）==
（2）Rt△面积公式：
（3）直角三角形外接圆的半径，内切圆半径
（4）直角三角形斜边上的高
1. 解直角三角形
在直角三角形中，除直角外，由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
2. 解直角三角形的依据
(1) 三边之间的关系：（勾股定理）；
(2) 两锐角之间的关系：∠ A＋ ∠ B＝ 90 ；
(3) 边角之间的关系：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90，则
(
A
C
B
斜边
c
∠
A
的对边
a
∠
A
的邻边
b
)
sin A==，
cos A==，
tan A==．
(
思维方法
)
一、解直角三角形依据
1.勾股定理
2.两锐角互余
3.锐角的三角函数
二、解直角三角形的常见类型及一般解法
只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素.
Rt△ABC中的已知条件 一般解法
两边 两直角边a，b (1)； (2)由求出∠A； (3)∠B=90 ∠A.
一直角边a，斜边c (1)； (2)由求出∠A； (3)∠B=90 ∠A.
一边一锐角 一直角边a，锐角A (1)∠B=90 ∠A； (2)； (3).
斜边c，锐角A (1)∠B=90 ∠A； (2)a=c·sin A； (3)b=c·cos A.
三、解直角三角形的方法口诀
已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；
已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.
四、解直角三角形的简单应用基本解题思路
1. 求河的宽度方法：解题的关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
2. 求不可到达的两点的高度方法：将实际问题抽象为数学问题，画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题．
3. 方案设计类问题方法：主要是利用三角函数解决实际问题，关键是把实际问题转化为解直角三角形的问题，利用三角函数解决问题．
(
考点
例题讲析
)
【例题1】（2023湖北十堰）如图所示，有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为（参考数据：）（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】D
【解析】在中，求得米，在中，求得米，即可得到的长度．
在中，，，
∴米，
在中，，，
∴，
∴（米），
∴（米）
故选：D．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
【例题2】 （2023湖北黄冈）如图，已知点，点B在y轴正半轴上，将线段绕点A顺时针旋转到线段，若点C的坐标为，则_______．
【答案】
【解析】在x轴上取点D和点E，使得，过点C作于点F，在中，解直角三角形可得，，再证明，则，，求得，在中，得，，得到，解方程即可求得答案．
【详解】在x轴上取点D和点E，使得，过点C作于点F，
∵点C的坐标为，
∴，，
在中，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵点，
∴，
∴，
在中，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，故答案为：
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、解直角三角形、旋转的性质等知识，构造三角形全等是解题的关键．
【例题3】（2023湖南常德）今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形是平行四边形，座板与地面平行，是等腰三角形且，，靠背，支架，扶手的一部分．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端点距地面（）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：，，）
【答案】
【解析】【分析】方法一：过点作交的延长线于点，由平行四边形的性质可得，进而求得，过点作于点，根据平行线的性质可得，进而求得，过作于点，根据等腰三角形三线合一可得，进而求得，利用求解即可；
方法二：过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，根据等腰三角形三线合一可得，进而求得，，过作于，根据平行线的性质可得，进而求得，根据求解即可．
【详解】方法一：
过点作交的延长线于点，
四边形是平行四边形，，
，
，
过点作于点，
由题意知，，
，
又，
，
过作于点，
，，
,
，
靠背顶端点距地面高度为
；
方法二：
如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，
，，
，
又，
，
，
，
过作于，
由题意知，，
，
又，
，
靠背顶端点距地面高度为．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
(
考点精炼
)
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sin A=.求BC的长和tan B的值．
【答案】见解析。
【解析】用正弦的定义即可求得BC，而要求tan B则先要用勾股定理求得AC．
∵sin A==，AB=10，∴BC=4．
∵AC=，
∴tan B==．
2. 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD = 24 m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE =．
(
A
O
B
E
C
D
)
（1）求半径OD；
（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？
【答案】（1）13m．（2）10小时．
【解析】（1）∵OE⊥CD于点E，CD=24（m），
∴ED ==12（m）．
在Rt△DOE中，∵sin∠DOE = =，∴OD =13（m）．
（2）OE== （m）
∴将水排干需：5÷0.5=10（小时）．
3. 一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12，试求CD的长．
【答案】见解析
【解析】过点B作BM⊥FD于点M，求出BM与CM的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝60°，利用解直角三角形解答即可．
过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝12，∴BC＝AC＝12.∵AB∥CF，∴BM＝sin45°BC＝12×＝12，CM＝BM＝12.在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝＝4，∴CD＝CM－MD＝12－4.
方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．
4. 已知等腰三角形的底边长为，周长为2＋，求底角的度数．
解析：先求腰长，作底边上的高，利用等腰三角形的性质，求得底角的余弦，即可求得底角的度数．
【答案】见解析
【解析】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝，∵周长为2＋，∴AB＝AC＝1.过A作AD⊥BC于点D，则BD＝，在Rt△ABD中，cos∠ABD＝＝，∴∠ABD＝45°，即等腰三角形的底角为45°.
方法总结：求角的度数时，可考虑利用特殊角的三角函数值．
5. 如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为30cm，灯罩BC长为20cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少(结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732)
【答案】见解析
【解析】首先过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，进而求出FC的长，再求出BG的长，即可得出答案．
解：过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，∴四边形BFDG是矩形，∴BG＝FD.在Rt△BCF中，∠CBF＝30°，∴CF＝BC·sin30°＝20×＝10cm.在Rt△ABG中，∵∠BAG＝60°，∴BG＝AB·sin60°＝30×＝15cm，∴CE＝CF＋FD＋DE＝10＋15＋2＝12＋15≈38.0(cm)．
答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是38.0cm.
方法总结：将实际问题抽象为数学问题，画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题．
6. 动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）
【答案】点A到CD的距离AE的长度约为88cm．
【解析】根据正弦的概念即可求解．
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，∠ACE=58°，AC=AB+BC=34+70=104(cm)，
∵sin∠ACE=，即sin58°=，
∴AE=104×0.85=88.4≈88(cm)，
∴点A到CD的距离AE的长度约为88cm．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的知识，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
7. 去年，我国南方菜地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理，在B处测得BC与水平线的夹角为45°，塔基A所在斜坡与水平线的夹角为30°，A、B两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）．
【答案】米
【解析】【分析】过点作于点，在和中，分别解直角三角形求出的长，由此即可得．
【详解】如图，过点作于点，
由题意得：米，，
，
，
在中，米，米，
在中，米，米，
则（米），
答：压折前该输电铁塔的高度为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
8.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．（1）请说明DE是⊙O的切线；
（2）若∠B=30°，AB=8，求DE的长．
【答案】见解析。
【解析】要想证DE是⊙O的切线，只要连接OD，求证∠ODE=90°即可．利用直角三角形和等边三角形的特点来求DE的长．
（1）连接OD，则OD=OB，∴∠B=∠ODB．
∵AB=AC，∴∠B=∠C．∴∠ODB=∠C．∴OD∥AC．∴∠ODE=∠DEC=90°．
∴DE是⊙O的切线．
（2）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．
∴．
又∵AB=AC，∴CD=BD=，∠C=∠B=30°．
∴．
9.（2023湖北鄂州） 如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接，，作交于点，首先根据勾股定理求出的长度，然后利用解直角三角形求出、的长度，进而得到是等边三角形，，然后根据角直角三角形的性质求出的长度，最后根据进行计算即可．
【详解】如图所示，连接，，作交于点
∵在中，，，，
∴，
∵点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，
∴是半圆的直径，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了角直角三角形的性质，解直角三角形，等边三角形的性质和判定，扇形面积，勾股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
10. （2023浙江温州）根据背景素材，探索解决问题．
测算发射塔的高度
背 景 素 材 某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度（如图1）．他们通过自制的测倾仪（如图2）在，，三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示．
经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度．
问题解决
任务1 分析规划 选择两个观测位置：点_________和点_________
获取数据 写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离．
任务2 推理计算 计算发射塔图上高度．
任务3 换算高度 楼房实际宽度为米，请通过测量换算发射塔的实际高度．
注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1．
【答案】规划一：[任务 1]选择点和点；，，，测得图上；[任务 2]；[任务 3]发射塔的实际高度为米；规划二：[任务 1]选择点和点．[任务 2]；[任务 3]发射塔的实际高度为米；
【解析】【分析】规划一：[任务 1]选择点和点,根据正切的定义求得三个角的正切值，测得图上
[任务 2]如图1，过点作于点，过点作于点，设．根据，，得出，．由，解得，根据，得出，即可求解；
[任务3 ]测得图上，设发射塔的实际高度为米．由题意，得，解得，
规划二：[任务 1]选择点和点．根据正切的定义求得三个角的正切值，测得图上；
[任务 2]如图2，过点作于点，过点作，交的延长线于点，则，设．根据，，得出，．根据，得出，然后根据，得出，进而即可求解．
[任务 3]测得图上，设发射塔的实际高度为米．由题意，得，解得，即可求解．
【详解】有以下两种规划，任选一种作答即可．
规划一：
[任务 1]选择点和点．
，，，测得图上．
[任务 2]如图1，过点作于点，过点作于点，
则，设．
∵，，
∴，．
∵，
∴
解得，
∴．
∵，
∴，
∴．
[任务3 ]测得图上，设发射塔的实际高度为米．
由题意，得，解得，
∴发射塔的实际高度为米．
规划二：
[任务 1]选择点和点．
，，，测得图上．
[任务 2]如图2，过点作于点，过点作，交的延长线于点，则，设．
∵，，
∴，．
∵，
∴，解得，
∴．
∵，∴，
∴．
[任务 3]测得图上，设发射塔的实际高度为米．
由题意，得，解得．
∴发射塔的实际高度为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．
11. （2023湖北宜昌）2023年5月30日，“神舟十六号”航天飞船成功发射．如图，飞船在离地球大约的圆形轨道上，当运行到地球表面P点的正上方F点时，从中直接看到地球表面一个最远的点是点Q．在中，．
（参考数据：）
（1）求的值（精确到）；
（2）在中，求的长（结果取整数）．
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】（1）在中，利用余弦函数即可求解；
（2）先求得的度数，再利用弧长公式即可求解．
【详解】（1）由题意可知，，
，
，
在中，；
（2），
，
的长为
．
【点睛】本题考查了求余弦函数的值，弧长公式的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
