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2024年人教版九年数学下册同步及知识拓展学讲练测讲义（全国通用）
讲座四 投影与视图
专题03 投影与视图单元总结与例题讲析
(
课标要求
)
（1）知道物体的投影是怎么形成的，并能根据光线的方向辨认实物的投影；
（2）了解视点、视角及盲区的含义，并能在简单的平面图和立体图中表示；
（3）通过实例了解中心投影和平行投影．
（4）会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图），会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型；
（5）了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型；
（6）了解基本几何体与其三视图、展开图（球除外）之间的关系；通过典型实例，知道这种关系在现实生活中的应用．
(
自学知识点
)
1. 投影、平行投影、中心投影
(1) 投影：物体在光线的照射下，会在某个平面 (地面或墙壁)上留下它的影子，这就是投影现象.
(2) 平行投影：太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成
的投影，称为平行投影.
(3) 中心投影：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影.
2.正投影
(1) 概念：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影．
(2) 性质：当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同．
3.三视图
(1) 三视图的概念
将三个投影面展开在一个平面内，得到这个物体的一张三视图.
(2) 三视图的画法：
①确定主视图的位置，画出主视图；
②在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图长对正；
③在主视图正右方画出左视图，注意与主视图高平齐，与俯视图宽相等；
④为表示圆柱、圆锥等的对称轴，规定在视图中加画点划线表示对称轴.
注意：不可见的轮廓线，用虚线画出.
(3)常见几何体的三视图：
(4) 由三视图确定几何体
由三视图想象立体图形时，先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、主面和左侧面的局部形状，然后再综合起来考虑整体图形．
(5) 由三视图确定几何体的面积和体积：
①先根据给出的三视图确定立体图形，并确定立体图形的长、宽、高、底面半径等；
②根据已知数据，求出立体图形的体积（或将立体图形展开成一个平面图形，求出展开图的面积）.
(
思维方法
)
1．常见几何体的展开图
几何体 立体图形 表面展开图 侧面展开图
圆柱
圆锥
三棱柱
2．正方体的展开图
正方体有11种展开图，分为四类：
第一类，中间四连方，两侧各有一个，共6种，如下图：
第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共3种，如下图：
第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有1种，如图10；
第四类，两排各有三个，也只有1种，如图11．
(
考点
例题讲析
)
【例题1】某兴趣小组开展课外活动．如图，A，B两地相距12米，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为AD，继续按原速行走2秒到达点F，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H，此时他（GH）在同一灯光下的影长为BH（点C，E，G在一条直线上）．
（1）请在图中画出光源O点的位置，并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM（不写画法）；
（2）求小明原来的速度．
【答案】（1）作图见试题解析；（2）1.5m/s．
【解析】本体考点有相似三角形的应用和中心投影．
（1）如图，
（2）设小明原来的速度为xm/s，
则CE=2xm，AM=AF﹣MF=（4x﹣1.2）m，
EG=2×1.5x=3xm，
BM=AB﹣AM=12﹣（4x﹣1.2）=13.2﹣4x，
∵点C，E，G在一条直线上，CG∥AB，
∴△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB，
∴，，
∴，
即，
解得x=1.5，经检验x=1.5为方程的解，
∴小明原来的速度为1.5m/s．
【例题2】（2023山东烟台）如图，对正方体进行两次切割，得到如图⑤所示的几何体，则图⑤几何体的俯视图
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据俯视图的定义，即可进行解答．
根据题意可得：从该几何体正上方看，棱的投影为点E，棱的投影为线段，棱的投影为线段，棱的投影为正方形的对角线，
∴该几何体的俯视图为：
，
故选：A
【点睛】考查俯视图，解题的关键是熟练掌握俯视图的定义：从物体正上方看到的图形是俯视图．
【例题3】（2023湖南张家界）如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，其主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
其主视图有2列，从左到右依次有3、1个正方形，图形如下：
故选D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从正面看到的图形是主视图是解题关键．
【例题4】在下面的四个几何体中，左视图与主视图不相同的几何体是( )
【答案】B
【解析】选项A.正方体的左视图与主视图都是正方形，不合题意；选项B.长方体的左视图与主视图都是矩形，但是矩形的长宽不一样，符合题意；选项C.球的左视图与主视图都是圆，不合题意；选项D.圆锥的左视图与主视图都是等腰三角形，不合题意；故选B.
方法总结：主视图、左视图是分别从物体正面、左面看所得到的图形．
【例题5】用四个相同的小立方体搭几何体，要求每个几何体的主视图、左视图、俯视图中至少有两种视图的形状是相同的，下列四种摆放方式中不符合要求的是( )
【答案】D
【解析】解析：选项A.此几何体的主视图和俯视图都是，不合题意；选项B.此几何体的主视图和左视图都是，不合题意；选项C.此几何体的主视图和左视图都是，不合题意；选项D.此几何体的主视图是，俯视图是，左视图是，符合题意，故选D.
方法总结：主视图、左视图、俯视图是分别从正面、左面、上面所看到的图形．理解定义是解决问题的关键．
【例题6】分别画出图中几何体的主视图、左视图和俯视图．
【答案】见解析
【解析】从正面看，从左往右4列正方形的个数依次为1，3，1，1；从左面看，从左往右3列正方形的个数依次为3，1，1；从上面看，从左往右4列正方形的个数依次为1，3，1，1.
解：如图所示：
方法总结：画三视图的步骤：①确定主视图位置，画出主视图；②在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；③在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”、与俯视图“宽相等”．要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线画成虚线．
【例题7】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是( )
A．四棱锥 B．四棱柱
C．三棱锥 D．三棱柱
【答案】D
【解析】主视图是由两个矩形组成，而左视图是一个矩形，俯视图是一个三角形，得出该几何体是一个三棱柱．故选D.
方法总结：由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
【例题8】（2023湖北十堰）下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】找到从物体正面、左面和上面看得到的图形完全相同的几何体即可．
A．四棱柱的俯视图与主视图和左视图都不同，故此选项错误；
B．圆锥的俯视图与主视图和左视图不同，故此选项错误；
C．圆柱的俯视图与主视图和左视图不同，故此选项错误；
D．球的三视图完全相同，都是圆，故此选项正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三视图的有关知识，掌握三视图都相同的常见的几何体有球和正方体是解答本题的关键．
【例题9】下列三视图所对应的实物图是( )
【答案】C
【解析】从俯视图可以看出实物图的下面部分为长方体，上面部分为圆柱，圆柱与下面的长方体的顶面的两边相切且与长方体高度相同．只有C满足这两点，故选C.
方法总结：主视图、左视图和俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形．对于本题要注意圆柱的高与长方体的高的大小关系．
【例题10】如图，是由几个小立方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上的立方体的个数，这个几何体的主视图是( )
【答案】D
【解析】由俯视图可知，几个小立方体所搭成的几何体如图所示：，可知选项D为此几何体的主视图．
方法总结：由俯视图想象出几何体的形状，然后按照三视图的要求，得出该几何体的主视图和侧视图．
【例题11】如图，是由几个相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，组成这个几何体的小正方体的个数是( )
A．5个或6个 B．6个或7个
C．7个或8个 D．8个或9个
【答案】B
【解析】从俯视图可得最底层有4个小正方体，由主视图可得上面一层是2个或3小正方体，则组成这个几何体的小正方体的个数是6个或7个．故选B.
方法总结：运用观察法确定该几何体有几列以及每列小正方体的个数是解题关键．
【例题12】由若干个相同的小立方体搭成的几何体的三视图如图所示，则组成该几何体的小立方体有( )
A．3块 B．4块 C．5块 D．6块
【答案】B
【解析】由俯视图易得最底层有3个立方体，第二层有1个立方体，那么组成该几何体的小立方体有3＋1＝4(个)．故选B.
方法总结：解决此类问题时要借助三种视图表示物体的特点，从主视图上弄清物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左右和前后形状；从左视图上弄清物体的上下和前后形状．综合分析，合理猜想，结合生活经验描绘出草图后，再检验是否符合题意．
【例题13】 (1)请你画出符合如图所示的几何体的两种左视图；
(2)若组成这个几何体的小正方体的块数为n，请你写出n的所有可能值．
【答案】见解析
【解析】(1)由俯视图可得该几何体有2行，则左视图应有2列．由主视图可得共有3层，那么其中一列必有3个正方体，另一列最少是1个，最多是3个；
(2)由俯视图可得该组合几何体有3列，2行，以及最底层正方体的个数及摆放形状，由主视图结合俯视图可得从左边数第2列第2层最少有1个正方体，最多有2个正方体，第3列第2层最少有1个正方体，最多有2个正方体，第3层最少有1个正方体，最多有2个正方体，分别相加得到组成组合几何体的最少个数及最多个数即可得到n的可能值．
解：(1)如图所示：
(2)∵俯视图有5个正方形，∴最底层有5个正方体．由主视图可得第2层最少有2个正方体，第3层最少有1个正方体；或第2层最多有4个正方体，第3层最多有2个正方体，∴该组合几何体最少有5＋2＋1＝8个正方体，最多有5＋4＋2＝11个正方体，∴n可能为8或9或10或11.
方法总结：解决本题要明确俯视图中正方形的个数是几何体最底层正方体的个数．
【例题14】已知如图为一几何体的三视图：
(1)写出这个几何体的名称；
(2)若从正面看的长为10cm，从上面看的圆的直径为4cm，求这个几何体的侧面积(结果保留π)．
【答案】见解析
【解析】(1)根据该几何体的主视图与左视图是矩形，俯视图是圆可以确定该几何体是圆柱；(2)根据告诉的几何体的尺寸确定该几何体的侧面积即可．
解：(1)该几何体是圆柱；
(2)∵从正面看的长为10cm，从上面看的圆的直径为4cm，∴该圆柱的底面直径为4cm，高为10cm，∴该几何体的侧面积为2πrh＝2π×2×10＝40π(cm2)．
方法总结：解题时要明确侧面积的计算方法，即圆柱侧面积＝底面周长×圆柱高．
【例题15】如图是两个长方体组合而成的一个立体图形的三视图，根据图中所标尺寸(单位：mm)，求这个几何体的表面积．
【答案】见解析
【解析】先由三视图得到两个长方体的长，宽，高，再分别表示出每个长方体的表面积，最后减去上面的长方体与下面的长方体的接触面面积即可．
解：根据三视图可得：上面的长方体长6mm，高6mm，宽3mm，下面的长方体长10mm，宽8mm，高3mm，这个几何体的表面积为2×(3×8＋3×10＋8×10)＋2×(3×6＋6×6)＝268＋108＝376(mm2)．
答：这个几何体的表面积是376mm2.
方法总结：由三视图求几何体的表面积，首先要根据三视图分析几何体的形状，然后根据三视图的投影规律—“长对正，高平齐，宽相等”，确定几何体的长、宽、高等相关数据值，再根据相关公式计算几何体的面积．注意：求解组合体的表面积时重叠部分不应计算在内．
【例题16】杭州某零件厂刚接到要铸造5000件铁质工件的订单，下面给出了这种工件的三视图．已知铸造这批工件的原料是生铁，待工件铸成后还要在表面涂一层防锈漆，那么完成这批工件需要原料生铁多少吨？涂完这批工件要消耗多少千克防锈漆(铁的密度为7.8g/cm3，1kg防锈漆可以涂4m2的铁器面，三视图单位为cm)
【答案】见解析
【解析】从主视图和左视图可以看出这个几何体是由前后两部分组成的，呈一个T字形状．故可以把该几何体看成两个长方体来计算．
解：∵工件的体积为(30×10＋10×10)×20＝8000cm3，∴重量为8000×7.8＝62400(g)＝62.4(kg)，∴铸造5000件工件需生铁5000×62.4＝312000(kg)＝312(t)．∵一件工件的表面积为2×(30×20＋20×20＋10×30＋10×10)＝2800cm2＝0.28m2.∴涂完全部工件需防锈漆5000×0.28÷4＝350(kg)．
方法总结：本题主要考查了由三视图确定几何体和求几何体的面积；关键是得到几何体的形状，得到所求的等量关系的相对应的值．
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讲座四 投影与视图
专题03 投影与视图单元总结与例题讲析
(
课标要求
)
（1）知道物体的投影是怎么形成的，并能根据光线的方向辨认实物的投影；
（2）了解视点、视角及盲区的含义，并能在简单的平面图和立体图中表示；
（3）通过实例了解中心投影和平行投影．
（4）会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图），会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型；
（5）了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型；
（6）了解基本几何体与其三视图、展开图（球除外）之间的关系；通过典型实例，知道这种关系在现实生活中的应用．
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自学知识点
)
1. 投影、平行投影、中心投影
(1) 投影：物体在光线的照射下，会在某个平面 (地面或墙壁)上留下它的影子，这就是投影现象.
(2) 平行投影：太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成
的投影，称为平行投影.
(3) 中心投影：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影.
2.正投影
(1) 概念：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影．
(2) 性质：当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同．
3.三视图
(1) 三视图的概念
将三个投影面展开在一个平面内，得到这个物体的一张三视图.
(2) 三视图的画法：
①确定主视图的位置，画出主视图；
②在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图长对正；
③在主视图正右方画出左视图，注意与主视图高平齐，与俯视图宽相等；
④为表示圆柱、圆锥等的对称轴，规定在视图中加画点划线表示对称轴.
注意：不可见的轮廓线，用虚线画出.
(3)常见几何体的三视图：
(4) 由三视图确定几何体
由三视图想象立体图形时，先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、主面和左侧面的局部形状，然后再综合起来考虑整体图形．
(5) 由三视图确定几何体的面积和体积：
①先根据给出的三视图确定立体图形，并确定立体图形的长、宽、高、底面半径等；
②根据已知数据，求出立体图形的体积（或将立体图形展开成一个平面图形，求出展开图的面积）.
(
思维方法
)
1．常见几何体的展开图
几何体 立体图形 表面展开图 侧面展开图
圆柱
圆锥
三棱柱
2．正方体的展开图
正方体有11种展开图，分为四类：
第一类，中间四连方，两侧各有一个，共6种，如下图：
第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共3种，如下图：
第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有1种，如图10；
第四类，两排各有三个，也只有1种，如图11．
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考点
例题讲析
)
【例题1】某兴趣小组开展课外活动．如图，A，B两地相距12米，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为AD，继续按原速行走2秒到达点F，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H，此时他（GH）在同一灯光下的影长为BH（点C，E，G在一条直线上）．
（1）请在图中画出光源O点的位置，并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM（不写画法）；
（2）求小明原来的速度．
【例题2】（2023山东烟台）如图，对正方体进行两次切割，得到如图⑤所示的几何体，则图⑤几何体的俯视图
为（ ）
A. B. C. D.
【例题3】（2023湖南张家界）如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，其主视图是（ ）
A. B. C. D.
【例题4】在下面的四个几何体中，左视图与主视图不相同的几何体是( )
【例题5】用四个相同的小立方体搭几何体，要求每个几何体的主视图、左视图、俯视图中至少有两种视图的形状是相同的，下列四种摆放方式中不符合要求的是( )
【例题6】分别画出图中几何体的主视图、左视图和俯视图．
【例题7】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是( )
A．四棱锥 B．四棱柱
C．三棱锥 D．三棱柱
【例题8】（2023湖北十堰）下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是（ ）
A. B. C. D.
【例题9】下列三视图所对应的实物图是( )
【例题10】如图，是由几个小立方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上的立方体的个数，这个几何体的主视图是( )
【例题11】如图，是由几个相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，组成这个几何体的小正方体的个数是( )
A．5个或6个 B．6个或7个
C．7个或8个 D．8个或9个
【例题12】由若干个相同的小立方体搭成的几何体的三视图如图所示，则组成该几何体的小立方体有( )
A．3块 B．4块 C．5块 D．6块
【例题13】 (1)请你画出符合如图所示的几何体的两种左视图；
(2)若组成这个几何体的小正方体的块数为n，请你写出n的所有可能值．
【例题14】已知如图为一几何体的三视图：
(1)写出这个几何体的名称；
(2)若从正面看的长为10cm，从上面看的圆的直径为4cm，求这个几何体的侧面积(结果保留π)．
【例题15】如图是两个长方体组合而成的一个立体图形的三视图，根据图中所标尺寸(单位：mm)，求这个几何体的表面积．
【例题16】杭州某零件厂刚接到要铸造5000件铁质工件的订单，下面给出了这种工件的三视图．已知铸造这批工件的原料是生铁，待工件铸成后还要在表面涂一层防锈漆，那么完成这批工件需要原料生铁多少吨？涂完这批工件要消耗多少千克防锈漆(铁的密度为7.8g/cm3，1kg防锈漆可以涂4m2的铁器面，三视图单位为cm)
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