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2024年人教版九年数学下册同步及知识拓展学讲练测讲义（全国通用）
讲座四 投影与视图
专题01 平行投影和中心投影和正投影
(
课标要求
)
1. 了解投影、投影线、投影面、平行投影和中心投影的概念.
2. 了解平行投影和中心投影的含义、特征、区别与联系.
3. 能利用平行投影和中心投影的相关知识解决实际问题.
4. 了解正投影的概念.
5. 掌握线段、平面图形的正投影规律.
6. 能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影， 并进行相关计算.
(
自学知识点
)
1．投影：在光线的照射下，空间中的物体落在平面内的影子能够反映出该物体的形状和大小，这种现象叫做投影现象．影子所在的平面称为投影面．
2．平行投影、中心投影
（1）平行投影：投射线相互平行的投影称为平行投影．比如阳光下的影子为平行投影，在平行投影下，同一时刻两物体的影子在同一方向上，并且物高与影长成正比．
（2）中心投影：在点光源下形成的物体的投影叫做中心投影，点光源叫做投影中心．比如灯光下的影子为中心投影，影子在物体背对光的一侧．等高的物体垂直于地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长．
3.平行投影和中心投影有什么区别和联系呢
4.正投影的概念及性质
（1）正投影：投影线垂直于投影面的投影叫做正投影．
（2）视点、视线、盲区：
人朝着某个方向看时，眼睛的位置称为视点，由视点发出的线称为视线，视线之外看不到的地方称为盲区．
5.平面图形的正投影
当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同．
6.画几何体的正投影
物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关
(
思维方法
)
1．根据两种物体的影子判断其是在灯光下还是在阳光下的投影，关键是看这两种物体的顶端和其影子的顶端的连线是平行还是相交，若平行则是在阳光下的投影，若相交则是在灯光下的投影．
2．光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终在物体的两侧．
3．物体的投影分为中心投影和平行投影．
(
考点
例题讲析
)
【例题1】李航想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量方法如下：如示意图，李航边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得李航落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.6m，CA＝30m(点A、E、C在同一直线上)．已知李航的身高EF是1.6m，请你帮李航求出楼高AB.
【答案】见解析
【解析】过点D作DN⊥AB，可得四边形CDME、ACDN是矩形，即可证明△DFM∽△DBN，从而得出BN，进而求得AB的长．
解：过点D作DN⊥AB，垂足为N，交EF于M点，∴四边形CDME、ACDN是矩形，∴AN＝ME＝CD＝1.2m，DN＝AC＝30m，DM＝CE＝0.6m，∴MF＝EF－ME＝1.6－1.2＝0.4m.∵EF∥AB，∴△DFM∽△DBN，＝，即＝，∴BN＝20m，∴AB＝BN＋AN＝20＋1.2＝21.2m.
答：楼高为21.2m.
方法总结：在同一时刻的物体高度与影长的关系：＝.
【例题2】木棒长为1.2m，则它的正投影的长一定( )
A．大于1.2m B．小于1.2m
C．等于1.2m D．小于或等于1.2m
【答案】D
【解析】正投影的长度与木棒的摆放角度有关，但无论怎样摆都不会超过1.2 m．故选D.
方法总结：当线段平行于投影面时的正投影与原线段相等，当线段不平行于投影面时的正投影小于原线段．
【例题3】小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．
【答案】旗杆的高AB为3米．
【解析】证明△AOD∽△EFG，利用相似比计算出AO的长，再证明△BOC∽△AOD，然后利用相似比计算OB的长，进一步计算即可求解．
∵AD∥EG，
∴∠ADO=∠EGF．
又∵∠AOD=∠EFG=90°，
∴△AOD∽△EFG．
∴．
∴．
同理，△BOC∽△AOD．
∴．
∴．
∴AB=OA OB=3（米）．
∴旗杆的高AB为3米．
【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
(
考点精炼
)
1. 在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据太阳光下的影子的特点：（1）同一时刻，太阳光下的影子都在同一方向；（2）太阳光线是平行的，太阳光下的影子与物体高度成比例，据此逐项判断即可．
选项A、B中，两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下的影子，则选项A、B错误
选项C中，树高与影长成反比，不可能为同一时刻阳光下的影子，则选项C错误
选项D中，在同一时刻阳光下，影子都在同一方向，且树高与影长成正比，则选项D正确故选：D．
2. 下图水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影图是（ ）
【答案】D
【解析】杯口与投影面平行，其正投影形状大小与杯口一致。
3．小华家客厅有一张直径为高为的圆桌有一盏灯到地面垂直距离为圆桌的影子为，则点到点的距离为_______．
【答案】4
【解析】本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴=.
∵AB=1.2，∴CD=2.又∵FC=2,∴DF=CD+FC=2+2=4．故答案为：4．
4. 如图，把一根直的细铁丝 (记为线段AB) 放在三个不同位置.
(1) 铁丝平行于投影面；
(2)铁丝倾斜于投影面；
(3) 铁丝垂直于投影面 (铁丝不一定要与投影面有交点).
三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？
【答案】见解析
【解析】通过观察，我们可以发现：
(1) 当线段AB平行于投影面α时，它的正投影是线段A1B1，线段与它的投影的大小关系为AB=A1B1；
(2) 当线段AB倾斜于投影面α时，它的正投影是线段A2B2，线段与它的投影的大小关系为AB>A2B2;
(3) 当线段AB垂直于投影面α时，它的正投影是一个点A3(B3) ．
5.画出如图摆放的正方体在投影面P上的正投影．
(1) 正方体的一个面ABCD平行于投影面P；
(2) 正方体的一个面ABCD倾斜于投影面P，底面ADEF垂直于投影面P，并且其对角线AE垂直于投影面P．
【答案】见解析。
【解析】如图所示：
6．如图所示，某校墙边有甲、乙两根木杆，如果乙木杆的影子刚好不落在墙上，
AB＝5 m，BC＝3 m
(1)请你画出此时DE在阳光下的投影；
(2)若同时测量出DE在阳光下的投影长为6 m，请你计算DE的长．
【答案】见解析。
【解析】(1)作直线AC，过D作AC的平行线交BC于F，EF即为DE在阳光下的投影(图略)．
(2)由题意得EF＝6 m，又∵AC∥DF，∴△ABC∽△DEF，
∴，
∴，
DE＝10 m．
故DE长10 m．
7.图（1）是一个蒙古包的照片，这个蒙古包可以近似看成是圆锥和圆柱组成的几何体，如图（2）所示．图（3）是这个几何体的正面示意图，已知蒙古包的顶部离地面的高度EO1=6米，圆柱部分的高OO1=4米，底面圆的直径BC=8米，求∠EAO的度数（结果精确到0.1°）．
【答案】26.6°．
【解析】连接EO1，如图所示，
∵EO1=6米，OO1=4米，
∴EO=EO1﹣OO1=6﹣4=2米，
∵AD=BC=8米，∴OA=OD=4米，
在Rt△AOE中，
tan∠EAO=，
则∠EAO≈26.6°．
8．实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线的距离皆为．王诗嬑观测到高度矮圆柱的影子落在地面上，其长为；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：（1）若王诗嬑的身高为，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少？（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为，则高圆柱的高度为多少？
【答案】（1）120cm；（2）正确；（3）280cm
【解析】（1）设王诗嬑的影长为xcm，由题意可得：，解得：x=120，
经检验：x=120是分式方程的解，王诗嬑的的影子长为120cm；
（2）正确，因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直，
则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直，
而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直，
∴高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内；
（3）如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，△CDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子，
过点F作FG⊥CE于点G，由题意可得：BC=100，CF=100，
∵斜坡坡度，∴，∴设FG=4m，CG=3m，在△CFG中，
，解得：m=20，∴CG=60，FG=80，∴BG=BC+CG=160，
过点F作FH⊥AB于点H，∵同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm，
FG⊥BE，AB⊥BE，FH⊥AB，可知四边形HBGF为矩形，
∴，∴AH==200，∴AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280，
故高圆柱的高度为280cm.
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专题01 平行投影和中心投影和正投影
(
课标要求
)
1. 了解投影、投影线、投影面、平行投影和中心投影的概念.
2. 了解平行投影和中心投影的含义、特征、区别与联系.
3. 能利用平行投影和中心投影的相关知识解决实际问题.
4. 了解正投影的概念.
5. 掌握线段、平面图形的正投影规律.
6. 能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影， 并进行相关计算.
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自学知识点
)
1．投影：在光线的照射下，空间中的物体落在平面内的影子能够反映出该物体的形状和大小，这种现象叫做投影现象．影子所在的平面称为投影面．
2．平行投影、中心投影
（1）平行投影：投射线相互平行的投影称为平行投影．比如阳光下的影子为平行投影，在平行投影下，同一时刻两物体的影子在同一方向上，并且物高与影长成正比．
中心投影：在点光源下形成的物体的投影叫做中心投影，点光源叫做投影中心．比如灯光下的影子为中心投影，影子在物体背对光的一侧．等高的物体垂直于地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长．
3.平行投影和中心投影有什么区别和联系呢
4.正投影的概念及性质
（1）正投影：投影线垂直于投影面的投影叫做正投影．
（2）视点、视线、盲区：
人朝着某个方向看时，眼睛的位置称为视点，由视点发出的线称为视线，视线之外看不到的地方称为盲区．
5.平面图形的正投影
当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同．
6.画几何体的正投影
物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关
(
思维方法
)
1．根据两种物体的影子判断其是在灯光下还是在阳光下的投影，关键是看这两种物体的顶端和其影子的顶端的连线是平行还是相交，若平行则是在阳光下的投影，若相交则是在灯光下的投影．
2．光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终在物体的两侧．
3．物体的投影分为中心投影和平行投影．
(
考点
例题讲析
)
【例题1】李航想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量方法如下：如示意图，李航边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得李航落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.6m，CA＝30m(点A、E、C在同一直线上)．已知李航的身高EF是1.6m，请你帮李航求出楼高AB.
【例题2】木棒长为1.2m，则它的正投影的长一定( )
A．大于1.2m B．小于1.2m
C．等于1.2m D．小于或等于1.2m
【例题3】小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．
(
考点精炼
)
1. 在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（ ）
A．B．C．D．
2. 下图水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影图是（ ）
3．小华家客厅有一张直径为高为的圆桌有一盏灯到地面垂直距离为圆桌的影子为，则点到点的距离为_______．
4. 如图，把一根直的细铁丝 (记为线段AB) 放在三个不同位置.
(1) 铁丝平行于投影面；
(2)铁丝倾斜于投影面；
(3) 铁丝垂直于投影面 (铁丝不一定要与投影面有交点).
三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？
5.画出如图摆放的正方体在投影面P上的正投影．
(1) 正方体的一个面ABCD平行于投影面P；
(2) 正方体的一个面ABCD倾斜于投影面P，底面ADEF垂直于投影面P，并且其对角线AE垂直于投影面P．
6．如图所示，某校墙边有甲、乙两根木杆，如果乙木杆的影子刚好不落在墙上，
AB＝5 m，BC＝3 m
(1)请你画出此时DE在阳光下的投影；
(2)若同时测量出DE在阳光下的投影长为6 m，请你计算DE的长．
7.图（1）是一个蒙古包的照片，这个蒙古包可以近似看成是圆锥和圆柱组成的几何体，如图（2）所示．图（3）是这个几何体的正面示意图，已知蒙古包的顶部离地面的高度EO1=6米，圆柱部分的高OO1=4米，底面圆的直径BC=8米，求∠EAO的度数（结果精确到0.1°）．
8．实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线的距离皆为．王诗嬑观测到高度矮圆柱的影子落在地面上，其长为；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：（1）若王诗嬑的身高为，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少？（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为，则高圆柱的高度为多少？
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