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2024年人教版九年数学下册同步及知识拓展学讲练测讲义（全国通用）
讲座四 投影与视图
专题02 三视图
(
课标要求
)
1. 会从投影的角度理解视图的概念，明确视图与投影的关系.
2. 能识别物体的三视图，会画简单几何体的三视图.
3. 会根据物体的三视图描述出基本几何体的形状.
4. 会根据复杂的三视图判断实物原型.
5. 能熟练地画出物体的三视图和由三视图想象出物体形状，进一步提高空间想象能力.
6. 由三视图想象出立体图形后能进行简单的面积或体积的计算.
(
知识点解读
)
一、三视图.
1. 三个投影面
我们用三个互相垂直的平面（例如：墙角处的三面墙面）作为投影面，其中正对着我们的叫正面，正面下方的叫水平面，右边的叫做侧面.
2. 理解三视图概念
当我们从某一方向观察一个物体时，所看到的图形叫做物体的一个视图．视图也可以看作物体在某一个方向的光线下的正投影，对于同一物体，如果从不同方向观察，所得到的视图可能不同．
将三个投影面展开在一个平面内，得到这个物体的一张三视图.
三视图是主视图、俯视图、左视图的统称.它是从三个方向分别表示物体形状的一种常用视图.
（1）主视图：从正面看得到的视图叫做主视图．
（2）左视图：从左面看得到的视图叫做左视图．
（3）俯视图：从上面看得到的视图叫做俯视图．
【注意】在三种视图中，主视图反映物体的长和高，左视图反映了物体的宽和高，俯视图反映了物体的长和宽．
二、三视图的画法
1. 确定主视图的位置，画出主视图；
2. 在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图长对正；
3. 在主视图正右方画出左视图，注意与主视图高平齐，与俯视图宽相等；
4. 为表示圆柱、圆锥等的对称轴，规定在视图中加画点划线表示对称轴.
注意：不可见的轮廓线，用虚线画出.
三、由三视图确定几何体
1.由三视图想象立体图形时，要先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面，然后再综合起来考虑整体图形.
2.三视图除了与立体图形的形状有关外，还与立体图形的摆放位置有关，故由图想物，先根据三视图确定物体的形状，再确定物体的摆放位置.
四、求解由三视图确定几何体体积表面积等
1. 三种图形的转化：
三视图 立体图 展开图
2.由三视图求立体图形的体积 (或面积) 的方法
(1) 先根据给出的三视图确定立体图形，并确定立体图形的长、宽、高、底面半径等；
(2) 根据已知数据，求出立体图形的体积 (或将立体图形展开成一个平面图形，求出展开图的面积).
(
解题思维方法
)
1. 由三视图求立体图形的面积的方法
(1) 先根据给出的三视图确定立体图形，并确定立体图形的长、宽、高.
(2) 将立体图形展开成一个平面图形 (展开图)，观察它的组成部分.
(3) 最后根据已知数据，求出展开图的面积.
2.画三视图方法
（1）画三视图要注意三要素：主视图与俯视图长度相等；主视图与左视图高度相等；左视图与俯视图宽度相等．简记为“主俯长对正，主左高平齐，左俯宽相等”．
（2）注意实线与虚线的区别：能看到的线用实线，看不到的线用虚线．
(
考点
例题讲析
)
【例题1】（2023湖北鄂州） 下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分别得出棱柱，圆柱，圆锥，球体的主视图，得出结论．
棱柱的主视图是矩形（中间只有一条线段），不符合题意；
圆柱的主视图是矩形，不符合题意；
圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；
球体的主视图是圆，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
【例题2】（2023武汉）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】它的左视图，即从该几何体的左侧看到的是两列，左边一列两层，右边一列一层，因此选项A的图形符合题意．
从该几何体的左侧看到的是两列，左边一列两层，右边一列一层，因此选项A的图形符合题意，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解三视图的意义，明确三视图的形状是正确判断的前提．
【例题3】如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（ ）
A．圆锥 B．长方体 C．球 D．圆柱
【答案】D
【解析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
由于主视图和俯视图为长方形可得此几何体为柱体，由左视图为圆形可得为圆柱．
【例题4】如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（ ）
A．12π B．18π C．24π D．30π
【答案】B
【解析】直接利用三视图得出几何体的形状，再利用圆柱体积求法得出答案．
由三视图可得，几何体是空心圆柱，其小圆半径是1，大圆半径是2，
则大圆面积为：π×22＝4π，小圆面积为：π×12＝π，
故这个几何体的体积为：6×4π﹣6×π＝24π﹣6π＝18π．
(
考点精炼
)
1. （2023浙江温州）截面为扇环的几何体与长方体组成的摆件如图所示，它的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据几何体的三视图可进行求解．
由图可知该几何体的主视图是 ；
故选：A．
【点睛】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．
2.（2023湖南岳阳） 下列几何体的主视图是圆的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据主视图的概念找出各种几何体的主视图即可．
A、主视图为圆，符合题意；
B、主视图为正方形，不符合题意；
C、主视图为三角形，不符合题意；
D、主视图为并排的两个长方形，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是能够理解主视图的概念以及对常见的几何体的主视图有一定的空间想象能力．
3. （2023浙江宁波）如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的主视图是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据几何体的主视图的含义可直接进行判断．
由题意可得：该几何体的主视图为
；
故选A．
【点睛】本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握几何体的三视图的画法是解题的关键．
4. （2023湖南永州）下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据三视图的意义判断即可．
A. 主视图和左视图都为长方形，不符合题意；
B. 主视图和左视图都为长方形，不符合题意；
C. 主视图和左视图都为长方形，不符合题意；
D. 主视图和左视图都为三角形，符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的意义是解题的关键．
5.（2023四川内江） 如图是由5个完全相同的小正方体堆成的物体，其主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
从正面看易得左边一列有2个正方形，中间与右边一列各有一个正方形．
故选：A．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
6. （2023湖北荆州）观察如图所示的几何体，下列关于其三视图的说法正确的是（ ）
A. 主视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
B. 左视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
C. 俯视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
D. 主视图、左视图、俯视图都是中心对称图形
【答案】C
【解析】先判断该几何体的三视图，再根据轴对称和中心对称图形定义逐项判断三视图，即可求出答案.
A选项：主视图是上下两个等腰三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；
B选项：左视图是上下两个等腰三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；
C选项：俯视图是圆（带圆心），既是中心对称图形，又是轴对称图形，故符合题意；
D选项：由A和B选项可知，主视图和左视图都不是中心对称图形，故不符合题意.
故选：C.
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图、轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于掌握轴对称和中心对称的定义. 如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称.
7.（2023湖北随州） 如图是一个放在水平桌面上的圆柱体，该几何体的三视图中完全相同的是（ ）
A. 主视图和俯视图 B. 左视图和俯视图 C. 主视图和左视图 D. 三个视图均相同
【答案】C
【解析】根据三视图的定义判断即可．
该几何体的三视图中完全相同的是主视图和左视图，均为矩形，俯视图是一个圆．
故选：C．
【点睛】本题考查三视图的知识点，主要掌握主视图、左视图、俯视图分别是从物体的前面、左面、上面看到的图形是解题的关键．
8. （2023湖南郴州） 下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可．
A、直三棱柱的俯视图为三角形，与主视图长方形和左视图长方形均不同，A错误；
B、圆锥的俯视图为圆，与主视图三角形和左视图三角形均不同，B错误；
C、圆柱的俯视图为圆，与主视图长方形和左视图长方形均不同，C错误；
D、球的三视图完全相同，都是圆，D正确；
故选D．
【点睛】本题考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．
9.如图，将图中的阴影部分剪下来，围成一个几何体的侧面，使AB，DC重合，则所围成的几何体图形是( )
【答案】D
【解析】此题可用排除法．因为阴影部分是个扇环，而圆柱的侧面展开图是长方形，所以排除A；圆锥的侧面展开图是扇形，所以排除B；长方体的侧面展开图是长方形，所以C也要排除；故选D.
10．一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（ ）
A．π B．2π C．3π D．（+1）π
【答案】C
【解析】由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为的正三角形．
∴正三角形的边长＝＝2．
∴圆锥的底面圆半径是1，母线长是2，
∴底面周长为2π
∴侧面积为2π×2＝2π，∵底面积为πr2＝π，
∴全面积是3π．
11.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C．
【解析】本题考查了由三视图求原几何体的体积，正确恢复原几何体是解决问题的关键
由三视图可看出：该几何体是﹣个正六棱柱，其中底面正六边形的边长为6，高是2，
所以该几何体的体积=6××62×2=108．
12. 一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A．
【解析】根据三视图图形得出AC＝BC＝3，EC＝4，即可求出这个长方体的表面积．
∵如图所示，∴AB＝3，
∴AC＝BC＝3，
∴正方形ABCD面积为：3×3＝9，
侧面积为：4AC·CE＝3×4×4＝48，
∴这个长方体的表面积为：48＋9＋9＝66．
13．已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥体的侧面积为 ．
【答案】20π
【解析】先利用三视图得到底面圆的半径为4，圆锥的高为3，再根据勾股定理计算出母线长l为5，然后根据圆锥的侧面积公式：S侧=πrl代入计算即可．根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为8，即底面圆的半径r为4，圆锥的高为3，
所以圆锥的母线长l==5，
所以这个圆锥的侧面积是π×4×5=20π．
14.根据物体的三视图描述物体的形状.
【答案】见解析。
【解析】由主视图可知，物体的正面是正五边形；由俯视图可知，由上向下看到物体有两个面的视图是矩形，它们的交线是一条棱 (中间的实线表示)，可见到，另有两条棱 (虚线表示) 被遮挡；由左视图可知，物体左侧有两个面是矩形，它们的交线是一条棱 (中间的实线表示)，可见到；综合各视图可知，物体的形状是正五棱柱.
物体是正五棱柱形状的，如图所示.
由三视图想象立体图形时，先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、主面和左侧面的局部形状，然后再综合起来考虑整体图形．
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讲座四 投影与视图
专题02 三视图
(
课标要求
)
1. 会从投影的角度理解视图的概念，明确视图与投影的关系.
2. 能识别物体的三视图，会画简单几何体的三视图.
3. 会根据物体的三视图描述出基本几何体的形状.
4. 会根据复杂的三视图判断实物原型.
5. 能熟练地画出物体的三视图和由三视图想象出物体形状，进一步提高空间想象能力.
6. 由三视图想象出立体图形后能进行简单的面积或体积的计算.
(
知识点解读
)
一、三视图.
1. 三个投影面
我们用三个互相垂直的平面（例如：墙角处的三面墙面）作为投影面，其中正对着我们的叫正面，正面下方的叫水平面，右边的叫做侧面.
2. 理解三视图概念
当我们从某一方向观察一个物体时，所看到的图形叫做物体的一个视图．视图也可以看作物体在某一个方向的光线下的正投影，对于同一物体，如果从不同方向观察，所得到的视图可能不同．
将三个投影面展开在一个平面内，得到这个物体的一张三视图.
三视图是主视图、俯视图、左视图的统称.它是从三个方向分别表示物体形状的一种常用视图.
（1）主视图：从正面看得到的视图叫做主视图．
（2）左视图：从左面看得到的视图叫做左视图．
（3）俯视图：从上面看得到的视图叫做俯视图．
【注意】在三种视图中，主视图反映物体的长和高，左视图反映了物体的宽和高，俯视图反映了物体的长和宽．
二、三视图的画法
1. 确定主视图的位置，画出主视图；
2. 在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图长对正；
3. 在主视图正右方画出左视图，注意与主视图高平齐，与俯视图宽相等；
4. 为表示圆柱、圆锥等的对称轴，规定在视图中加画点划线表示对称轴.
注意：不可见的轮廓线，用虚线画出.
三、由三视图确定几何体
1.由三视图想象立体图形时，要先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面，然后再综合起来考虑整体图形.
2.三视图除了与立体图形的形状有关外，还与立体图形的摆放位置有关，故由图想物，先根据三视图确定物体的形状，再确定物体的摆放位置.
四、求解由三视图确定几何体体积表面积等
1. 三种图形的转化：
三视图 立体图 展开图
2.由三视图求立体图形的体积 (或面积) 的方法
(1) 先根据给出的三视图确定立体图形，并确定立体图形的长、宽、高、底面半径等；
(2) 根据已知数据，求出立体图形的体积 (或将立体图形展开成一个平面图形，求出展开图的面积).
(
解题思维方法
)
1. 由三视图求立体图形的面积的方法
(1) 先根据给出的三视图确定立体图形，并确定立体图形的长、宽、高.
(2) 将立体图形展开成一个平面图形 (展开图)，观察它的组成部分.
(3) 最后根据已知数据，求出展开图的面积.
2.画三视图方法
（1）画三视图要注意三要素：主视图与俯视图长度相等；主视图与左视图高度相等；左视图与俯视图宽度相等．简记为“主俯长对正，主左高平齐，左俯宽相等”．
（2）注意实线与虚线的区别：能看到的线用实线，看不到的线用虚线．
(
考点
例题讲析
)
【例题1】（2023湖北鄂州） 下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）
A. B. C. D.
【例题2】（2023武汉）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【例题3】如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（ ）
A．圆锥 B．长方体 C．球 D．圆柱
【例题4】如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（ ）
A．12π B．18π C．24π D．30π
(
考点精炼
)
1. （2023浙江温州）截面为扇环的几何体与长方体组成的摆件如图所示，它的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
2.（2023湖南岳阳） 下列几何体的主视图是圆的是（ ）
A. B. C. D.
3. （2023浙江宁波）如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的主视图是( )
A. B. C. D.
4. （2023湖南永州）下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为三角形的是（ ）
A. B. C. D.
5.（2023四川内江） 如图是由5个完全相同的小正方体堆成的物体，其主视图是（ ）
A. B. C. D.
6. （2023湖北荆州）观察如图所示的几何体，下列关于其三视图的说法正确的是（ ）
A. 主视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
B. 左视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
C. 俯视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
D. 主视图、左视图、俯视图都是中心对称图形
7.（2023湖北随州） 如图是一个放在水平桌面上的圆柱体，该几何体的三视图中完全相同的是（ ）
A. 主视图和俯视图 B. 左视图和俯视图 C. 主视图和左视图 D. 三个视图均相同
8. （2023湖南郴州） 下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（ ）
A. B. C. D.
．
9.如图，将图中的阴影部分剪下来，围成一个几何体的侧面，使AB，DC重合，则所围成的几何体图形是( )
10．一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（ ）
A．π B．2π C．3π D．（+1）π
11.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
12. 一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
13．已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥体的侧面积为 ．
14.根据物体的三视图描述物体的形状.
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