丰城县中2023-2024学年高三上学期11月期中考试
数学试卷
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.）
1.设集合，，则
A． B． C． D．
2．命题“，”的否定是
A．， B．，
C．， D．，
3．已知弧度数为的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是
A． B． C． D．
4．函数在区间上的单调递增区间是
A． B． C． D．
5．函数在的大致图象是
A B C D
6．11月25日，中国工程院院士、“共和国勋章”获得者钟南山在2021中国网络媒体论坛上发言，截至11月24日，中国新冠疫苗全程接种人数已经达到10亿8万，占中国人口的，到今年底接种率就会超过，为建立群体免疫打下了基础．近日，各地有序开展新冠疫苗加强针接种工作，某社区疫苗接种点为了更好的服务市民，决定增派5名医务工作者参加登记、接种、留观3项工作，每人参加1项，接种工作至少需要2人参加，登记、留观至少1人参加，则不同的安排方式有
A．50 B．80 C．140 D．180
7．的展开式中的系数是
A．56 B．84 C．96 D．126
8．已知，关于的方程 有四个不同的实数根，则
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得5分，有错选的得0分，部分选对的得2分）
9.下列函数中，是奇函数且在区间上是减函数的是
A． B． C． D．
10．下列命题是真命题的有
A．分层抽样调查后的样本中甲、乙、丙三种个体的比例为3：1：2，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30
B．某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间[114.5，124.5]内的频率为0.4
C．甲、乙两队队员体重的平均数分别为60，68，人数之比为1：3，则甲、乙两队全部队员体重的平均数为67
D．一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位数为5
11．一箱产品有正品10件，次品2件，从中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有
A．“恰有1件次品”和“恰有2件次品” B．“至少有1件次品”和“都是次品”
C．“至少有1件正品”和“至少有1件次品” D．“至少有1件次品”和“都是正品”
12．已知函数满足，有，且，当时，，则下列说法正确的是
A．是奇函数 B．时，单调递减
C．是周期为4的函数 D．关于对称
三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．若曲线在处的切线平行于直线，则= .
14．已知随机变量X～N(2，σ2)，若P(X>1)＝0.7827，则P(X≥3)＝________.
15．当时，不等式恒成立，则的取值范围为 ．
16．给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域
只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选
择，则共有 种不同的染色方案.
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.(本小题满分10分)
（1）已知，且，求的最小值．
（2）已知是正数，且满足，求的最小值．
18.（本小题满分12分）
已知，，分别为内角，，的对边，.
（1）若为锐角三角形，求角；
（2）若，，求面积.
19.(本小题满分12分)
近年来，随着“雾霾”天出现的越来越频繁，很多人为了自己的健康，外出时选择戴口罩，在一项对人们雾霾天外出时是否戴口罩的调查中，共调查了人，其中女性人，男性人，并根据统计数据画出等高条形图如图所示：
（1）利用图形判断性别与雾霾天外出戴口罩是否有关系并说明理由；
（2）根据统计数据建立一个列联表；
（3）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩的关系.
附：
20.（本小题满分12分）
端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中蛋黄粽4个，豆沙粽2个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个.
(1)求选取的3个中至少有1个豆沙粽的概率；
(2)用X表示取到的豆沙粽的个数，求X的分布列和数学期望.
21.（本小题满分12分）
已知函数，直线，是图象的任意两条对称轴，且的最小值为．
（1）求的表达式；
（2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程，在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围．
22.（本小题满分12分）
已知函数．
(1)当时，求在点处的切线方程．
(2)若在时有两个零点，求实数a的取值范围．丰城县中2023-2024学年高三上学期11月期中考试
数 学 答 案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D A B C A B D C BC BD AD ACD
0 14. 0.2173 15. 16. 96
1．D详解:，，
..故选：D
2．A详解:根据全称命题的否定可知，“，”的否定是“，”.
故选：A
3．B详解：连接圆心与弦的中点，
则由题意可得，，，
在中，半径，
由弧长公式可得所求弧长.故选：B.
4．C详解:由，则，
解得，又，
所以，故函数在区间上的单调递增区间是.故选：C
5．A详解:因为，所以，所以为上的奇函数，其图象关于原点对称，故C、D不正确；当时，，所以，故B不正确;故选：A
6．B详解:不同的安排方式分成两类，再求出每一类中的安排方式即可作答．不同的安排方式有两类办法，有3人参加接种工作的安排方式有种，有2人参加接种工作的安排方式有种，由分类加法计数原理得不同的安排方式有：种．故选B．
7．D详解:的展开式中的系数为．故选：D
8．C详解：由题意得，
当时，恒成立，即函数在上为增函数．
当时，，令，得，
即函数在上为减函数，
令，得，即函数在上为增函数，
∴函数在上有一个最大值为．
令，要使方程 ()有四个不同的实数根，
则方程应有两个不等的实根，且一个根在内，一个根在内．
令，，
则只需，即，∴，故选C．
9．BC详解:对于A，函数的定义域为R，是增函数，A不是；对于B，函数的定义域为R，是奇函数，并且在上单调递减，B是；对于C，函数的定义域为，是奇函数，并且在上单调递减，C是；对于D，函数的定义域为R，是奇函数，递减区间是D不是..故选：BC
10．BD详解:对于选项A：根据样本的抽样比等于各层的抽样比，样本容量为，故选项A错误；对于选项B：样本数据落在区间内的有120，122，116，120共4个，所以样本数据落在区间内的频率为，故选项B正确；对于选项C：甲、乙两队的人数之比为，则甲队队员在所有队员中所占权重为，乙队队员在所有队员中所占权重为，则甲、乙两队全部队员体重的平均数为，故选项C错误；对于选项D：将该组数据从小到大排列为：1，2，2，2，3，3，3，4，5，6，由，则该组数据的分位数是第9个数，该数为5，故选项D正确.
11．AD详解:A：“恰有1件次品”和“恰有2件次品”不可能同时发生，为互斥事件；
B：“都是次品”的基本事件中包含了“至少有1件次品”的事件，不是互斥事件；
C：“至少有1件正品” 的基本事件为{“有1件正品和1件次品” ，“有2件正品” }，“至少有1件次品” 的基本事件为{“有1件正品和1件次品” ，“有2件次品” }，它们有共同的基本事件“有1件正品和1件次品” ，不是互斥事件；D：由C分析知：“至少有1件次品”和“都是正品”不可能同时发生，为互斥事件；故选：AD
12．ACD详解：由，得的图象关于对称，
由得，所以，
所以的周期为，故C正确；
所以，即的图象关于对称，故D正确；
，
所以在时图象关于原点对称，
因为在上单调递增，所以在上单调递减，
根据复合函数的单调性可得在上单调递减，在时图象关于原点对称，所以在时单调递减，
，，
再结合的图象关于对称，关于对称，周期为，可得的大致图象如下，
故A正确，
因为周期为4，所以与的图象单调性一致，由图可得单调递增，所以B错误.故选：ACD.
13．详解:，，依题意可知：曲线在处的切线的斜率为，
即.故答案为：
14．0.2173详解因为X～N(2，σ2)，所以正态曲线关于直线x＝2对称，所以P(X≥3)＝P(X≤1)，又P(X>1)＝0.7827，所以P(X≥3)＝P(X≤1)＝1－P(X>1)＝0.2173.
15．详解:由题得，
当时，恒成立，；当时，，
因为，所以（当且仅当时等号成立）
所以，所以.综上，的取值范围为.故答案为：
16．96详解：要完成给图中、、、、、六个区域进行染色，染色方法可分两类，第一类是仅用三种颜色染色，即同色，同色，同色，则从四种颜色中取三种颜色有种取法，三种颜色染三个区域有种染法，共种染法；
第二类是用四种颜色染色，即，，中有一组不同色，则有3种方案不同色或不同色或不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共有种染法．由分类加法原理得总的染色种数为种．故答案为：96．
17.解:（1），，
由基本不等式可得，
当且仅当，即当时，等号成立，所以，的最小值为；
（2）由基本不等式可得，
当且仅当，即当时，等号成立，所以，的最小值为.
18.解:（1）由题意，在中，因为
根据正弦定理，可得，
因为是锐角三角形，可得，所以，即，
又由三角形是锐角三角形，则，所以.
（2）由（1）可知，，由正弦定理得，，得， ，．由可得，或．
当时，，为直角三角形，所以=；
当时，，为等腰三角形，所以．
19.解：（1）在等高条形图中，两个深色条的高分别表示女性和男性中雾霾天外出戴口罩的频率，比较图中两个深色条的高可以发现，女性中雾霾天外出带口罩的频率明显高于男性中雾霾天外出带口罩的频率，因此可以认为性别与雾霾天外出带口罩有关系.
（2）列联表如下：
戴口罩 不戴口罩 合计
女性
男性
合计
（3）由（2）中数据可得：.
所以，在犯错误的概率不超过的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系..
20.解:（1）设选取的3个中至少有1个豆沙粽为事件A，
则事件A的概率；
（2）根据题意，，
又，，
，
故X的分布列如下所示：
X 0 1 2
P
则X的数学期望为：.
21.解：（1），
由的最小值为可得 最小正周期，，∴，∴．
（2）将的图象向右平移个单位后，得到的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象．∴ 令，∵，∴，，在区间上有且只有一个实数解，即函数与在区间上有且只有一个交点，由正弦函数的图像可知或，∴或．
22.解：（1）当时，，所以，所以．
又，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2），若在上有两个零点，
令，则在上有两个零点，
，
令，则，
令，则
所以在上单调递增，故．
当时，在上单调递增，，即，
则在上单调递增，所以，
所以有且仅有1个零点，不符合条件．
当时，，
所以，使得．
当时，单调递减，则，
当时，单调递增，
因为当时，，所以存在，使得．
即当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
又，当时，，
所以在上有两个零点．即在上有两个零点．
综上所述，实数a的取值范围是．
