安徽省六校教育研究会2023-2024学年高三上学期数学入学素质测试试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023高三上·安徽开学考）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．2
2．（2023高三上·安徽开学考）复数在复平面内对应的点为，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高三上·安徽开学考）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高三上·安徽开学考）已知向量，，且，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023高三上·安徽开学考）已知，，若动点满足，直线与轴、轴分别交于两点，则的面积的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
6．（2023高三上·安徽开学考）设为等比数列，则“对于任意的，”是“为递减数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2023高三上·安徽开学考）若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最大值为
8．（2023高三上·安徽开学考）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2023高三上·安徽开学考）为了解中学生参与课外阅读的情况，某校一兴趣小组持续跟踪调查了该校某班全体同学10周课外阅读的时长，经过整理得到男生、女生这10周课外阅读的平均时长（单位：h）的数据如下表：
女生 7.0 7.3 7.5 7.8 8.4 8.6 8.9 9.0 9.2 9.3
男生 6.1 6.5 6.9 7.5 7.7 8.0 8.1 8.2 8.6 9.4
以下判断中正确的是（ ）
A．该班男生每周课外阅读的平均时长的平均值为7.85
B．该班女生每周课外阅读的平均时长的80%分位数是9.0
C．该班女生每周课外阅读的平均时长波动性比男生小
D．由该班估计该校男生每周课外阅读的平均时长不低于8h的概率为0.5
10．（2023高三上·安徽开学考）某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为81ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为27ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度与排气时间（分钟）之间存在函数关系，其中（为常数）.（注：）若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，人就可以安全进入车库了.则（ ）
A．
B．
C．排气20分钟后，人可以安全进入车库
D．排气24分钟后，人可以安全进入车库
11．（2023高三上·安徽开学考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，.已知函数，下列说法中正确的是（ ）
A．是周期函数
B．的值域是
C．在上是增函数
D．若方程有3个不同实根，则
12．（2023高三上·安徽开学考）如图所示，有一个棱长为4的正四面体容器，是的中点，是上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与所成的角为
B．的周长最小值为
C．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为
D．如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2023高三上·安徽开学考）第六届进博会招募志愿者，某校高一年级有3位同学报名，高二年级有5位同学报名，现要从报名的学生中选取4人，要求高一年级和高二年级的同学都有，则不同的选取方法种数为 .（结果用数值表示）
14．（2023高三上·安徽开学考）18世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体的统一体积公式（其中，，，分别为的上底面面积、下底面面积、中截面面积和高），我们也称为“万能求积公式”.例如，已知球的半径为，可得该球的体积为；已知正四棱锥的底面边长为，高为，可得该正四棱锥的体积为.类似地，运用该公式求解下列问题：如图，已知球的表面积为，若用距离球心都为1cm的两个平行平面去截球，则夹在这两个平行平面之间的几何体的体积为 .
15．（2023高三上·安徽开学考）已知、为双曲线上关于原点对称的两点，点在第一象限且与点关于轴对称，，直线交双曲线的右支于点，若，则双曲线的离心率为 .
16．（2023高三上·安徽开学考）已知函数给出下列结论：
①的图象关于点对称；
②的图象关于直线对称；
③是周期函数；
④的最大值为.
其中正确结论有 .（请填写序号）
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2023高三上·安徽开学考）已知的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若的中点为且，求的最大值.
18．（2023高三上·安徽开学考）如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，为下底面圆周上异于，的点.
（1）点为线段的中点，证明直线面；
（2）若四棱锥的体积为，求直线与平面夹角的正弦值.
19．（2023高三上·安徽开学考）已知函数（是自然对数的底数）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有两个零点，求实数的取值范围.
20．（2023高三上·安徽开学考）为纪念中国共产党成立102周年，学校某班组织开展了“学党史，忆初心”党史知识竞赛活动，抽取四位同学，分成甲、乙两组，每组两人，进行对战答题.规则如下：每次每位同学给出6道题目，其中有一道是送分题（即每位同学至少答对1题）.若每次每组答对的题数之和为3的倍数，原答题组的人再继续答题；若答对的题数之和不是3的倍数，就由对方组接着答题.假设每位同学每次答题之间相互独立.求：
（1）若第一次由甲、乙组答题是等可能的，求第2次由乙组答题的概率；
（2）若第一次由甲组答题，记第次由甲组答题的概率为，求.
21．（2023高三上·安徽开学考）设正项等比数列的公比为，且，.令，记为数列的前项积，为数列的前项和.
（1）若，，求的通项公式；
（2）若为等差数列，且，求.
22．（2023高三上·安徽开学考）已知抛物线（为常数，）.点是抛物线上不同于原点的任意一点.
（1）若直线与只有一个公共点，求；
（2）设为的准线上一点，过作的两条切线，切点为，，且直线，与轴分别交于，两点.
①证明：.
②试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】子集与交集、并集运算的转换；一元二次不等式；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：在集合M中，
因为，
所以，
所以集合，在集合N中，
因为，
所以，
所以，
故答案为：B.
【分析】根据题意，解一元二次不等式，得到集合M；解分式不等式，得到集合N，最后再取交集.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为复数在复平面内对应的点为，
所以，
所以，
所以，
故答案为：A.
【分析】根据复平面所对应的点坐标得到复数z的表达式，再代入原式，结合复数的运算法则，化简得到值.
3．【答案】D
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：
因为，，
所以，
所以，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据题目所给两个条件，结合诱导公式进行转换，再联立方程组，求出余弦值和正弦值，再次利用诱导公式得到所求值.
4．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：
因为，，
所以，
所以，即
所以，
所以向量在向量方向上的投影向量为，
故答案为：C.
【分析】根据题目所给条件，对模进行平方，利用向量的数量积运算公式，求出向量夹角，从而得到投影向量.
5．【答案】D
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；平面内点到直线的距离公式；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：设动点M坐标为，
因为，，，
所以，
所以，
所以M坐标轨迹为圆，且圆心为，半径为2，
所以圆心到直线距离为：，
所以圆上一点到直线最小距离为，
所以三角形面积最小值为.
故答案为：D.
【分析】首先根据题意设出动点坐标，代入坐标得到动点的轨迹方程，利用点到直线距离，求得圆上一点到直线上的最小值，从而得到三角形的最小面积.
6．【答案】C
【知识点】等比数列的性质；判断（数列）的变化趋势
【解析】【解答】解：
证明充分性：
因为为等比数列，且对于任意的，，
所以，
当时，，
即或，
若且，所以为递减数列，成立
若且，所以，与矛盾，（舍），
当时，，
即或，
若且，所以为递减数列，成立
若且，所以，与矛盾，（舍），
所以充分性成立，
证明必要性：
因为为等比数列，且为递减数列，
所以，
所以必要性成立，
故答案为：C.
【分析】根据等比数列的性质，结合通项公式，得到公比q的取值范围，证出充分性；根据数列的单调性，证出必要性，从而得出答案选项.
7．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：
因为椭圆，
所以离心率为
因为双曲线，
所以离心率为，
所以，
，
结合基本不等式，当时，可知最大值为.
故答案为：C.
【分析】根据椭圆方程和双曲线方程的性质，求得离心率的表达式，进一步得到离心率的比值表达式，结合基本不等式，求出最大值，
8．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；复合函数的单调性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：
因为和是单调递增函数，
所以也是单调递增函数，
因为，
所以，
设，
所以，
化简后得到，，
所以是奇函数，且单调递增，
又因为，
所以，
所以，
即，
故答案为：A.
【分析】根据函数表达式以及定义域，可知函数的单调性，并对不等式进行化简，构造新的函数表达式，结合函数奇偶性与单调性，对不等式进行化简，从而得出解集.
9．【答案】C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A选项：男生平均数为：，
所以A选项错误，
B选项：因为10×80%=8，则该班女生每周阅读的平均时长的80%分位数是，所以B选项错误，
C选项：通过方差，比较男女生的平均时长波动性，
女生平均数为，，
男生平均数为，，
女生方差为，
男生方差为，
所以女生方差小于男生方差，女生的平均时长波动性比男生小，
所以C选项正确，
D选项：男生平时月度不低于8小时的次数为：5次，
所以概率为，
所以D选项正确，
故答案为：CD.
【分析】利用平均数的公式，求得男生每周课外阅读的平均值；结合极差，比较男生和女生阅读平均时长的波动性；根据古典概率的公式，求得概率值.
10．【答案】A,D
【知识点】指数函数的概念与表示；实际问题中导数的意义；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：
因为，
所以设，其中，
所以，
所以，
求导得：，
所以，
A选项：
因为，
所以，
所以A选项正确，B选项错误，
由题意可知，
若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，人就可以安全进入车库，
所以，
所以，
所以t最小值为24分钟，
所以C选项错误，D选项正确.
故答案为：AD.
【分析】分析题意，根据题目求导公式，设出原函数的表达式，再根据题目所给条件，联立方程组，求出未知数值，代入化简得到R值；再结合不等式求解，得到时间的最小值.
11．【答案】A,B
【知识点】函数的值域；函数的单调性及单调区间；函数的周期性；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解：
A选项：
因为函数，
所以化简得，
所以，
所以，
所以A选项正确，
B选项：
因为，
所以，
所以B选项正确，
C选项：
取特殊值说明，
，
所以，
所以C选项错误，
D选项：
若方程有3个不同实根，
画图如下：
从图像可知D选项错误，
故答案为：AB.
【分析】根据取整函数的定义，对函数进行化简，利用函数的性质，证出周期性；结合函数的图象，得到函数值域范围；利用取特殊值法，验证函数的单调性；根据函数表达式，得到函数图象，得到k值范围.
12．【答案】A,C,D
【知识点】球面距离及相关计算；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：A选项：由题意知，，，
又因为是的中点，
三线合一得，，
所以，
所以，
所以A选项正确，
B选项：的周长为，
因为E为动点，
所以将平面与平面展开到同一水平面上，
因为，棱长为4，
所以，
所以，
所以，
所以，
又因为，
所以
即最小值为，
所以的周长最小为为，
所以B选项错误，
C选项：要使小球的半径最大，即求正四面体的内接球半径，
画图如下：
取为中点，连接，作，
设内接圆圆心为O，作，
所以，
因为正四面体的棱长为4，
所以，，
利用相似三角形，
可知，
所以，
所以C选项正确，
D选项：
放入4个完全相同的小球，说明这4个小球之间相切，
四个小圆球心，可以构造出一个新的正四面体，且棱长为，
又由C选项可知，内接球半径和高之间的关系：，
所以，
所以
故答案为：ACD.
【分析】等腰三角形的中线，三线合一得到线线垂直，进一步得到线面垂直，最终得到线线垂直；将两个平面展开到同一水平面，利用两点之间直线最短，求得三角形周长最小值；画图分析，利用内接球的性质，结合相似三角形，求得半径大小；利用正四面体高和半径之间的倍数关系，求得小圆半径r.
13．【答案】65
【知识点】排列、组合的实际应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：从8位同学中选4人，方法有种，
从高二同学中选4人，方法有种，
所以高一高二同学都有，选取方法有种，
故答案为：65.
【分析】排列组合，求出所有选取方法，逆向思维，减去选中4个人全部都是高二学生的方法种数，得到高一年级和高二年级的同学都有的方法种数.
14．【答案】
【知识点】球的体积和表面积；球面上的勾股定理
【解析】【解答】解：
因为球的表面积为，
所以，
所以，
设球的半径为，
根据万能求体积公式可知，
几何体的体积为，
所以
故答案为：.
【分析】根据球的表面积公式，求得球的半径，结合题意，根据题目条件所给的万能求积公式，代入半径，可知几何体的体积.
15．【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算；直线的斜率；用斜率判定两直线垂直；双曲线的应用
【解析】【解答】解：因为点在第一象限且与点关于轴对称，
设得坐标为，坐标为，坐标为，
点为双曲线右支上一点，设坐标为，
因为，
所以点坐标为，
又因为，
所以，
又因为，
所以，
联立方程组，
化简得到，
又因为，，
所以，
又因为
所以离心率，
故答案为：.
【分析】根据题意设出各点坐标，由向量之间的关系式，得到点E坐标，代入点坐标联立方程组，求得两条直线斜率之积，从而进一步得到离心率的值.
16．【答案】①③④
【知识点】奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数最大（小）值；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：
因为，，
所以，
所以的图象关于点对称，
所以①正确，
因为，且，
所以，
所以②不正确，
因为，
所以是周期函数，
所以③正确，
利用求导，找出的最值，
，
当时，，
当时，，
所以当时，有最大值为.
故答案为：.
【分析】根据对称性的定义，代入化简，求得函数关于点对称；通过例举，代入求值，说明函数不关于直线对称；根据函数周期性的定义，求得周期函数；利用求导，根据单调性，求得函数的最大值.
17．【答案】（1）因为，
由正弦定理可得，
即，
所以，
所以，因为，所以，
所以，又，所以；
（2）在△ABD中，设，由正弦定理，
所以，
所以，
因为△ABD中，所以，
当，即时，取最大值1，所以的最大值为.
【知识点】三角函数的化简求值；正弦定理的应用；辅助角公式
【解析】【分析】(1)根据题目条件，结合正弦定理，将所有边转化为三角值，再由诱导公式，化简求得∠B值.
(2)首先设，再利用正弦定理，将各边转化为三角表达式，通过辅助角公式，求得最值.
18．【答案】（1）取AB中点，连接，则有，
如图，在等腰梯形中，，所以，
则四边形为平行四边形，所以，
又平面平面，
所以平面.
（2）过点作于，
在等腰梯形中，，所以该梯形的高，
所以等腰梯形的面积为，
所以四棱雉的体积，解得，
所以点与重合，
以为原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系，
则，
设，平面的法向量为，
所以，取，则.
设直线AB与平面夹角为，
则.
故直线AB与平面夹角的正弦值为
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面的法向量；直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)首先取线段AB中点H，利用平行四边的性质，得到直线平行与长度关系，得到平行四边形，从而得到线线平行，进一步得到线面平行.
(2)根据题意，建立空间直角坐标系，求出各点坐标，得到向量，从而求出平面的法向量，利用法向量求出线面夹角，得到正弦值.
19．【答案】（1）求导
①当时，在上递减；
②当时，
当时，在上递减，
当时，，此时函数在上递增.
（2）等价于有两个零点，
令，则在时恒成立，所以在时单调递增，故，
所以有两个零点
有两个零点
有两个不同的实数解
与有两个交点，
得得，所以在单调递增，在上单调递减。，当，所以.
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)首先对函数表达式进行求导，利用导数的性质，根据导数的正负性，求出函数的单调区间.
(2)首先代入的表达式，利用整体换元思想，得到新的表达式，再利用导数，求出单调性，从而得到极大值，最终得到a的取值范围.
20．【答案】（1）设第1次由甲组答题记作事件，则第1次由乙组答题记作事件，第2次由乙组答题记作事件，
答对的题数之和为3的倍数分别为，
其概率为，
则答对的题数之和不是3的倍数的概率为，
则
（2）第次由甲组答题，是第次由甲组答题，第次继续由甲组答题的事件与第次由乙组答题，第次由甲组答题的事件和，它们互斥，又各次答题相互独立，
所以第次由甲组答题，第次继续由甲组答题的概率为，
第次由乙组答题，第次由甲组答题的概率为，
因此
则
因为第一次由甲组开始，则，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，即
【知识点】等比数列的通项公式；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】(1)根据题目所给条件，结合古典概率公式，求出事件概率，再利用互斥事件的性质，得到答对的题数之和不是3的倍数的概率，再结合对立事件概率公式求解.
(2)首先根据题意，得到一个等比数列表达式，化简求得等比数列的通项公式.
21．【答案】（1），解得，
，
即，解得或，
又或(舍去)
（2）为等差数列，，
即，解得或，
或或
①当时，，易证是等差数列，，
又，得，解得
②当时，，易证是等差数列，，
又，得，解得，舍去
综上，.
【知识点】对数的性质与运算法则；等比数列的通项公式；等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【分析】（1）首先根据题目所给条件，求得值，再结合等比数列公式，求得前三项积，再根据数列的前两项和，化简，求出对数值，得到与的关系式，最终得到的通项公式.
(2)数列是等差数列，化简求得的两个通项公式，进一步做分类讨论，结合前n项和，以及，求出.
22．【答案】（1）将代入，
化简得
方程的判别式，
由于点在抛物线上，且，所以.
（2）由(1)知抛物线，
①证明：设，切线的方程为，
与抛物线联立，可得，
由，即，
可得，
所以，
即；
②设直线PA的斜率为，倾斜角为，
直线PB的斜率为，倾斜角为，
设，
直线AB的斜率为，倾斜角为，
则，
由有唯一解，则解为，
可得，同理可得，
所以，
因为，
所以，
则，即，
又，
所以，
所以，即有
【知识点】直线的斜率；用斜率判定两直线垂直；抛物线的简单性质；抛物线的应用；平面直角坐标系与曲线方程
【解析】【分析】(1)将直线表达式，代入抛物线方程，化简得到一元二次方程，利用根的判别式，求得值.
(2)①设出点坐标，得到切线方程，代入得到一元二次方程，结合韦达定理，得到直线方程斜率之积为-1，从而得到线线垂直.
②设出点坐标，根据斜率公式，代入点坐标，化简求得斜率与坐标的关系式，再利用相似三角形的性质，得到边的比值关系，从而求出最终的值.
1 / 1安徽省六校教育研究会2023-2024学年高三上学期数学入学素质测试试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023高三上·安徽开学考）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．2
【答案】B
【知识点】子集与交集、并集运算的转换；一元二次不等式；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：在集合M中，
因为，
所以，
所以集合，在集合N中，
因为，
所以，
所以，
故答案为：B.
【分析】根据题意，解一元二次不等式，得到集合M；解分式不等式，得到集合N，最后再取交集.
2．（2023高三上·安徽开学考）复数在复平面内对应的点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为复数在复平面内对应的点为，
所以，
所以，
所以，
故答案为：A.
【分析】根据复平面所对应的点坐标得到复数z的表达式，再代入原式，结合复数的运算法则，化简得到值.
3．（2023高三上·安徽开学考）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：
因为，，
所以，
所以，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据题目所给两个条件，结合诱导公式进行转换，再联立方程组，求出余弦值和正弦值，再次利用诱导公式得到所求值.
4．（2023高三上·安徽开学考）已知向量，，且，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：
因为，，
所以，
所以，即
所以，
所以向量在向量方向上的投影向量为，
故答案为：C.
【分析】根据题目所给条件，对模进行平方，利用向量的数量积运算公式，求出向量夹角，从而得到投影向量.
5．（2023高三上·安徽开学考）已知，，若动点满足，直线与轴、轴分别交于两点，则的面积的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；平面内点到直线的距离公式；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：设动点M坐标为，
因为，，，
所以，
所以，
所以M坐标轨迹为圆，且圆心为，半径为2，
所以圆心到直线距离为：，
所以圆上一点到直线最小距离为，
所以三角形面积最小值为.
故答案为：D.
【分析】首先根据题意设出动点坐标，代入坐标得到动点的轨迹方程，利用点到直线距离，求得圆上一点到直线上的最小值，从而得到三角形的最小面积.
6．（2023高三上·安徽开学考）设为等比数列，则“对于任意的，”是“为递减数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】等比数列的性质；判断（数列）的变化趋势
【解析】【解答】解：
证明充分性：
因为为等比数列，且对于任意的，，
所以，
当时，，
即或，
若且，所以为递减数列，成立
若且，所以，与矛盾，（舍），
当时，，
即或，
若且，所以为递减数列，成立
若且，所以，与矛盾，（舍），
所以充分性成立，
证明必要性：
因为为等比数列，且为递减数列，
所以，
所以必要性成立，
故答案为：C.
【分析】根据等比数列的性质，结合通项公式，得到公比q的取值范围，证出充分性；根据数列的单调性，证出必要性，从而得出答案选项.
7．（2023高三上·安徽开学考）若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：
因为椭圆，
所以离心率为
因为双曲线，
所以离心率为，
所以，
，
结合基本不等式，当时，可知最大值为.
故答案为：C.
【分析】根据椭圆方程和双曲线方程的性质，求得离心率的表达式，进一步得到离心率的比值表达式，结合基本不等式，求出最大值，
8．（2023高三上·安徽开学考）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；复合函数的单调性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：
因为和是单调递增函数，
所以也是单调递增函数，
因为，
所以，
设，
所以，
化简后得到，，
所以是奇函数，且单调递增，
又因为，
所以，
所以，
即，
故答案为：A.
【分析】根据函数表达式以及定义域，可知函数的单调性，并对不等式进行化简，构造新的函数表达式，结合函数奇偶性与单调性，对不等式进行化简，从而得出解集.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2023高三上·安徽开学考）为了解中学生参与课外阅读的情况，某校一兴趣小组持续跟踪调查了该校某班全体同学10周课外阅读的时长，经过整理得到男生、女生这10周课外阅读的平均时长（单位：h）的数据如下表：
女生 7.0 7.3 7.5 7.8 8.4 8.6 8.9 9.0 9.2 9.3
男生 6.1 6.5 6.9 7.5 7.7 8.0 8.1 8.2 8.6 9.4
以下判断中正确的是（ ）
A．该班男生每周课外阅读的平均时长的平均值为7.85
B．该班女生每周课外阅读的平均时长的80%分位数是9.0
C．该班女生每周课外阅读的平均时长波动性比男生小
D．由该班估计该校男生每周课外阅读的平均时长不低于8h的概率为0.5
【答案】C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A选项：男生平均数为：，
所以A选项错误，
B选项：因为10×80%=8，则该班女生每周阅读的平均时长的80%分位数是，所以B选项错误，
C选项：通过方差，比较男女生的平均时长波动性，
女生平均数为，，
男生平均数为，，
女生方差为，
男生方差为，
所以女生方差小于男生方差，女生的平均时长波动性比男生小，
所以C选项正确，
D选项：男生平时月度不低于8小时的次数为：5次，
所以概率为，
所以D选项正确，
故答案为：CD.
【分析】利用平均数的公式，求得男生每周课外阅读的平均值；结合极差，比较男生和女生阅读平均时长的波动性；根据古典概率的公式，求得概率值.
10．（2023高三上·安徽开学考）某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为81ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为27ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度与排气时间（分钟）之间存在函数关系，其中（为常数）.（注：）若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，人就可以安全进入车库了.则（ ）
A．
B．
C．排气20分钟后，人可以安全进入车库
D．排气24分钟后，人可以安全进入车库
【答案】A,D
【知识点】指数函数的概念与表示；实际问题中导数的意义；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：
因为，
所以设，其中，
所以，
所以，
求导得：，
所以，
A选项：
因为，
所以，
所以A选项正确，B选项错误，
由题意可知，
若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，人就可以安全进入车库，
所以，
所以，
所以t最小值为24分钟，
所以C选项错误，D选项正确.
故答案为：AD.
【分析】分析题意，根据题目求导公式，设出原函数的表达式，再根据题目所给条件，联立方程组，求出未知数值，代入化简得到R值；再结合不等式求解，得到时间的最小值.
11．（2023高三上·安徽开学考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，.已知函数，下列说法中正确的是（ ）
A．是周期函数
B．的值域是
C．在上是增函数
D．若方程有3个不同实根，则
【答案】A,B
【知识点】函数的值域；函数的单调性及单调区间；函数的周期性；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解：
A选项：
因为函数，
所以化简得，
所以，
所以，
所以A选项正确，
B选项：
因为，
所以，
所以B选项正确，
C选项：
取特殊值说明，
，
所以，
所以C选项错误，
D选项：
若方程有3个不同实根，
画图如下：
从图像可知D选项错误，
故答案为：AB.
【分析】根据取整函数的定义，对函数进行化简，利用函数的性质，证出周期性；结合函数的图象，得到函数值域范围；利用取特殊值法，验证函数的单调性；根据函数表达式，得到函数图象，得到k值范围.
12．（2023高三上·安徽开学考）如图所示，有一个棱长为4的正四面体容器，是的中点，是上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与所成的角为
B．的周长最小值为
C．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为
D．如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为
【答案】A,C,D
【知识点】球面距离及相关计算；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：A选项：由题意知，，，
又因为是的中点，
三线合一得，，
所以，
所以，
所以A选项正确，
B选项：的周长为，
因为E为动点，
所以将平面与平面展开到同一水平面上，
因为，棱长为4，
所以，
所以，
所以，
所以，
又因为，
所以
即最小值为，
所以的周长最小为为，
所以B选项错误，
C选项：要使小球的半径最大，即求正四面体的内接球半径，
画图如下：
取为中点，连接，作，
设内接圆圆心为O，作，
所以，
因为正四面体的棱长为4，
所以，，
利用相似三角形，
可知，
所以，
所以C选项正确，
D选项：
放入4个完全相同的小球，说明这4个小球之间相切，
四个小圆球心，可以构造出一个新的正四面体，且棱长为，
又由C选项可知，内接球半径和高之间的关系：，
所以，
所以
故答案为：ACD.
【分析】等腰三角形的中线，三线合一得到线线垂直，进一步得到线面垂直，最终得到线线垂直；将两个平面展开到同一水平面，利用两点之间直线最短，求得三角形周长最小值；画图分析，利用内接球的性质，结合相似三角形，求得半径大小；利用正四面体高和半径之间的倍数关系，求得小圆半径r.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2023高三上·安徽开学考）第六届进博会招募志愿者，某校高一年级有3位同学报名，高二年级有5位同学报名，现要从报名的学生中选取4人，要求高一年级和高二年级的同学都有，则不同的选取方法种数为 .（结果用数值表示）
【答案】65
【知识点】排列、组合的实际应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：从8位同学中选4人，方法有种，
从高二同学中选4人，方法有种，
所以高一高二同学都有，选取方法有种，
故答案为：65.
【分析】排列组合，求出所有选取方法，逆向思维，减去选中4个人全部都是高二学生的方法种数，得到高一年级和高二年级的同学都有的方法种数.
14．（2023高三上·安徽开学考）18世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体的统一体积公式（其中，，，分别为的上底面面积、下底面面积、中截面面积和高），我们也称为“万能求积公式”.例如，已知球的半径为，可得该球的体积为；已知正四棱锥的底面边长为，高为，可得该正四棱锥的体积为.类似地，运用该公式求解下列问题：如图，已知球的表面积为，若用距离球心都为1cm的两个平行平面去截球，则夹在这两个平行平面之间的几何体的体积为 .
【答案】
【知识点】球的体积和表面积；球面上的勾股定理
【解析】【解答】解：
因为球的表面积为，
所以，
所以，
设球的半径为，
根据万能求体积公式可知，
几何体的体积为，
所以
故答案为：.
【分析】根据球的表面积公式，求得球的半径，结合题意，根据题目条件所给的万能求积公式，代入半径，可知几何体的体积.
15．（2023高三上·安徽开学考）已知、为双曲线上关于原点对称的两点，点在第一象限且与点关于轴对称，，直线交双曲线的右支于点，若，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算；直线的斜率；用斜率判定两直线垂直；双曲线的应用
【解析】【解答】解：因为点在第一象限且与点关于轴对称，
设得坐标为，坐标为，坐标为，
点为双曲线右支上一点，设坐标为，
因为，
所以点坐标为，
又因为，
所以，
又因为，
所以，
联立方程组，
化简得到，
又因为，，
所以，
又因为
所以离心率，
故答案为：.
【分析】根据题意设出各点坐标，由向量之间的关系式，得到点E坐标，代入点坐标联立方程组，求得两条直线斜率之积，从而进一步得到离心率的值.
16．（2023高三上·安徽开学考）已知函数给出下列结论：
①的图象关于点对称；
②的图象关于直线对称；
③是周期函数；
④的最大值为.
其中正确结论有 .（请填写序号）
【答案】①③④
【知识点】奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数最大（小）值；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：
因为，，
所以，
所以的图象关于点对称，
所以①正确，
因为，且，
所以，
所以②不正确，
因为，
所以是周期函数，
所以③正确，
利用求导，找出的最值，
，
当时，，
当时，，
所以当时，有最大值为.
故答案为：.
【分析】根据对称性的定义，代入化简，求得函数关于点对称；通过例举，代入求值，说明函数不关于直线对称；根据函数周期性的定义，求得周期函数；利用求导，根据单调性，求得函数的最大值.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2023高三上·安徽开学考）已知的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若的中点为且，求的最大值.
【答案】（1）因为，
由正弦定理可得，
即，
所以，
所以，因为，所以，
所以，又，所以；
（2）在△ABD中，设，由正弦定理，
所以，
所以，
因为△ABD中，所以，
当，即时，取最大值1，所以的最大值为.
【知识点】三角函数的化简求值；正弦定理的应用；辅助角公式
【解析】【分析】(1)根据题目条件，结合正弦定理，将所有边转化为三角值，再由诱导公式，化简求得∠B值.
(2)首先设，再利用正弦定理，将各边转化为三角表达式，通过辅助角公式，求得最值.
18．（2023高三上·安徽开学考）如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，为下底面圆周上异于，的点.
（1）点为线段的中点，证明直线面；
（2）若四棱锥的体积为，求直线与平面夹角的正弦值.
【答案】（1）取AB中点，连接，则有，
如图，在等腰梯形中，，所以，
则四边形为平行四边形，所以，
又平面平面，
所以平面.
（2）过点作于，
在等腰梯形中，，所以该梯形的高，
所以等腰梯形的面积为，
所以四棱雉的体积，解得，
所以点与重合，
以为原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系，
则，
设，平面的法向量为，
所以，取，则.
设直线AB与平面夹角为，
则.
故直线AB与平面夹角的正弦值为
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面的法向量；直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)首先取线段AB中点H，利用平行四边的性质，得到直线平行与长度关系，得到平行四边形，从而得到线线平行，进一步得到线面平行.
(2)根据题意，建立空间直角坐标系，求出各点坐标，得到向量，从而求出平面的法向量，利用法向量求出线面夹角，得到正弦值.
19．（2023高三上·安徽开学考）已知函数（是自然对数的底数）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）求导
①当时，在上递减；
②当时，
当时，在上递减，
当时，，此时函数在上递增.
（2）等价于有两个零点，
令，则在时恒成立，所以在时单调递增，故，
所以有两个零点
有两个零点
有两个不同的实数解
与有两个交点，
得得，所以在单调递增，在上单调递减。，当，所以.
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)首先对函数表达式进行求导，利用导数的性质，根据导数的正负性，求出函数的单调区间.
(2)首先代入的表达式，利用整体换元思想，得到新的表达式，再利用导数，求出单调性，从而得到极大值，最终得到a的取值范围.
20．（2023高三上·安徽开学考）为纪念中国共产党成立102周年，学校某班组织开展了“学党史，忆初心”党史知识竞赛活动，抽取四位同学，分成甲、乙两组，每组两人，进行对战答题.规则如下：每次每位同学给出6道题目，其中有一道是送分题（即每位同学至少答对1题）.若每次每组答对的题数之和为3的倍数，原答题组的人再继续答题；若答对的题数之和不是3的倍数，就由对方组接着答题.假设每位同学每次答题之间相互独立.求：
（1）若第一次由甲、乙组答题是等可能的，求第2次由乙组答题的概率；
（2）若第一次由甲组答题，记第次由甲组答题的概率为，求.
【答案】（1）设第1次由甲组答题记作事件，则第1次由乙组答题记作事件，第2次由乙组答题记作事件，
答对的题数之和为3的倍数分别为，
其概率为，
则答对的题数之和不是3的倍数的概率为，
则
（2）第次由甲组答题，是第次由甲组答题，第次继续由甲组答题的事件与第次由乙组答题，第次由甲组答题的事件和，它们互斥，又各次答题相互独立，
所以第次由甲组答题，第次继续由甲组答题的概率为，
第次由乙组答题，第次由甲组答题的概率为，
因此
则
因为第一次由甲组开始，则，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，即
【知识点】等比数列的通项公式；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】(1)根据题目所给条件，结合古典概率公式，求出事件概率，再利用互斥事件的性质，得到答对的题数之和不是3的倍数的概率，再结合对立事件概率公式求解.
(2)首先根据题意，得到一个等比数列表达式，化简求得等比数列的通项公式.
21．（2023高三上·安徽开学考）设正项等比数列的公比为，且，.令，记为数列的前项积，为数列的前项和.
（1）若，，求的通项公式；
（2）若为等差数列，且，求.
【答案】（1），解得，
，
即，解得或，
又或(舍去)
（2）为等差数列，，
即，解得或，
或或
①当时，，易证是等差数列，，
又，得，解得
②当时，，易证是等差数列，，
又，得，解得，舍去
综上，.
【知识点】对数的性质与运算法则；等比数列的通项公式；等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【分析】（1）首先根据题目所给条件，求得值，再结合等比数列公式，求得前三项积，再根据数列的前两项和，化简，求出对数值，得到与的关系式，最终得到的通项公式.
(2)数列是等差数列，化简求得的两个通项公式，进一步做分类讨论，结合前n项和，以及，求出.
22．（2023高三上·安徽开学考）已知抛物线（为常数，）.点是抛物线上不同于原点的任意一点.
（1）若直线与只有一个公共点，求；
（2）设为的准线上一点，过作的两条切线，切点为，，且直线，与轴分别交于，两点.
①证明：.
②试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）将代入，
化简得
方程的判别式，
由于点在抛物线上，且，所以.
（2）由(1)知抛物线，
①证明：设，切线的方程为，
与抛物线联立，可得，
由，即，
可得，
所以，
即；
②设直线PA的斜率为，倾斜角为，
直线PB的斜率为，倾斜角为，
设，
直线AB的斜率为，倾斜角为，
则，
由有唯一解，则解为，
可得，同理可得，
所以，
因为，
所以，
则，即，
又，
所以，
所以，即有
【知识点】直线的斜率；用斜率判定两直线垂直；抛物线的简单性质；抛物线的应用；平面直角坐标系与曲线方程
【解析】【分析】(1)将直线表达式，代入抛物线方程，化简得到一元二次方程，利用根的判别式，求得值.
(2)①设出点坐标，得到切线方程，代入得到一元二次方程，结合韦达定理，得到直线方程斜率之积为-1，从而得到线线垂直.
②设出点坐标，根据斜率公式，代入点坐标，化简求得斜率与坐标的关系式，再利用相似三角形的性质，得到边的比值关系，从而求出最终的值.
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