山东省淄博市临淄中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

临淄中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题 2023.11
一：单选题(每题5分，共40分)
1．经过两点的直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2.圆关于点对称的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知直线经过点，且与圆相切，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
4.如图，平行六面体中，为的中点.若，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知直线与直线互相平行，则实数的值为( )
A． B．2或 C．2 D．
6．在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有4，5，6，7四个数字，这些小球除数字外都相同．小红、小明两人玩“猜数字”游戏，小红先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由小明猜这个小球上的数字，记为n．如果m，n满足，那么就称小红、小明两人“心心相印”，则两人“心心相印”的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点不重合），则面积的最大值是（ ）
A． B．5 C． D．
二、多选题(共20分)（每题5分，选不全得2分，多选得0分）
9．向量，则下列说法正确的是（ ）
A．，使得 B．若，则
C．若，则
D．当时，在方向上的投影向量为
10．直线与圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点 B．圆的半径为2
C．存在实数，使得直线与圆相切
D．直线被圆截得的弦长最短为
11．已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的最大值为 D．
12．正方体棱长为2，P为空间中一点．下列论述正确的是（ ）
A．若，则的面积为定值
B．若，三棱锥的体积为定值
C.若 则面
D．若，有且仅有一个点P，使得平面
三、填空题(每题5分，共20分)
13.已知点M(a,b)在直线3x+4y=15上，则的最小值为
14．经过点，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程 为 ．
15．设与相交于两点，则 ．
16．若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则 ．
四、解答题(共70分)
17已知直线经过点，且与直线垂直.
(1)求直线的方程；
(2)若直线与直线平行且点到直线的距离为，求直线的方程；
18.某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关.已知第一关的通过率为0.7，第二关 第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.3，四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加.假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲 乙两位选手参加本次活动.
(1)求甲最后没有得奖的概率；
(2)已知甲和乙都通过了前两关，求甲和乙最后所得奖金总和为900元的概率.
19.已知圆经过，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)若从点发出的光线经过直线反射后恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的方程.
20. 如图，正三角形与菱形所在的平面互相垂直，，，是的中点．
(1)求点到平面的距离；
(2)已知点在线段上，且直线与平面所成的角为，求出的值．
21.如图在直三棱柱中，侧面为正方形，分别为和的中点，为棱上的点，
(1)证明：；
(2)当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最大．
22．已知点，为坐标原点，圆：.
(1)若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
(2)已知点在圆上运动，线段的中点为，设动点的轨迹为曲线；若直线：上存在点，过点作曲线的两条切线，，切点为，且，求实数的取值范围.
高二数学期中试题参考答案：
1．A 2.D 3．A 4.A 5．D 6．D 7．A 8．D
9．BCD 10．ABD 11．ABD 12．ABC
13. 3
14．或(y=
15．
16．
17已知直线经过点，且与直线垂直.
(1)求直线的方程；
(2)若直线与直线平行且点到直线的距离为，求直线的方程；
1）直线与直线垂直，且直线斜率为，
则直线的斜率为，又直线经过点，
故直线的方程为，化简得；
（2）由直线与直线平行，则可设直线的方程为，
又点到直线的距离为，
则，解得，或，
故直线的方程为或；
18.某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关.已知第一关的通过率为0.7，第二关 第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.3，四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加.假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲 乙两位选手参加本次活动.
(1)求甲最后没有得奖的概率；
(2)已知甲和乙都通过了前两关，求甲和乙最后所得奖金总和为900元的概率.
（1）记第一关未通过为事件，第一关通过第二关未通过为事件，前两关通过第三关未通过为事件，甲最后没有得奖为事件，
则，，，
故.
（2）记通过了前两关时最后获得二等奖为事件，通过了前两关时最后获得一等奖为事件，
则，.
因为甲和乙最后所得奖金总和为900元，所以甲和乙一人得一等奖一人得二等奖，
故甲和乙最后所得奖金总和为900元的概率为.
19.已知圆经过，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)若从点发出的光线经过直线反射后恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的方程.
（1）由题知中点为，，
所以的垂直平分线方程为，即，
联立，解得，即圆心为，
所以圆的半径为，
故圆的方程为.
（2）设关于的对称点为，
则直线与垂直，且的中点在直线上，
则，解得，
由题意知反射光线过圆心，故，
即.

20. 如图，正三角形与菱形所在的平面互相垂直，，，是的中点．
(1)求点到平面的距离；
(2)已知点在线段上，且直线与平面所成的角为，求出的值．
1）解：连接，∵，是的中点，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，又平面，
∴，菱形中，，所以是正三角形，
∴．∴、、两两垂直．
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设是平面的一个法向量，
则，令，得，
设点到平面的距离为，则，
所以，点到平面的距离为.
（2）解：由题意可知，平面的一个法向量为，
，，
设，，
则，
∵直线与平面所成的角为，
，
整理可得，解得，
所以，．
21.如图在直三棱柱中，侧面为正方形，分别为和的中点，为棱上的点，
(1)证明：；
(2)当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最大．
【详解】（1）在直三棱柱中，平面
侧面为正方形，则
又且，则，
又且平面，则平面则
如图，以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正半轴建立空直角坐标系
则
则
所以，即
（2）设平面的法向量
由（1）知
则即
令，得
设与平面所成角为
，又
所以当时，取最小值，即取得最大值．
所以当时，直线与平面所成角的正弦值最大．
22．已知点，为坐标原点，圆：.
(1)若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
(2)已知点在圆上运动，线段的中点为，设动点的轨迹为曲线；若直线：上存在点，过点作曲线的两条切线，，切点为，且，求实数的取值范围.
（1）解：由题意，圆：，可得圆心，半径，
因为直线被圆截得的弦长为，则圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为，满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则，解得，即，
综上可得，所求直线的方程为或.
（2）解：设点，
因为点，线段的中点为，可得，解得，
又因为在圆上，可得，即，
所以点的轨迹即曲线的方程为圆：，
由，可得，
在直角中，，所以到直线距离，
解得，即实数的取值范围为.