天津市五区重点校联考2023-2024学年高三上学期期中考试
数学
一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则=
A． B．
C． D．
2．已知在中，角，，的对边分别为，，，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知4a = 5，log8 9 = b，则22a-3b =
A． B．5 C． D．25
4．已知x = 1.20.9，y = 1.10.8，，则
A． B．
C． D．
5．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，
形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万
事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图
象来研究函数的性质，已知函数的部分
图象如图所示.则的解析式可能是
A． B．
C． D．
6．庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体的形状（如图②），若四边形是矩形，，且AB = 2EF = 2BC = 8， EA=ED=FB=FC=3，则三棱锥F－ADE的体积为
A．
B．3
D．
7．函数的部分图象如图所示，则
A．的单调递增区间是
B．图象的一条对称轴方程是
C．图象的对称中心是，
D．函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象
8．已知在所在平面内，，、分别为线段、的中点，直线与相交于点，若，则
A．的最小值为
B．的最小值为
C．的最大值为
D．的最大值为
9．已知函数，若关于x的方程恰有6个不同的实数根，则m的取值范围是
A． B．(
C． D．
二、填空题（本题6小题，每题5分，共30分）
10．复数在复平面内对应的点为，则的共轭复数的模为________
11．在中，内角所对的边分别为.已知，，，则的面积为________.
12．设向量、满足，且，若为在方向上的投影向量，并满足，则________
13．在等比数列中，，是函数的两个不同极值点，则________．
14．设，，当________时,取最大值，最大值为________.
15．折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2的扇形，其中，，，点在上（包含端点），则的取值范围是________．
三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分14分）
已知函数，，图象的两条相邻对称轴之间的距离为．
（1）求的单调递减区间；
（2）若，求的值．
17．（本小题满分15分）
在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
（1）求角B的大小；
（2）设，，
（i）求，
（ii）求的值.
18．（本小题满分15分）
在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.
（1）求证：平面；
（2）求直线PB与平面所成角的正弦值；
（3）求点到PD的距离.
19．（本小题满分15分）
已知数列的前n项和，数列满足：，．
（1）证明：是等比数列；
（2）设数列的前项和为，且 ,求
（3）设数列满足：．证明：．
20．（本小题满分16分）
已知函数，..
（1）若曲线在点处的切线的斜率为3，求的值；
（2）当，函数有两个不同零点，求m的取值范围；
（3）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.天津市五区重点校联考2023-2024学年高三上学期期中考试
数学参考答案
一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分.）
1-5 C B A D C 6-9 A B D A
二、填空题（本题共6小题，共30分，每空5分，14题前空3分，后空2分）
10． 11． 12．
13． 14． ， 15．
三、解答题（本题共5小题，共75分）
16．（本小题满分14分）
（1）解：由
， …………3分
因为图象的两条相邻对称轴之间的距离为，可得，即，
所以，可得， …………5分
令，，
解得，，
即的单调递增区间为，. …………8分
（2）解：由，可得，
因为，可得，所以，
…………11分
所以.
…………14分
（注：丢掉扣1分）
17．（本小题满分15分）
解：（1）根据正弦定理得
，
…………1分
即，
因为，所以，
，且为锐角三角形， …………4分
所以； …………5分
（2）（i）在中，由余弦定理及，，，
有，故. …………8分
（ii）由，可得. …………9分
∵，故， …………10分
则，
…………12分
， …………14分
∴. …………15分
18．（本小题满分15分）
解：（1）方法一：
如图，取中点，连接
因为为中点，，，，所以，
所以四边形为平行四边形，所以， …………2分
又平面，平面，所以平面， …………3分
因为为中点，为中点，则，
又平面，平面，所以平面， …………4分
因为平面，所以平面平面，
又平面，故平面． …………5分
方法二
根据题意，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
由条件可得，，则 …………2分
（建系和对一个点的坐标就给1分，全对给2分，没有出现点的坐标扣1分）
由题意得，平面PAD的一个法向量 …………3分
，所以， …………4分
又因为平面,所以平面． …………5分
（2）， …………6分
设平面的法向量为，
则，解得，
取，则，所以平面的一个法向量为，
…………8分
设直线PB与平面所成角为，
则. …………10分
所以直线PB与平面所成角的正弦值为. …………11分
（设角和作答具备其一即可，均不写扣一分）
（3）由（2）可知，， …………12分
设点到PD的距离为
.
所以点到PD的距离为 …………15分
19．（本小题满分15分）
解：（1）由，得，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列， …………3分
即． …………4分
（2）当时，有，
当时，， …………5分
可得时，，可得， …………6 分
= …………7分
…………9分
（3）当n为奇数时，， …………10分
， …………11分
当n为偶数时，， …………12分
，
设，
，
两式相减得
得， …………14分
所以，
所以． …………15分
20．（本小题满分16分）
解：（1）因为
所以,即 …………3分
（2），即
…………4分
当时，所以在单调递增；
当时，，所以在单调递减；…6分
, ，； …………8分
所以,即 …………9分
（3）因为(x)对恒成立，
即对恒成立. …………10分
设，其中，
所以， …………11分
， …………12分
设，其中，则，
所以，函数在上单调递增.
因为，，
所以，存在，使得， …………13分
当时，，函数单调递减，当时，，数函 单调递增，所以.
因为，则，
由（2）得，当时， 在上为增函数，
因为，则，则，
由可得，所以，
所以，可得， …………15分
所以，所以.
所以实数a的取值范围为. …………16分
（注：其他方法平行给分）
