四川省内江市部分中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

内江市部分中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题
试卷满分：150分；考试时间：120分钟；
注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题，共60分）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．下列说法中正确的是（ ）
A．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
B．球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段
C．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
D．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
2．利用斜二测画法作边长为2的正方形的直观图，则所得直观图的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．经过点，斜率是3的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线与平面满足，直线，下列结论正确的是（ ）
A． B．a与b异面 C. a//b D. a与b无公点
5．已知：空间四边形ABCD如图所示，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且，，则直线FH与直线EG（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直
6．如图，在斜四棱柱中，底面是平行四边形，M为与的交点.若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．如图在一个的二面角的棱上有两点，，线段，分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱垂直，若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱上的动点（点不与点重合）．若，则下列说法正确的个数是（ ）
①存在点，使得点到平面的距离为；
②直线与所成角为；
③平面；
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、多选题（每小题5分，共20分，漏选得2分，多选、错选不得分）
9．已知某球的表面积为，则下列说法中正确的是（ ）
A．球的半径为2 B．球的体积为 C．球的体积为 D．球的半径为1
10．如图为一正方体的展开图、则在原正方体中（ ）
A． B．
C．直线与所成的角为 D．直线与所成的角为
11．下列选项正确的是（ ）
A．若直线l的一个方向向量(1，)，则直线l的斜率为
B．已知向量，则在上的投影向量为
C．若，则是锐角
D．直线l的方向向量为，且l过点，则点到直线l的距离为2
12．如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于的动点，已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．圆锥的侧面积为
B．三棱锥体积的最大值为
C．圆锥内切球的半径为
D．若，为线段上的动点，则的最小值为
第II卷（非选择题，共90分）
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则 .
14．已知圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个半圆．则圆锥的高为 ．
15．经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角的取值范围是 .
16．已知正方体的棱长为2，点是线段的中点，过点做平面，使得平面平面，则平面与正方体的截面多边形的面积为 ．
四、解答题（第17题10分，其余题12分，共70分）
17．已知的三个顶点分别为，，.
（1）求边所在直线的方程；（2）求边上的中线所在直线的方程.
18．棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点.
(1)证明：；
(2)求；
(3)求FH的长.
19．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为线段上一点，平面.

(1)证明：为的中点；
(2)若直线与平面所成的角为，且，求三棱锥的体积.
20．如图，多面体中，平面，且，，，是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小．
21．如图，在四棱锥中，平面平面为的中点，，．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面的余弦值；
22．如图，在三棱柱中，平面平面为等边三角形，，分别是线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)若点为线段上的动点（不包括端点），求平面与平面夹角的余弦值的取值范围.
参考答案：
1．B 2．C 3．C 4．D 5．B 6．A 7．A 8．C 9．AC 10．BCD 11．ABD 12．ABD
13． 14． 15． 16．
17．（1）；（2）.
【详解】（1）由两点式得边所在直线的方程为，即；
（2）由题意，得点的坐标为（－4，2），由两点式，得所在直线的方程为，即.
18．(1)证明见解析(2)(3)
【详解】（1）如图，以为原点， 分别为轴，建立空间直角坐标系，
则,
因为，
所以，
所以，故；
（2）因为，所以
因为，且,
所以；
（3）因为是的中点，所以又因为，所以,
，即.
19．(1)证明见解析(2)
【详解】（1）连接，设，连接，
因为平面，平面，平面平面，
所以，又底面为矩形，所以为的中点，
所以为的中点.
（2）因为平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
所以为直线与平面所成的角，即，
又，所以，则，
由平面，平面，所以，
所以在中，
所以.
20．(1)证明见解析(2)
【详解】（1）由题意，取CA的中点N，连接MN，BN，则且，
又且，所以且，
所以四边形为平行四边形，得，
又平面，平面，所以平面；
（2）分别取AB、EF的中点O、D，连接OD，OC，则，
由平面，得平面，则，
又为正三角形，所以，
因为平面，平面，得，
而平面，所以平面，故OC、OA、OD两两垂直，建立如图空间直角坐标系，
则，得，
设平面的一个法向量为，则，令，得，得，设ME与平面所成角为，，则，所以，
故ME与平面所成角为.
21．(1)证明见解析(2)(3)存在，M为PE的中点
【详解】（1）平面平面，，且平面平面，
平面，所以平面.
平面，故，又因为，，所以.
，平面，故平面.平面，故平面平面.
（2）作，以，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则点，，，，，.所以，，，设平面的法向量为，
故，即，令，解得.
设平面的法向量为,
故，即，令，解得.
所以，
故二面角的余弦值为.
22．(1)证明见解析(2)
【详解】（1）连接，由题设知四边形为菱形，，
分别为中点，；又D为AC中点，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面；
，又平面，平面.
（2），为等边三角形，，
平面平面，平面平面，平面,平面，D为坐标原点，所在直线为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，
设，则，；
由（1）知：平面，所以平面的一个法向量；
设平面的法向量，则，
令，则；
，
令，则；
，
即平面与平面夹角的余弦值的取值范围为.