高三数学试题（B）参考答案
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．D 2．A 3．A 4．C 5．A 6．D 7．B 8．A
二、多项选择题：本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求，全部选对的得 5分，选对但不全的得 2分，有选错的得 0分．
9．BD 10．AB 11．ACD 12．BC
三、填空题：本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20分．把答案填在答题卡的相应位置．
2513． （答案不唯一） 14．(-∞, -1)
8
1 2 1 3
15． 16．3（2 分） , + （3 分）
2 3 2 6
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（10 分）
解:（1）p：实数 x 满足 x2 10x +16 ≤ 0 ，解得2 ≤ x ≤ 8， ……………2 分
当m =1时，q： x 2 4x + 3 ≤ 0，解得1≤ x ≤ 3， ……………3 分
因为 p 和 q 至少有一个为真，所以2 ≤ x ≤ 8或1≤ x ≤ 3，所以1≤ x ≤ 8，
所以实数 x 的取值范围为[1,8]； ……………5 分
（2）因为m > 0，由 x2 4mx +3m2 ≤ 0，解得m ≤ x ≤ 3m ，即 q：m ≤ x ≤ 3m ，………7 分
因为 q 是 p 的充分不必要条件，
m ≥ 2 8
所以 （等号不同时取），所以2 ≤ m ≤ ．……………10 分
3m ≤ 8 3
18.（12 分）
解:（1）由题意知 x2 2ax + a ≥ 0在R上恒成立，所以 = 4a2 4a ≤ 0 ，解得0 ≤ a ≤1，
即实数 a 的取值范围为[0,1]；……………4 分
（2）由 f ( x) > 4a (a + 3) x 2得： x + (3 a) x 3a = ( x + 3)( x a) > 0；……………6 分
当a > 3时， ( x + 3)( x a) > 0 的解为 x < 3或 x > a ；……………8 分
当 a < 3时， ( x + 3)( x a) > 0 的解为 x < a 或 x > 3；……………10 分
综上所述：当a > 3时，不等式的解集为(-∞, -3)∪(a, +∞)；当a < 3时，不等式的解
集为(-∞, a)∪(-3, +∞)． ……………12 分
高三数学答案（B）第 1 页（共 4 页）
{#{QQABDYQEogggAgAAAQgCAwmQCACQkBCCCCoOBAAIsAAAQANABCA=}#}
19.（12 分）
解:（1）在 ABC 中因为b cos A + a cos B = 2c cos A．
由正弦定理得sin Bcos A+sin Acos B = 2sinC cos A，
所以sin(A + B) = 2sin C cos A， ………………2 分
因为 A + B + C = π，所以sin(A + B) = sin C ．故sinC = 2sinC cos A. …………3 分
1
又C 是 ABC 的内角，所以sinC ≠ 0．从而cos A = ．
2
π
而 A 为 ABC 的内角，所以 A = ；………………6 分
3
1 3
（2）因为BD = 3DC 所以 AD AB = 3(AC AD)，所以 AD = AB + AC ，…………7 分
4 4
1 2 9 2 3 = + + = 1 2 + 9 2 + 3从而9 AB AC AB AC 9 c b bc，………………9 分
16 16 8 16 16 16
3 3 9 4 3
由基本不等式可得：9 ≥ bc + bc = bc ，当且仅当b = ,c = 4 3 时等号成立，
8 16 16 3
1
故 ABC 的面积的最大值为 ×16× 3 = 4 3 ．………………12 分
2 2
20.（12 分）
f ′′(1)
= = 1 = 11 1 K
解:（1） f ′(x) = +1， f ′′(x) = ，所以 1 3 3 3( ，…………32 分 x x 1+ [ f ′(1)]2 )2 2(1+ 2 ) 2 52
1
1 ′′1 3 g (1) 4 2
g′(x) = ， g′′(x) = x 2 ，K2 = = =3 3 3 ，所以K1 < K2 ；
2 x 4 (1+ [g′(1)]2 )2 2 1 2 52
1+
2
…………6 分
（2）h′(x) = cos x ，h′′(x) = sin x ，
sin x
所以K = 3 ，
(1+ cos2 x)2
sin2 x sin2 x
K 2 = = ， …………9 分
(1+ cos2 x)3 (2 sin2 x)3
2 2 t
令 t = 2 sin 2 x ，则 t ∈[1, 2]，K =
t3
2 t 3 2= ′ = t 3t (2 t) = 2t 6设 p(t) 3 ，则 p (t) ， t t6 t4
显然当 t ∈[1, 2]时， p'(t) < 0， p(t)递减，所以 p(t) 2max = p(1) =1．K 最大值为 1，
所以K 的最大值为 1． …………12 分
高三数学答案（B）第 2 页（共 4 页）
{#{QQABDYQEogggAgAAAQgCAwmQCACQkBCCCCoOBAAIsAAAQANABCA=}#}
21.（12 分）
解:（1）设方案甲与方案乙的用水量分别为 x, z，则由题意得
x + 0.8 = 0.99，解得 x =19 ， ……………2 分
x +1
y + 0.95a
由 c = 0.95得方案乙初次用水量为 3，第二次用水量 y满足 = 0.99+ ，
y a
解得 y = 4a ，所以 z = 4a + 3， ……………4 分
即两种方案的用水量分别为 19 和4a + 3，
因为1≤ a ≤ 3时， x z = 19 4a 3 = 4(4 a) > 0 ，
所以 x > z ，所以方案乙的用水量较少； ……………6 分
（2）设初次与第二次清洗的用水量分别为 x 与 y，
= 5c 4类似（1）得 x , y = a(99 100c)，
5(1 c)
+ = 5c 4所以 x y + a(99 100c)
5(1 c)
= 1 +100a(1 c) a 1
，
5(1 c)
当 a 为定值时，
1
x + y ≥ 2 100a(1 c) a 1 = a + 4 5a 1，
5(1 c)
1
当且仅当 =100a(1 c)
5(1 时取等号，c)
1 1
此时c =1+ 不合题意舍去，或c =1 ∈ (0.8,0.99) ，……………9 分
10 5a 10 5a
= 1 5c 4将 c 1 代入 x = , y = a(99 100c)，
10 5a 5(1 c)
得 x = 2 5a 1 > a 1, y = 2 5a a，
1
所以c =1 时总用水量最少，
10 5a
此时第一次与第二次用水量分别为2 5a 1和2 5a a ，
最少用水量为T (a) = 2 5a 1+ 2 5a a = a + 4 5a 1，
≤ ≤ 2 5当1 a 3时，T ′(a) = 1 > 0，所以T (a) 在[1,3]上为增函数，
a
所以随着 a 的增加，最少用水量在增加． ……………12 分
高三数学答案（B）第 3 页（共 4 页）
{#{QQABDYQEogggAgAAAQgCAwmQCACQkBCCCCoOBAAIsAAAQANABCA=}#}
22.（12 分）
g ( x) = f ( x) + f ( x ) = esinx + e sinx + 2ecosx解:（1）令 ．……………2 分
由基本不等式，得 g ( x ) ≥ 2 + 2ecosx ，当且仅当 x = 0时等号成立．
又cosx > 0，所以ecosx > 1，
故 g ( x) = f ( x) + f ( x) > 4； ……………4 分
sinx cosx
（2） f ′( x) = e cosx e sinx ，
π
当 < x ≤ 0时， ≤ sinx cosxsinx 0,cosx > 0,e > 0,e > 0 ，则esinx cosx ecosx sinx > 0，
2
所以 f (x)> 0 ， ………………6 分
esinx ecosxπ
当 0 < x < 时， f ′(x) = sinxe cosx cosxe sinx = sinx cosx ，
4 sinx cosx
x x
( ) e e (x 1)设 p x = ， x ∈ (0,1)，则 p′(x) = < 0，
x x2
x
e
所以 p ( x) = 在(0,1)上单调递减．………………8 分
x
sinx cosx
由sinx,cosx ∈ (0,1) 且sinx < cosx，得p (sinx) > p (cosx) e e，得 > ，
sinx cosx
又 sin x cos x > 0 ，则 f (x)> 0 ，
π π
当 x = 时， f ′ = 0，
4 4
sinx cosx
π π
当 < x < 时， sinx,cosx ∈ (0,1) 且 sinx > cosx，得p (sinx) < p ( e ecosx)，得 < ．
4 2 sinx cosx
又 sinxcosx > 0，则 f ′(x) < 0． ………………10 分
综上， f ′( π π π π x)在 , 上恒大于 0，在 , 上恒小于 0．
2 4 4 2
π π π π 则 f (x) 在 , 单调递增，在 , 单调递减，
2 4 4 2
= π ( ) π π
2
f x , f ( x) π 因此 x 是 在 的唯一极大值点，且 的极大值为 f 2
4 2 2
= 2e ，
4
………………11 分
2
故 f ( x)有极大值，极大值为2e 2 ，无极小值．………………12 分
高三数学答案（B）第 4 页（共 4 页）
{#{QQABDYQEogggAgAAAQgCAwmQCACQkBCCCCoOBAAIsAAAQANABCA=}#}保密★启用前
7.函数y=[x]在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中[x]表示不大于x的最大整数，如
2023一2024学年度第一学期期中考试
.=-2.3)]=-3[=3那么不等式4[-16y+70成立的一个充分不必要条件是
高三数学试题(B)
副
B.L,3
C.L,4)
D.[1,4]
2023.11
8.己知AOAB是边长为1的正三角形，若点P满足OP-(2-OA-O:∈R):则2AP的最
注意事项：
1.本试叁分读择遥和非进择题两部分，满分150分，考试时间120分钟
小值为
2.答题前，考生务必将效名、班筑等个人信息填写在答题卡定位置。
A.3
B.1
C
3.考生作答计，请将容案答在答题卡上，选择题年小题选出答紫后，用2B船笔把答题
2
n.9
卡上对应题目的答案标号涂黑：非进择题请用直经05毫米黑色墨水墓字笔在答题卡上各题的
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
答显区域内作答，超出容题区城书写的系紫无效。在议题卷、草稿纸上作答无效
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只
9.设x>0,y>0,满足x+y=1,则下列结论止确的是
有一项是符合题目要求的.
A可的龄大植为号
B.4'+4的最小值为4
1.己知集合M=xe>0,N=xx2-2x-3<0,则MN=
A,(01)
B.(1,2)
C.(1,3)
D.(-1,+o0)
C,x+y的最大位为2
权+，》的最小值为4
D.1-x1-y
2,王吕龄是整店美名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《出塞》传通至今，“秦时明月
10.已知不等式ax2+r+c<0的解集为{xx<-l或x>3引，则下列结论正确的是
汉时关，万里长征人未还。但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”，由此推衔，其中最后一
A.<0
句“不教胡马度阴山”是“但使龙城飞将在”的
B.a+b+e>0
A.必要条件
B.充分条件
C.c<0
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3.设M=52-a+1,N=4a2+a-1,则M,N的大小关系为
D.c2-c+a<0的解集为x<-写或x>
A.M>N
B.MC.M=N
D.大小关系不确定
I1.已知f(x)=2cos2r+3sin2r(w>0)的最小正用期为π，则下列说法上确的是
4.近来猪肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的猪肉价格分别为a元斤，b元斤，甲和乙购
买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲、乙两次平均单
是曲线y=f(x)的一个对称中心
A.2
价为分别记为m,2,则！下列结论正确的是
A.m=%
B.虎>m
。在到有两个极值点
C.m>m
D.所m:的大小无法确定
C.f()在-的值城为0，到
5.已定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(2-x),当1≤x<2时，f(x)=10g(x+2)
6'3
则f(2024)=
D.将y=f()的图象向左平移个单位长度后得到g(x)的图象，则g(x)为偶函数
A.0
B.2
C.-3
D.3
12.已知奇函数fx)在R上可导，其导函数为f"(x),且1-x)-f1+x)+2x=0但成立，
6.已知na=25,a为艳角，ma-)-月则m0-
5
若x)在0,1刂单调递增，则
A.了(x)在[1,2上单调递减
B.f0)=0
C.7
D.-7
C.f(2022)=2022
D.f'(2023)=2
高三数学试题(B)第1页（共4页）
高三数学试题(B)第2页（共4页）
