第五章 分式与分式方程单元测试卷（含答案）

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2024北师版数学八年级下学期
第五章　分式与分式方程
时间:90分钟　 满分:100分
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.(2022·陕西渭南期末)对于①,②,③=3,下列说法正确的是 (　　)
A.①,②,③均是分式
B.①是分式,②不是分式,③是分式方程
C.①不是分式,②是分式,③是分式方程
D.①,②均不是分式
2.(2022·山东济南五十六中期中)计算-的结果是 (　　)
A. B.-
C. D.-
3.(2021·山东济南平阴期末)下列关于分式的判断,正确的是 (　　)
A.当x=2时,的值为零
B.无论x为何值,的值总为正数
C.当x=-1时,有意义
D.当x=3时,无意义
4.(2022·河北邯郸期末)如果将分式中的x和y都扩大为原来的3倍,那么分式的值(　　)
A.缩小到原来的
B.扩大到原来的3倍
C.不变
D.扩大到原来的9倍
5.(2021·江苏南京玄武区期中)若x=1是分式方程=的解,则a的值是 (　　)
A.-1 B.3 C.4 D.1
6.化简时,小明、小华两位同学的化简过程如下.
小明:==4a-b.
小华:==4a-b.
对于上述化简过程,你的看法是 (　　)
A.都正确
B.都不正确
C.小华正确,小明不正确
D.小明正确,小华不正确
7.(2022·甘肃庆阳期末)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,倩人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”其大意为:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6 210文.如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,问6 210文能买多少株椽.设这批椽的数量为x株,则符合题意的方程为 (　　)
A.=3 B.=3
C.3(x-1)= D.3(x-1)=
8.若+=1,则的值为 (　　)
A. B.-1
C.- D.-3
9.(2021·浙江湖州南浔区期末)已知a1=x+1(x≠0且x≠1),a2=,a3=,…,an=
,则a2 022= (　　)
A.-x+1 B.x+1
C. D.-
10.(2022·湖南长沙岳麓区段考)若整数a使得关于x的不等式组有解,且使得关于x的分式方程-=-3有正整数解,则满足条件的所有整数a之和为 (　　)
A.-3 B.-2 C.0 D.1
二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
11.(2022·江苏宿迁宿豫区期中)约分:=　　　　.
12.已知三张卡片上面分别写有6,x-1,x2-1,若从中任选两张卡片,并将上面的整式分别作为分子、分母,则能组成的最简分式为　　　　.(写出一个即可)
13.已知=+,则a+b=　　　　.
14.(2021·江苏盐城期末)5G网络引领时代发展.5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍,在峰值速率下传输100兆数据,5G网络比4G网络快9秒,则4G网络的峰值速率为　　　　.
15.(2022·浙江温州期末)若方程=-3的解为x=,则方程=-3的解为y=　　　　.
16.(2022·湖北武汉武昌区期末改编)小明在解分式方程+=1的过程中,去分母时,方程右边的1没有乘以任何整式,若此时求得方程的根为x=3,则m的值为　　　　.
三、解答题(共6小题,共52分)
17.(共2小题,每小题4分,共8分)解下列分式方程:
(1)=;
(2)=-1.
18.(8分)(2021·四川遂宁实验中学月考)已知P=÷(+m+3).
(1)化简P;
(2)已知m是两边长分别为2和3的三角形的第三边长,且m是整数,求P的值.
19.(8分)老师在黑板上书写了一个式子的正确计算结果,随后用手遮住了原式的一部分,如图.
(-)÷=.
(1)求被手遮住的部分,并将其化简.
(2)原式的值能等于-1吗 请说明理由.
20.(8分)(2022·山西吕梁期末)(1)下面是小颖解分式方程+=1的过程.
解:方程两边同时乘以, 得x2+x-12=x(x-3),　　　　 第一步 去括号,得x2+x-12=x2-3x, 第二步 移项、合并同类项,得4x=12, 第三步 解得x=3. 第四步
请回答下列问题.
①第一步中“”处应填写为　　　　,这一步的目的是　　　　,其依据是　 　　　　　　.
②小颖在反思上述解答过程时发现缺少了关键步骤.请你补全小颖的解答过程,并说明补全部分不能缺少的理由.
(2)新概念运用:“”称为“二阶行列式”,规定运算法则为=ad-bc.请根据上述法则,求下列等式中x的值:=1.
21.(9分)(2021·广东广州番禺区期末)在某遥控船模比赛中,赛道长100米,“番畅号”和“挑战号”两赛船进行比赛.两赛船从起点同时出发,“番畅号”到达终点时,“挑战号”离终点还有5米,已知“番畅号”的平均速度为5米/秒.
(1)求“挑战号”的平均速度.
(2)如果两赛船重新开始比赛,“番畅号”从起点后退5米,若两赛船同时出发,能否同时到达终点 若能,请求出两赛船到达终点的时间;若不能,请说明理由,并重新调整一艘赛船的平均速度使两赛船能够同时到达终点.
22.(11分)(2022·山西运城盐湖区期末)【阅读材料】若分式A与分式B的差等于它们的积,即A-B=A·B,则称分式B是分式A的“关联分式”.
例如与.
解:∵-=,
×=,
∴是的“关联分式”.
【解决问题】
(1)已知分式,则　　　 的“关联分式”(填“是”或“不是”).
(2)小明在求分式的“关联分式”时,用了以下方法.
解:设分式的“关联分式”为B,
则-B=×B,
∴(+1)B=,
∴B=.
请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”.
【拓展延伸】
(3)观察(1)和(2)的结果,寻找规律,直接写出分式的“关联分式”:　　　　.
第五章　分式与分式方程
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B A B A C D C C C D
11. 12.(答案不唯一) 13.5
14.10 15.x=5 16.-2或-4
1.B　①是分式,②是整式不是分式,③=3是分式方程,故选B.
2.A　原式=-==.故选A.
3.B　当x=2时,分式无意义;无论x为何值,的值总为正数;当x=-1时,无意义;当x=3时,=0.故选B.
4.A　因为==×,所以分式的值缩小到原来的.
5.C　∵x=1是分式方程=的解,∴=,解得a=4.经检验,a=4是方程=的解.
6.D　小明的做法是先将分子分解因式,再将整体进行约分,是正确的;小华的做法是先将分子、分母同时乘以(4a-b),再利用平方差公式约去(16a2-b2),但不能保证4a-b≠0,所以此做法不正确.
7.C
8.C　∵+=1,即=1,∴a+b=ab,∴原式===-.
====-.
9.C　∵a1=x+1,∴a2===-,a3===,a4====x+1,a5==-,
a6=,….由此发现规律:每三个代数式为一个循环组,∵2 022÷3=674,∴a2 022=.
10.D　∵不等式组有解,∴3a-4≤x≤2+a,∴3a-4≤2+a,解得a≤3.解分式方程-=-3得x=且x≠3.∵a为整数,且分式方程-=-3有正整数解,∴a的值为3,0,-2,3+0+(-2)=1,即满足条件的所有整数a之和为1,故选D.
11.　==.
12.(答案不唯一,或)
13.5　=+=,∴a+b=5.
14.10　设4G网络的峰值速率为x,则5G网络的峰值速率为10x,列方程为-=9,解得x=10.
15.　 设t=2y,则方程=-3可变形为=-3.∵方程=-3的解为x=,
∴可得方程=-3的解为t=,∴2y=,解得y=.
16.-2或-4　根据题意,小明去分母得到的整式方程是2x-(3-m)=1①或-2x+(3-m)=
1②.把x=3代入①,得6-(3-m)=1,解得m=-2;把x=3代入②,得-6+(3-m)=1,解得m=-4,故m的值为-2或-4.
17.【参考答案】
(1)去分母,得2x+2=4, (2分)
移项、合并同类项,得2x=2,
解得x=1. (3分)
检验:当x=1时,x2-1=0,
因此x=1不是原分式方程的解,
∴原分式方程无解. (4分)
(2)方程两边同乘以x(x+1),得
x2=(x+1)(2x+1)-x(x+1),
去括号,得x2=2x2+3x+1-x2-x, (2分)
移项、合并同类项,得2x=-1,
解得x=-. (3分)
检验:当x=-时,x(x+1)≠0,
∴原分式方程的解是x=-. (4分)
18.【参考答案】(1)P=÷[+]
=÷
=÷
=. (4分)
(2)∵m是两边长分别为2和3的三角形的第三边长,
∴3-2∵m为整数,
∴m=2,3,4. (6分)
由分式有意义的条件可知m≠0,2,3,
∴m=4,
∴P==. (8分)
19.【参考答案】(1)设被手遮住的部分为A, (1分)
则[A-]×=,
(A-)×=,
A-=, (3分)
则A=+=. (4分)
(2)不能. (5分)
理由:若原式的值能等于-1,
则=-1,即x=0. (6分)
当x=0时,无意义,
所以原式的值不能等于-1. (8分)
(1)被手遮住的部分=×+=+=+=. (4分)
20.【参考答案】(1)①x(x-3)　去分母 (4分)
等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等 (3分)
②检验:当x=3时,x(x-3)=0,
∴原分式方程无解.
理由如下:
∵解方程可能产生增根,
∴解完分式方程必须检验. (5分)
(2)根据题中的运算法则得,
=-=1,
去分母,得2+1=x-1,
移项,得-x=-4,
解得x=4.
检验:当x=4时,x-1=3≠0,
∴x=4是该分式方程的解,
故x的值为4. (8分)
21.【参考答案】(1)设“挑战号”的平均速度为x米/秒,
由题意得=,
解得x=4.75.
经检验,x=4.75是原分式方程的解.
答:“挑战号”的平均速度为4.75米/秒. (4分)
(2)不能同时到达终点. (5分)
理由:∵“番畅号”到达终点所用的时间为=21(秒),
“挑战号”到达终点所用的时间为=21(秒),
∴“番畅号”从起点后退5米,两赛船同时出发,不能同时到达终点. (7分)
要使两赛船同时到达终点,则可增加“挑战号”的平均速度.
设“挑战号”的平均速度增加y米/秒,
由题意得=,
解得y=.
经检验,y=是原分式方程的解.
∴把“挑战号”的平均速度增加米/秒,可以使两赛船能够同时到达终点. (9分)
(1)(100÷5)=20(秒),
(100-5)÷20=4.75(米/秒).
答:“挑战号”的平均速度为4.75米/秒. (4分)
(2)不能同时到达终点. (5分)
理由:∵“番畅号”到达终点所用的时间为=21(秒),
“挑战号”到达终点所用的时间为=21(秒),
∴“番畅号”从起点后退5米,两赛船同时出发,不能同时到达终点. (7分)
要使两赛船同时到达终点,则可降低“番畅号”的平均速度.
设“番畅号”的平均速度降低z米/秒,
由题意得=,
解得z=.
经检验,z=是原分式方程的解.
∴把“番畅号”的平均速度降低米/秒,可以使两赛船能够同时到达终点. (9分)
22.【参考答案】(1)是 (3分)
解法提示:∵-==,
×=,
∴ 是的“关联分式”.
(2)设分式的“关联分式”是N,
则-N=·N.
∴(+1)·N=,
∴·N=,
∴N=,
即分式的“关联分式”为. (8分)
(3) (11分)
解法提示:由(1)和(2)的结果知分式的“关联分式”为÷(+1)=.
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