第16章 二次根式单元测试题（含答案）
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2024沪科版数学八年级下学期
第16章 二次根式
时间:60分钟 满分:100分
题号 一 二 三 评价
错题
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)
1.(2022·广东韶关武江区期末)若是最简二次根式,则a的值可能是 ( )
A. -2 B. 8 C. D. 2
2.(2022·上海长宁区期中)如果m是任意实数,那么下列根式有意义的是 ( )
A. B. C. D.
3.(2022·湖北武汉江岸区期中)已知是整数,则正整数n的最小值是 ( )
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
4.(2022·山东济南市中区二模改编)如图,数轴上的点可近似表示(3+)÷的值的是 ( )
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
5.(2022·北京西城区期中)若=成立,则x的取值范围为 ( )
A. 0≤x<1 B. x≥0
C. x<1 D. x≤0或x>1
6.下列式子一定成立的是 ( )
A. =· B. +=
C. = D. =|a|
7.(2021·上海长宁区期末)若x为实数,在“(-1)□x”的“□”中填上一种运算符号(从“+”“-”“×”“÷”中选择),使其运算结果是有理数,则x不可能是 ( )
A. -1 B. +1 C. 3 D. 1-
8.(2022·河南商丘睢阳区期末)如图,在数学课上,老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形,已知小长方形的长为、宽为,下列是四位同学对该大长方形的判断,其中不正确的是 ( )
A. 大长方形的长为6
B. 大长方形的宽为5
C. 大长方形的周长为11
D. 大长方形的面积为90
9. (2022·山东泰安期中)对于任意的正数m,n,定义新运算※:m※n=则(3※2)·(8※12)的结果为 ( )
A. 2-4 B. 2 C. 2 D. 20
10.(2022·安徽合肥瑶海区期末)已知x,y是正整数,若+=,则x+y的值是 ( )
A. 143或187 B. 137或275
C. 143或275 D. 5或11
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)
11.(2022·江苏泰州期末)如果最简二次根式与是同类二次根式,那么a的值是 .
12. (2022·江苏无锡期末)如果一个无理数a与的积是一个有理数,写出a的一个值是 .
13.(2022·浙江金华期末)设a=+,b=-,则a2 021b2 022的值是 .
14.(2022·重庆沙坪坝区期末)已知a,b分别为等腰三角形的两条边长,且a,b满足b=4++,则该三角形的周长为 .
15.在如图所示的方格中,横向、纵向及对角线方向上的实数相乘都得出同样的结果,则两个空格中的实数之和为 .
2 1
3 2
6
16.(2022·湖北随州中考)已知m为正整数,若是整数,则根据==3可知m有最小值3×7=21.设n为正整数,若是大于1的整数,则n的最小值为 ,最大值为 .
选择填空题答题区
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
填空 11. 12. 13.
14. 15. 16.
三、解答题(本大题共6小题,满分52分)
17.(共4小题,每小题3分,共12分)计算:
(1)(3-2+)÷2;
(2)(+)(-)+÷;
(3)-()-1-+|-2|;
(4)|-1|-×+(+1)2-()2.
18.(5分)(2022·江苏南京模拟)已知x=2+,y2=(7-4)x2+3-2,y>0,求y的值.
19.(7分)(2022·江苏盐城期中)求代数式a+的值,其中a=1 012.
如图是小亮和小芳的解答过程.
(1) 的解法是错误的,错误的原因是 ;
(2)求代数式a-2+6的值,其中a=-2 023.
20.(9分)(2022·江苏盐城段考改编)高空抛物是一种不文明的危险行为.据研究,从高处坠落的物品,其下落的时间t(s)和高度h(m)近似满足公式t=(不考虑阻力的影响).
(1)求物体从40 m的高空落到地面的时间.
(2)小明说物体从80 m的高空落到地面的时间是(1)中所求时间的2倍,他的说法正确吗 请说明理由.
(3)已知从高空坠落的物体所带能量(单位:J)=10×物体质量(kg)×高度(m).某质量为0.05 kg的鸡蛋经过6 s落在地上,这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大 你能得到什么启示
21.(9分)(2022·北京西城区期中)
(1)4+3 2,
1+ 2,
5+5 2.(填“>”“<”或“=”)
(2)由(1)中的各式比较m+n与2(m≥0,n≥0)的大小,并说明理由.
(3)请利用上述结论解决下面问题:
设计师要对某区域进行设计改造,将该区域用篱笆围成矩形的花圃.如图所示,该花圃恰好可以借用一段墙体,若要围成面积为200 m2的花圃,则所用的篱笆至少需要 m.
22.(10分)(2022·湖南永州段考改编)阅读材料:
小明在学习完二次根式后,发现有些式子可以写成另一个式子的平方,如3+2=(1+)2.
善于思考的小明进行了如下探索:
设a+b=(m+n)2(其中a,b,m,n均为正整数),则有a+b=m2+2n2+2mn,
故a=m2+2n2,b=2mn.
这样小明就找到了把类似a+b的式子化为完全平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:
(1)当a,b,m,n均为正整数时,若a+b=(m+n)2,用含m,n的式子分别表示a,b,则a= ,b= .
(2)利用所探索的结论,找一组正整数a,b,m,n填空: + =( + )2.
(3)若a+4=(m+n)2,且a,m,n均为正整数,求a的值.
(4)若a是216的立方根,b是16的平方根,计算:.
第16章 二次根式
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D D B C A D C C B A
11.3 12.(答案不唯一) 13.-
14.10 15.4 16.3 75
1.D
2.D D选项中,∵m2≥0,∴m2+1>0,∴不论m取何值,二次根式都有意义.
3.B =2,∵是整数,∴2是整数,∴正整数n的最小值为6
4.C 原式=3+=3+,而2<<3,所以5<3+<6,所以数轴上点C表示的数可近似表示3+.
5.A 由题意知解得0≤x<1.
6.D 当a≥0,b≥0时,=·一定成立,所以选项A不符合题意;+=不一定成立,所以选项B不符合题意;当a≥0,b>0时,=一定成立,所以选项C不符合题意;=|a|,所以选项D符合题意.
7.C (-1)÷(-1)=1,故选项A不符合题意.(-1)×(+1)=2,故选项B不符合题意.(-1)与3无论运用哪种运算,都无法得到有理数,故选项C符合题意.(-1)÷(1-)=-1,故选项D不符合题意.
8.C ∵小长方形的长为=3,宽为=2,∴大长方形的长为3+3=6,大长方形的宽为3+2=5,∴大长方形的周长为(6+5)×2=22,大长方形的面积为6×5=90.故选C.
9.B 原式=(-)×(+)=(-)×(2+2)=2×(-)×(+)=2×[()2-()2]=2×(3-2)=2.
10.A (分类讨论思想)∵=5,设=a,=b,∴a+b=5.∵a,b是正整数,∴a=1,b=4或a=2,b=3或a=3,b=2或a=4,b=1.∵x=11a2,y=11b2,∴x+y=11(a2+b2)=11×13=143或x+y=11(a2+b2)=11×17=187.
11.3 3a-7=2,解得a=3.
12.(答案不唯一,或2等)
13.- ∵a=+,b=-,∴ab=(+)·(-)=7-6=1,∴a2 021b2 022=a2 021b2 021·b=(ab)2 021·b=
12 021·b=1×(-)=-.
14.10 由题意得,a-2≥0,2-a≥0,解得a≥2,a≤2,∴a=2,则b=4.∵2+2=4,∴2,2,4不能组成三角形,∴该三角形的三边长分别为2,4,4,∴此三角形的周长为2+4+4=10.
15.4 由题意得,所乘的结果为6,∴从上往下两个空格中的数分别为=3,=,∴两数之和为3+
=4.
16.3 75 ∵==10,且为整数,∴n的最小值为3.易知越小,越小,则n越大.∵是大于1的整数,∴的最小值为2.当=2时,=4,则n=75,即n的最大值为75.
17. (1)原式=(6-+4)÷2
=3-+2 (2分)
=. (3分)
(2)原式=5-3+ (2分)
=2+. (3分)
(3)原式=2-4-+2-
=-2. (3分)
(4)原式=-1-+3+2+1-3 (1分)
=-1-2+3+2+1-3 (2分)
=. (3分)
18.解：∵x=2+,y2=(7-4)x2+3-2,
∴y2=(7-4)(2+)2+3-2
=(7-4)(7+4)+3-2
=72-(4)2+3-2
=4-2=(-1)2, (3分)
∴y=±(-1).
∵y>0,∴y=-1. (5分)
19.解：(1)小亮 (2分)
未能正确运用二次根式的性质=|a|(或当a≥0时,=a,当a<0时,=-a) (4分)
(2)∵a=-2 023,∴a-3<0,
则a-2+6=a-2+6
=a+2(a-3)+6
=a+2a-6+6
=3a.(6分)
当a=-2 023时,原式=3×(-2 023)=-6 069. (7分)
20.解：(1)由题意得,当h=40 m时,t====2(s). (3分)
(2)不正确. (4分)
理由:当h=80 m时,t===4(s),
∵4≠2×2,∴小明的说法不正确. (6分)
(3)当t=6 s时,6=,解得h=180(m).
鸡蛋在下落过程中所带能量=10×0.05×180=90(J). (8分)
启示:严禁高空抛物.(答案不唯一). (9分)
21.解：(1)> > = (3分)
解法提示:∵4+3=7,2=4,∴72=49,(4)2=48.∵49>48,∴4+3>2.∵1+=>1,2=<1,
∴1+>2.∵5+5=10,2=10,∴5+5=2.
(2)m+n≥2(m≥0,n≥0). (4分)
理由:当m≥0,n≥0时,(-)2≥0,
∴()2-2·+()2≥0,
∴m-2+n≥0,
∴m+n≥2. (7分)
(3)40 (9分)
解法提示:设与墙体平行的长为a m,与墙体垂直的长为b m,则a>0,b>0,S=ab=200.根据(2)的结论可得a+2b≥2,
∵2=2=2=2×20=40,∴所用的篱笆至少需要40 m.
22.解：(1)m2+3n2 2mn (2分)
(2)13 4 1 2(或12 6 3 1等,答案不唯一). (4分)
(3)由b=2mn,得4=2mn,所以mn=2.
因为m,n均为正整数,所以m=1,n=2或m=2,n=1.
当m=1,n=2时,a=m2+3n2=12+3×22=13;
当m=2,n=1时,a=m2+3n2=22+3×12=7.
综上,a的值为13或7. (7分)
(4)因为a是216的立方根,b是16的平方根,
所以a=6,b=±4,
所以===2±. (10分)
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第16章 二次根式
时间:60分钟 满分:100分
题号 一 二 三 评价
错题
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)
1.(2022·广东韶关武江区期末)若是最简二次根式,则a的值可能是 ( )
A. -2 B. 8 C. D. 2
2.(2022·上海长宁区期中)如果m是任意实数,那么下列根式有意义的是 ( )
A. B. C. D.
3.(2022·湖北武汉江岸区期中)已知是整数,则正整数n的最小值是 ( )
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
4.(2022·山东济南市中区二模改编)如图,数轴上的点可近似表示(3+)÷的值的是 ( )
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
5.(2022·北京西城区期中)若=成立,则x的取值范围为 ( )
A. 0≤x<1 B. x≥0
C. x<1 D. x≤0或x>1
6.下列式子一定成立的是 ( )
A. =· B. +=
C. = D. =|a|
7.(2021·上海长宁区期末)若x为实数,在“(-1)□x”的“□”中填上一种运算符号(从“+”“-”“×”“÷”中选择),使其运算结果是有理数,则x不可能是 ( )
A. -1 B. +1 C. 3 D. 1-
8.(2022·河南商丘睢阳区期末)如图,在数学课上,老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形,已知小长方形的长为、宽为,下列是四位同学对该大长方形的判断,其中不正确的是 ( )
A. 大长方形的长为6
B. 大长方形的宽为5
C. 大长方形的周长为11
D. 大长方形的面积为90
9. (2022·山东泰安期中)对于任意的正数m,n,定义新运算※:m※n=则(3※2)·(8※12)的结果为 ( )
A. 2-4 B. 2 C. 2 D. 20
10.(2022·安徽合肥瑶海区期末)已知x,y是正整数,若+=,则x+y的值是 ( )
A. 143或187 B. 137或275
C. 143或275 D. 5或11
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)
11.(2022·江苏泰州期末)如果最简二次根式与是同类二次根式,那么a的值是 .
12. (2022·江苏无锡期末)如果一个无理数a与的积是一个有理数,写出a的一个值是 .
13.(2022·浙江金华期末)设a=+,b=-,则a2 021b2 022的值是 .
14.(2022·重庆沙坪坝区期末)已知a,b分别为等腰三角形的两条边长,且a,b满足b=4++,则该三角形的周长为 .
15.在如图所示的方格中,横向、纵向及对角线方向上的实数相乘都得出同样的结果,则两个空格中的实数之和为 .
2 1
3 2
6
16.(2022·湖北随州中考)已知m为正整数,若是整数,则根据==3可知m有最小值3×7=21.设n为正整数,若是大于1的整数,则n的最小值为 ,最大值为 .
选择填空题答题区
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
填空 11. 12. 13.
14. 15. 16.
三、解答题(本大题共6小题,满分52分)
17.(共4小题,每小题3分,共12分)计算:
(1)(3-2+)÷2;
(2)(+)(-)+÷;
(3)-()-1-+|-2|;
(4)|-1|-×+(+1)2-()2.
18.(5分)(2022·江苏南京模拟)已知x=2+,y2=(7-4)x2+3-2,y>0,求y的值.
19.(7分)(2022·江苏盐城期中)求代数式a+的值,其中a=1 012.
如图是小亮和小芳的解答过程.
(1) 的解法是错误的,错误的原因是 ;
(2)求代数式a-2+6的值,其中a=-2 023.
20.(9分)(2022·江苏盐城段考改编)高空抛物是一种不文明的危险行为.据研究,从高处坠落的物品,其下落的时间t(s)和高度h(m)近似满足公式t=(不考虑阻力的影响).
(1)求物体从40 m的高空落到地面的时间.
(2)小明说物体从80 m的高空落到地面的时间是(1)中所求时间的2倍,他的说法正确吗 请说明理由.
(3)已知从高空坠落的物体所带能量(单位:J)=10×物体质量(kg)×高度(m).某质量为0.05 kg的鸡蛋经过6 s落在地上,这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大 你能得到什么启示
21.(9分)(2022·北京西城区期中)
(1)4+3 2,
1+ 2,
5+5 2.(填“>”“<”或“=”)
(2)由(1)中的各式比较m+n与2(m≥0,n≥0)的大小,并说明理由.
(3)请利用上述结论解决下面问题:
设计师要对某区域进行设计改造,将该区域用篱笆围成矩形的花圃.如图所示,该花圃恰好可以借用一段墙体,若要围成面积为200 m2的花圃,则所用的篱笆至少需要 m.
22.(10分)(2022·湖南永州段考改编)阅读材料:
小明在学习完二次根式后,发现有些式子可以写成另一个式子的平方,如3+2=(1+)2.
善于思考的小明进行了如下探索:
设a+b=(m+n)2(其中a,b,m,n均为正整数),则有a+b=m2+2n2+2mn,
故a=m2+2n2,b=2mn.
这样小明就找到了把类似a+b的式子化为完全平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:
(1)当a,b,m,n均为正整数时,若a+b=(m+n)2,用含m,n的式子分别表示a,b,则a= ,b= .
(2)利用所探索的结论,找一组正整数a,b,m,n填空: + =( + )2.
(3)若a+4=(m+n)2,且a,m,n均为正整数,求a的值.
(4)若a是216的立方根,b是16的平方根,计算:.
第16章 二次根式
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D D B C A D C C B A
11.3 12.(答案不唯一) 13.-
14.10 15.4 16.3 75
1.D
2.D D选项中,∵m2≥0,∴m2+1>0,∴不论m取何值,二次根式都有意义.
3.B =2,∵是整数,∴2是整数,∴正整数n的最小值为6
4.C 原式=3+=3+,而2<<3,所以5<3+<6,所以数轴上点C表示的数可近似表示3+.
5.A 由题意知解得0≤x<1.
6.D 当a≥0,b≥0时,=·一定成立,所以选项A不符合题意;+=不一定成立,所以选项B不符合题意;当a≥0,b>0时,=一定成立,所以选项C不符合题意;=|a|,所以选项D符合题意.
7.C (-1)÷(-1)=1,故选项A不符合题意.(-1)×(+1)=2,故选项B不符合题意.(-1)与3无论运用哪种运算,都无法得到有理数,故选项C符合题意.(-1)÷(1-)=-1,故选项D不符合题意.
8.C ∵小长方形的长为=3,宽为=2,∴大长方形的长为3+3=6,大长方形的宽为3+2=5,∴大长方形的周长为(6+5)×2=22,大长方形的面积为6×5=90.故选C.
9.B 原式=(-)×(+)=(-)×(2+2)=2×(-)×(+)=2×[()2-()2]=2×(3-2)=2.
10.A (分类讨论思想)∵=5,设=a,=b,∴a+b=5.∵a,b是正整数,∴a=1,b=4或a=2,b=3或a=3,b=2或a=4,b=1.∵x=11a2,y=11b2,∴x+y=11(a2+b2)=11×13=143或x+y=11(a2+b2)=11×17=187.
11.3 3a-7=2,解得a=3.
12.(答案不唯一,或2等)
13.- ∵a=+,b=-,∴ab=(+)·(-)=7-6=1,∴a2 021b2 022=a2 021b2 021·b=(ab)2 021·b=
12 021·b=1×(-)=-.
14.10 由题意得,a-2≥0,2-a≥0,解得a≥2,a≤2,∴a=2,则b=4.∵2+2=4,∴2,2,4不能组成三角形,∴该三角形的三边长分别为2,4,4,∴此三角形的周长为2+4+4=10.
15.4 由题意得,所乘的结果为6,∴从上往下两个空格中的数分别为=3,=,∴两数之和为3+
=4.
16.3 75 ∵==10,且为整数,∴n的最小值为3.易知越小,越小,则n越大.∵是大于1的整数,∴的最小值为2.当=2时,=4,则n=75,即n的最大值为75.
17. (1)原式=(6-+4)÷2
=3-+2 (2分)
=. (3分)
(2)原式=5-3+ (2分)
=2+. (3分)
(3)原式=2-4-+2-
=-2. (3分)
(4)原式=-1-+3+2+1-3 (1分)
=-1-2+3+2+1-3 (2分)
=. (3分)
18.解：∵x=2+,y2=(7-4)x2+3-2,
∴y2=(7-4)(2+)2+3-2
=(7-4)(7+4)+3-2
=72-(4)2+3-2
=4-2=(-1)2, (3分)
∴y=±(-1).
∵y>0,∴y=-1. (5分)
19.解：(1)小亮 (2分)
未能正确运用二次根式的性质=|a|(或当a≥0时,=a,当a<0时,=-a) (4分)
(2)∵a=-2 023,∴a-3<0,
则a-2+6=a-2+6
=a+2(a-3)+6
=a+2a-6+6
=3a.(6分)
当a=-2 023时,原式=3×(-2 023)=-6 069. (7分)
20.解：(1)由题意得,当h=40 m时,t====2(s). (3分)
(2)不正确. (4分)
理由:当h=80 m时,t===4(s),
∵4≠2×2,∴小明的说法不正确. (6分)
(3)当t=6 s时,6=,解得h=180(m).
鸡蛋在下落过程中所带能量=10×0.05×180=90(J). (8分)
启示:严禁高空抛物.(答案不唯一). (9分)
21.解：(1)> > = (3分)
解法提示:∵4+3=7,2=4,∴72=49,(4)2=48.∵49>48,∴4+3>2.∵1+=>1,2=<1,
∴1+>2.∵5+5=10,2=10,∴5+5=2.
(2)m+n≥2(m≥0,n≥0). (4分)
理由:当m≥0,n≥0时,(-)2≥0,
∴()2-2·+()2≥0,
∴m-2+n≥0,
∴m+n≥2. (7分)
(3)40 (9分)
解法提示:设与墙体平行的长为a m,与墙体垂直的长为b m,则a>0,b>0,S=ab=200.根据(2)的结论可得a+2b≥2,
∵2=2=2=2×20=40,∴所用的篱笆至少需要40 m.
22.解：(1)m2+3n2 2mn (2分)
(2)13 4 1 2(或12 6 3 1等,答案不唯一). (4分)
(3)由b=2mn,得4=2mn,所以mn=2.
因为m,n均为正整数,所以m=1,n=2或m=2,n=1.
当m=1,n=2时,a=m2+3n2=12+3×22=13;
当m=2,n=1时,a=m2+3n2=22+3×12=7.
综上,a的值为13或7. (7分)
(4)因为a是216的立方根,b是16的平方根,
所以a=6,b=±4,
所以===2±. (10分)
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