第17章 一元二次方程单元测试题（含答案）

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2024沪科版数学八年级下学期
第17章　一元二次方程
时间:60分钟　 满分:100分
题号 一 二 三 评价
错题
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)
　　　　　　 　　　　　　　　　　
1.(2022·广东珠海期中改编)把2x(x-1)=3x化成一元二次方程的一般形式,则二次项系数、常数项分别是 (　　)
A. 5,-2 B. -2,0
C. -5,2 D. 2,0
2.(2022·云南文山期末)已知关于x的方程(m-2)x|m|-3x-4=0是一元二次方程,则 (　　)
A. m≠±2 B. m=-2
C. m=2 D. m=±2
3.(2022·宁夏吴忠利通区期末)将一元二次方程x2+4x+2=0配方后,可得到方程 (　　)
A. (x-2)2=2 B. (x+2)2=6
C. (x-2)2=6 D. (x+2)2=2
4.(2022·安徽安庆期中)若一元二次方程ax2+bx+c=0满足a-b+c=0,则该方程必有一根为 (　　)
A. 0 B. 1 C. -1 D. 2
5.若2x2+1与4x2-2x-5互为相反数,则x= (　　)
A. -1或 B. 1或-
C. 1或- D. 1或
6.(2022·山东泰安中考)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,倩人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”其大意为:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6 210文.如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,试问6 210文能买多少株椽.设这批椽的数量为x株,则符合题意的方程是(　　)
A. 3(x-1)x=6 210 B. 3(x-1)=6 210
C. (3x-1)x=6 210 D. 3x=6 210
7.(2022·安徽合肥蜀山区期中)若实数x满足方程(x2+2x)·(x2+2x-2)-8=0,那么x2+2x的值为 (　　)
A. -2或4 B. 4 C. -2 D. 2或-4
8.(2022·福建泉州期末)若关于x的一元二次方程ax2+bx-3=0(a≠0)有一个根为x=2 023,则关于x的一元二次方程a(x-1)2+bx-3=b必有一根为 (　　)
A. 2 021 B. 2 022 C. 2 023 D. 2 024
9. (2022·江苏扬州期末)定义新运算“※”:对于实数m,n,p,q,有[m,p]※[q,n]=mn+pq,其中等式右边是加法和乘法运算,例如:[2,3]※[4,5]=2×5+
3×4=22.若关于x的一元二次方程[x2+1,x]※[5-2k,k]=0有两个实数根,则k的取值范围是 (　　)
A. k< B. k>
C. k≤且k≠0 D. k<且k≠0
10.(2022·浙江温州期中)求方程x2+8x=33正数解的几何方法:如图(1),先构造一个面积为x2的正方形,再以正方形的边长为一边向外构造四个面积均为2x的长方形,得到大正方形的面积为33+22×4=49,则该方程的正数解为-2×2=3.小明尝试用此方法解关于x的方程x2+10x+c=0时,构造出如图(2)所示的正方形.已知图(2)中阴影部分的面积和为39,则该方程的正数解为 (　　)
　　　　　 图(1) 　　　　　　图(2)
A. 2　 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)
11.(2022·安徽安庆期末)已知关于x的方程x2+mx=0的一个根是-2,则m的值为　　　　.
12. (2022·浙江金华期中)写出一个关于x的一元二次方程,使它的二次项系数为2,其中一个根是-3,另一个根为正数,则这个方程可以为　　　　　　　　.
13. (2022·辽宁大连期中)从地面竖直向上抛出一个小球,若小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系满足h=30t-5t2,则小球从抛出到落地共用时　　　　s.
14.[2022年版课标新增](2022·重庆黔江区期末)若x1,x2是关于x的方程x2+bx-3b=0的两个根,且+=7,则b的值是　　　　.
15.(2022·江苏南通期末)生物学家研究发现,很多植物的生长都有下面的规律,即主干长出若干数目的支干后,每个支干又会长出同样数目的小分支.现有符合上述生长规律的某种植物,它的主干、支干和小分支的总数是91,则这种植物每个支干长出　　　　　个小分支.
16.(2022·河北唐山期中改编)小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了a=1,b=3,解出其中一个根是x=-1.他核对时发现所抄的c值比原方程的c值小2,则
(1)原方程中c=　　　　;
(2)原方程的根的情况是　　　　.
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
填空 11.　　 12.　　 13.　　
14.　　 15.　　 16.(1)　　(2)　　
三、解答题(本大题共6小题,满分52分)
17.(共3小题,每小题3分,共9分)解方程:
(1)(用公式法)-2x2+x+5=0;
(2)2x2-x=1-2x;
(3)(x+1)(x-1)+2(x+3)=13.
18.(6分) (2022·河北沧州段考)嘉嘉与淇淇两位同学解方程3(x-3)=(x-3)2的过程如下.
嘉嘉:两边同时除以(x-3),得3=x-3, 解得x=6.
淇淇:移项,得3(x-3)-(x-3)2=0, 提取公因式,得(x-3)(3-x-3)=0. 则x-3=0或3-x-3=0, 解得x1=3,x2=0.
(1)嘉嘉的解法　　　　,淇淇的解法　　　　.(填“正确”或“不正确”)
(2)请你给出正确的解法,并结合你的经验提出一条解题注意事项.
19.(8分)(2022·广西河池宜州区期末)已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+a-c=0,其中a,b,c分别为△ABC三边的长.
(1)如果x=-1是该方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)如果△ABC是等边三角形,求这个一元二次方程的根.
20.(8分)(2021·山东济南期末)小明家购买了31 m的铁栅栏,准备用这些铁栅栏靠墙(墙长15 m)围建一个如图所示的长方形养鸡场(中间用铁栅栏隔开,门宽1 m).
(1)若长方形养鸡场的面积为90 m2,求养鸡场的长和宽(垂直于墙的边为宽).
(2)小明家想要围建一个100 m2的长方形养鸡场,这一想法能实现吗 请说明理由.
21.(10分) (2022·江苏苏州期中)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,其中一个根比另一个根大1,那么称这样的方程为“邻根方程”.例如,一元二次方程x2+x=0的两个实数根分别是x1=0,x2=-1,则方程x2+x=0是“邻根方程”.
(1)判断方程2x2-2x+1=0是否是“邻根方程”,并说明理由.
(2)已知关于x的方程x2-(m-1)x-m=0(m是常数)是“邻根方程”,求m的值.
(3)若关于x的方程kx2+nx+2=0(k,n是常数,k>0)是“邻根方程”,令t=n2-4k2,求t的最大值.
22.(11分)阅读并完成下列问题:任意给定一个矩形A,是否存在另一矩形B,使它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半
(1)当已知矩形A的两边长分别为6和1时,小亮同学是这样研究的:
设所求矩形的两边长分别是x和y,由题意可得方程组
消去y,得2x2-7x+6=0.
∵Δ=49-48=1>0,
∴x1=　　　　,x2=　　　　,
∴满足要求的矩形B存在.
(2)如果已知矩形A的两边长分别为2和1,那么请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B.
(3)如果矩形A的两边长分别为m和n,那么请你研究当m,n满足什么条件时,矩形B存在,并说明理由.
第17章　一元二次方程
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D B D C B A B D C C
11.2 12.2(x+3)(x-1)=0(答案不唯一) 13.6
14.1 15.9 16.(1)4　(2)没有实数根
1.D　2x(x-1)=3x化成一般形式为2x2-5x=0,所以二次项系数、常数项分别是2,0.
2.B　∵关于x的方程(m-2)x|m|-3x-4=0是一元二次方程,∴解得m=-2.
3.D　将方程x2+4x+2=0移项,得x2+4x=-2,配方得x2+4x+22=-2+22,即(x+2)2=2.
4.C　将x=-1代入一元二次方程ax2+bx+c=0,得(-1)2a-b+c=a-b+c=0,∴x=-1是该方程的一个根.
5.B　由题意可得,2x2+1+4x2-2x-5=0,即3x2-x-2=0,解得x=1或-.
6.A　
7.B　(整体思想)设x2+2x=y,则原方程化为y(y-2)-8=0,解得y=4或-2.当y=4时,x2+2x=4,此时方程有实数根;当y=-2时,x2+2x=-2,此时方程无实数根,舍去.综上, x2+2x的值为4.
8.D　(转化思想)∵a(x-1)2+bx-3=b,∴a(x-1)2+b(x-1)-3=0.令t=x-1,∴at2+bt-3=0.∵ax2+bx-3=0(a≠0)有一个根为x=2 023,∴at2+bt-3=0有一个根为t=2 023,此时x-1=2 023,解得x=2 024,∴关于x的一元二次方程a(x-1)2+bx-3=b必有一根为x=2 024.
9.C　∵[x2+1,x]※[5-2k,k]=0,∴(x2+1)k+x(5-2k)=0,整理得kx2+(5-2k)x+k=0.∵该方程有两个实数根,∴Δ=(5-2k)2-4k·k≥0且k≠0,解得k≤且k≠0.
10.C　由题图(2)可知,先构造一个面积为x2的正方形,再以正方形的边长为一边向外构造四个面积均为x的长方形,得到大正方形的面积为39+()2×4=39+25=64,∴该方程的正数解为-×2=3.
11.2　将x=-2代入方程x2+mx=0,即可求出m.
12.2(x+3)(x-1)=0[答案不唯一,满足2(x+3)(x-k)=0(k>0)即可]
13.6　令h=0,则30t-5t2=0,解得t=0或t=6,∴小球从抛出到落地共用时6 s.
14.1　∵x1,x2是关于x的方程x2+bx-3b=0的两个根,∴x1+x2=-b,x1x2=-3b.又+=7,∴(x1+x2)2-2x1x2=b2+6b=7,解得b=-7(舍去)或1,∴b=1.
15.9　设这种植物每个支干长出x个小分支,依题意得支干的数量为x,小分支的数量为x·x=x2,那么根据题意可列出方程1+x+x2=91,解得x1=9,x2=-10(舍去),故这种植物每个支干长出9个小分支.
16.(1)4　(2)没有实数根　(1)∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了a=1,b=3,解出其中一个根是x=-1,∴(-1)2-3+c=0,解得c=2,故原方程中c=4.(2)易得Δ=9-4×1×4=-7<0,∴原方程的根的情况是没有实数根.
17.解：(1)原方程可化为2x2-x-5=0.
因为a=2,b=-1,c=-5,
所以b2-4ac=(-1)2-4×2×(-5)=41>0.
代入求根公式,得x==,
所以x1=,x2=. (3分)
(2)原方程可化为2x2+x-1=0.
变形,得x2-1+x2+x=0,
即(x+1)(x-1)+x(x+1)=0,所以(2x-1)(x+1)=0,
所以2x-1=0或x+1=0,
解得x=或x=-1. (3分)
(3)去括号,得x2-1+2x+6=13,
移项、合并同类项,得x2+2x=8,
配方,得(x+1)2=9,
所以x+1=±3,
所以x1=2,x2=-4. (3分)
18.解：(1)不正确　不正确 (2分)
(2)正确的解法是:3(x-3)=(x-3)2,
移项,得3(x-3)-(x-3)2=0,
提取公因式,得(x-3)(3-x+3)=0,
则x-3=0或3-x+3=0,
解得x1=3,x2=6. (4分)
注意事项:移项时要注意正负号的改变,或除数不能为0(言之有理即可). (6分)
19.解：(1)△ABC是等腰三角形. (1分)
理由:∵x=-1是原方程的根,
∴(a+c)×(-1)2-2b+a-c=0,
∴a+c-2b+a-c=0,∴a-b=0,
∴a=b, ∴△ABC是等腰三角形. (4分)
(2)∵△ABC是等边三角形, (5分)
∴a=b=c>0,
∴原方程可化为2ax2+2ax=0,
∴x2+x=0,
∴解得x1=0,x2=-1. (8分)
20.解：(1)设BC=x m,则AB=(31-3x+2) m,
依题意,得x(31-3x+2)=90,
整理,得3x2-33x+90=0,
解得x1=6,x2=5.
当x=6时,31-3x+2=15,符合题意,
当x=5时,31-3x+2=18>15,不符合题意,舍去.
答:养鸡场的长为15 m,宽为6 m. (4分)
(2)不能. (5分)
理由:设BC=y m,则AB=(31-3y+2) m,
依题意,得y(31-3y+2)=100,
整理,得3y2-33y+100=0.
∵Δ=(-33)2-4×3×100=-111<0,
∴该方程无实数根,即小明家不能围建成一个100 m2的长方形养鸡场. (8分)
21.解：(1)是. (1分)
理由:Δ=(-2)2-4×2×1=4>0,故该方程有两个不相等的实数根.
解一元二次方程,得x1=,x2=. (2分)
∵-=1,
∴方程2x2-2x+1=0是“邻根方程”. (3分)
(2)解方程,得x=m或x=-1. (4分)
∵方程x2-(m-1)x-m=0(m是常数)是“邻根方程”,
∴|m-(-1)|=1,
∴m=-1+1或m=-1-1, (5分)
解得m=0或-2. (6分)
(3)解方程kx2+nx+2=0,得x=.
∵关于x的方程kx2+nx+2=0(k,n是常数,k>0)是“邻根方程”,
∴-=1,
∴n2=k2+8k.
∵t=n2-4k2,
∴t=-3k2+8k=-3(k-)2+.
∵(k-)2≥0,
∴-3(k-)2+≤,
∴t的最大值为. (10分)
22.解：(1)　2 (2分)
(2)设所求矩形的两边长分别是a和b,
由题意,得
消去b,得2a2-3a+2=0.
∵Δ=9-16=-7<0,
∴不存在满足要求的矩形B. (5分)
(3)当m,n满足(m-n)2-4mn≥0时,矩形B存在. (6分)
理由如下:
设所求矩形的两边长分别是p和q,由题意,得
消去q,得2p2-(m+n)p+mn=0, (8分)
∴Δ=[-(m+n)]2-8mn=(m-n)2-4mn.
当Δ≥0时,存在满足要求的矩形B,
即当(m-n)2-4mn≥0时,矩形B存在. (11分)
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