第18章 勾股定理单元测试题（含答案）
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2024沪科版数学八年级下学期
第18章 勾股定理
时间:60分钟 满分:100分
题号 一 二 三 评价
错题
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)
1.(2022·广西河池期末)如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍,那么斜边长扩大到原来的 ( )
A. 1倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍
2.(2022·安徽合肥期中)若3,4,a为勾股数,则a的值为 ( )
A. B. 5 C. 5或7 D. 5或
3.(2022·山东枣庄峄城区期中)一个底面为长方形的抽屉宽 dm,长2 dm,贴抽屉底面放一根木棒,那么这根木棒最长(不计木棒粗细)是 ( )
A. dm B. dm C. 6 dm D. 7 dm
4.(2022·安徽合肥瑶海区期末)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=2,BC=4,四边形ADEC是正方形,则正方形ADEC的面积是 ( )
A. 8 B. 16 C. 20 D. 25
(第4题) (第5题)
5.(2022·湖北咸宁咸安区期末)如图,网格中每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,以点A为圆心,AB的长为半径画弧,交最上方的网格线于点D,则CD的长为 ( )
A. -1 B. 3- C. 0.8 D.
6. (2022·山西大同期末)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中的“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何.意思是:如图,一根竹子,原高一丈(一丈=10尺),一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部3尺远,问折断处离地面的高度是多少.设折断处离地面的高度为 x尺,则可列方程为 ( )
A. x2-3=(10-x)2 B. x2-32=(10-x)2
C. x2+3=(10-x)2 D. x2+32=(10-x)2
7.如图所示,有一个由传感器控制的灯A,装在门上方离地4.5 m的墙上,任何东西只要移至该灯周围5 m及 5 m以内,灯就会自动发光.一个身高1.5 m的学生要走到离门多远的地方,灯刚好发光 ( )
A. 4 m B. 3 m C. 5 m D. 7 m
(第7题) (第8题)
8.(2022·广东珠海香洲区期末)如图,△ABC为直角三角形,斜边AC=4,以两条直角边为直径画出两个半圆,则两个半圆的面积之和为 ( )
A. 2π B. 4π C. 8π D. 16π
9.(2022·河南安阳段考)在学习“勾股数”的知识时,爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数,并将它们记录在如下的表格中.则当a=24时,b+c的值为 ( )
a 6 8 10 12 14 …
b 8 15 24 35 48 …
c 10 17 26 37 50 …
A. 250 B. 288 C. 300 D. 574
10.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点,过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,则PD+PE的长是 ( )
A. 3.8 B. 4.8或3.8
C. 4.8 D. 5
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)
11.(2022·江苏泰州中考)如图所示的象棋盘中,各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发,不走重复路线,按照“马走日”的规则,走两步后的落点与出发点间的最短距离为 .
12.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足关系+|a-b|=0,则△ABC的形状为 .
13.(2022·四川攀枝花段考)如图是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一条通过小圆孔到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)的取值范围是 .
14.(2022·安徽合肥模拟)如图,将一副三角尺叠放在一起,若AB=2 cm,则AF的长为 cm.
(第14题) (第15题)
15.(2022·福建泉州丰泽区模拟)如图,是由6个边长均为1的小正方形构造的网格图,则∠α+∠β= .
16.(2022·陕西西安联考改编)如图,一圆柱形的杯子的高为18 cm,底面周长为24 cm,在杯内壁(杯子的厚度忽略不计)离杯底4 cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为 cm.
选择填空题答题区
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
填空 11. 12. 13.
14. 15. 16.
三、解答题(本大题共6小题,满分52分)
17.(6分)(2022·河南邓州期末)如图,有一架秋千,当它静止时,踏板离地的垂直高度DE=1 m,将它往前推送4 m(水平距离BC=4 m)时,秋千的踏板离地的垂直高度BF=2 m,秋千的绳索始终拉得很直,求绳索AD的长度.
18.(8分)(2022·吉林长春朝阳区期末)如图,有一张四边形纸片ABCD,AB⊥B C. 经测得AB=9 cm,BC=12 cm,CD=8 cm,AD=17 cm.
(1)求A,C两点之间的距离.
(2)求这张纸片的面积.
19.(8分)(2022·江西赣州章贡区期末)如图,在一条东西走向的河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中AB=AC. 由于某些原因,由C到A的路现在已经不通了,该村为方便村民取水,决定在河边新建一个取水点H(A,H,B在一条直线上),并新修一条路CH,测得CB=3千米,CH=2.4千米,HB=1.8千米.
(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路,请通过计算加以说明.
(2)求新路CH比原路CA少多少千米.
20.(9分) (2022·陕西渭南华州区期末)阅读下面的材料,然后解答问题:我们新定义一种三角形,两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形.
(1)理解并填空:
①根据奇异三角形的定义,可知等边三角形 奇异三角形.(填“是”或“不是”)
②若某三角形的三边长分别为1,,2,则该三角形 (填“是”或“不是”)奇异三角形.
(2)探究:已知Rt△ABC的三边长分别是a,b,c,且a2=50,c2=100,则这个三角形是奇异三角形吗 请说明理由.
21.(10分)勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪灵感,他发现,当两个全等的直角三角形如图(1)或图(2)摆放时,都可以用“面积法”来证明勾股定理.下面是小聪利用图(1)证明勾股定理的过程.
如图(1),△ACB≌△DEA,∠DAB=90°,求证:a2+b2=c2.
证明:连接DB,DC,过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F,则DF=EC=b-a,则=S△ACD+S△ABC=b2+ab.
又=S△ADB+S△DCB=c2+a(b-a),
∴b2+ab=c2+a(b-a),
∴a2+b2=c2.
将两个全等的直角三角形按图(2)所示摆放,连接BE,其中∠DAB=90°.请参照上述证法,利用图(2)求证:a2+b2=c2.
图(1) 图(2)
22.(11分)(2022·河南开封期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5 cm,AC=3 cm,动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动,设运动的时间为t s.
(1)求BC边的长;
(2)当△ABP为直角三角形时,求t的值;
(3)当△ABP为等腰三角形时,求t的值.
第18章 勾股定理
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B B B C B D A A B C
11. 12.等腰直角三角形 13.12≤a≤13
14. 15.45° 16.20
1.B
2.B ①当a最大时,a==5.②当4最大时,a==,此时不是勾股数.
3.B ()2+22=(dm).
4.C 由勾股定理得,AC2=AB2+BC2=4+16=20,∴正方形ADEC的面积为20.
5.B 如图,连接AD,由题意知AD=AB=3,在Rt△AED中,由勾股定理得ED===,∴CD=CE-DE=3-.
6.D
7.A 如图,设身高为1.5 m的学生为CD,且点C到点A的距离为5 m.过点C作CE⊥AB于点E.由题意可知,BE=CD=1.5 m,AE=AB-BE=4.5-1.5=3(m),AC=5 m.由勾股定理得CE2=52-32=16,所以CE=4 m,所以BD=CE=4 m,故一个身高1.5 m的学生要走到离门4 m远的地方,灯刚好发光.
8.A 在Rt△ABC中,AB2+BC2=AC2,AC=4,∴S1+S2=π·(AB)2+π·(BC)2=πAB2+πBC2=π(AB2+BC2)=
π·AC2=π×42=2π.
9.B 从题表可知,b=()2-1,c=()2+1,即当a=24时,b=122-1=143,c=122+1=145,b+c=143+145=288.
10.C 如图,过点A作AF⊥BC于点F,连接AP.在△ABC中,∵AB=AC=5,BC=8,∴BF=4.在Rt△ABF中,由勾股定理,得AF==3.∵S△ABC=S△ABP+S△APC,∴×8×3=×5PD+×5PE,即12=×5(PD+PE),则PD+PE=4.8.故选C.
11. 示意图如图,当“马”第一步走到位置①,第二步走到位置②时,走两步后的落点与出发点间的距离最短,为=.
12.等腰直角三角形 由+|a-b|=0,得c2-a2-b2=0,且a-b=0,即a2+b2= c2,a=b,∴△ABC是等腰直角三角形.
13.12≤a≤13 如图,设点O是下底面的中心,点A是下底面的边缘上的一点,点B是上底面的中心,当吸管底部在O点时,吸管在罐内部分a的长度最短,此时a的长等于饮料罐的高,即a=12.当吸管底部在A点时,吸管在罐内部分a的长度最长,此时a的长等于线段AB的长,在Rt△ABO中,AB2=AO2+BO2=52+122=132,所以AB=13,此时a=13.综上,a的长度的取值范围是12≤a≤13.
14. 在Rt△ABC中,AB=2 cm,∠B=30°,∴AC=AB=1 cm.∵BC∥DE,∴∠AFC=∠D=45°,∴△ACF为等腰 直角三
角形,∴CF=AC=1,∴AF==(cm).
15.45° 如图,连接EB,EC,由勾股定理得,EB2=12+22=5,EC2=12+22=5,BC2=12+32=10,∴EB2+EC2=BC2,EB=EC,∴△EBC是等腰直角三角形,∴∠EBC=45°.由题意得△BME≌△ANC,∴∠α=∠EBA,∴∠α+∠β=∠EBA+∠β=∠EBC=45°.
16.20 将杯子抽象成几何图形(圆柱),并将该圆柱的侧面展开,示意图如图所示.作A关于EH的对称点A',连接A'B,交EH于点F,则A'B的长即为最短距离.在Rt△A'DB中,由勾股定理得A'B===20(cm).
17.解：在Rt△ACB中,BC=4 m,AC2+BC2=AB2.易知CD=CE-DE=BF-DE=1 m,
设AD=x m,则AC=(x-1)m,AB=x m,
故x2=(x-1)2+42,
解得x=8.5.
故绳索AD的长度是8.5 m. (6分)
18.解：(1)连接AC,如图.
在Rt△ABC中,AB⊥BC,
AB=9 cm,BC=12 cm,
∴AC===15(cm).
故A,C两点之间的距离为15 cm. (4分)
(2)∵CD2+AC2=82+152=172=AD2,∴∠ACD=90°,
∴四边形纸片ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=AB·BC+AC·CD=×9×12+×15×8=54+60=114(cm2).
故这张纸片的面积为114 cm2. (8分)
19.解：(1)是.理由如下:
在△CHB中,∵CH2+BH2=2.42+1.82=9,BC2=9,
∴CH2+BH2=BC2,∴CH⊥AB,
∴CH是从村庄C到河边的最近路. (4分)
(2)设AC=x千米,则AH=(x-1.8)千米.
由(1)及勾股定理得AC2=AH2+CH2,
∴x2=(x-1.8)2+2.42,解得x=2.5.
∴AC-CH=2.5-2.4=0.1.
∴新路CH比原路CA少0.1千米. (8分)
20.解：(1)①是 (2分)
②是 (4分)
(2)当c为斜边长时,Rt△ABC不是奇异三角形;
当b为斜边长时,Rt△ABC是奇异三角形. (6分)
理由:当c为斜边长时,b2=c2-a2=100-50=50,
则a2+c2≠2b2,b2+c2≠2a2,
∴Rt△ABC不是奇异三角形.
当b为斜边长时,b2=a2+c2=150,
则a2+b2=50+150=200=2c2,
∴Rt△ABC是奇异三角形.
综上所述,当c为斜边长时,Rt△ABC不是奇异三角形;当b为斜边长时,Rt△ABC是奇异三角形. (9分)
21.证明：证法一:如图,连接BD,过点B作BF⊥DE交DE的延长线于点F,则BF=b-a. (2分)
∵S四边形ABED=S△ABE+S△ADE=b2+ab,
S四边形ABED=S△ABD+S△BDE=c2+a(b-a),(6分)
∴b2+ab=c2+a(b-a), (9分)
∴a2+b2=c2. (10分)
证法二:连接BD,过点B作DE边上的高BF,可得BF=b-a, (2分)
∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab, (4分)
且S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a·(b-a), (6分)
∴ab+b2+ab=ab+c2+a(b-a), (9分)
∴a2+b2=c2. (10分)
22.解：(1)∵∠ACB=90°,
∴在Rt△ABC中,BC2=AB2-AC2=52-32=16,
∴BC=4 cm. (3分)
(2)由题意知BP=t cm,
①如图(1),当∠APB为直角时,点P与点C重合,BP=BC=4 cm,即t=4; (5分)
②如图(2),当∠BAP为直角时,CP=(t-4) cm,
在Rt△ACP中,AP2=32+(t-4)2,
在Rt△BAP中,AB2+AP2=BP2,
即52+[32+(t-4)2]=t2,解得t=.
综上所述,当△ABP为直角三角形时,t=4或t=. (8分)
图(1) 图(2)
(3)①如图(3),当BP=AB时,t=5;
②如图(4),当AB=AP时,BP=2BC=8 cm,
∴t=8;
③如图(5),当BP=AP时,AP=BP=t cm,CP=(4-t)cm,
在Rt△ACP中,AP2=AC2+CP2,即t2=32+(4-t)2,解得t=.
综上所述,当△ABP为等腰三角形时,t=5或t=8或t=.(11分)
图(3) 图(4) 图(5)
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2024沪科版数学八年级下学期
第18章 勾股定理
时间:60分钟 满分:100分
题号 一 二 三 评价
错题
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)
1.(2022·广西河池期末)如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍,那么斜边长扩大到原来的 ( )
A. 1倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍
2.(2022·安徽合肥期中)若3,4,a为勾股数,则a的值为 ( )
A. B. 5 C. 5或7 D. 5或
3.(2022·山东枣庄峄城区期中)一个底面为长方形的抽屉宽 dm,长2 dm,贴抽屉底面放一根木棒,那么这根木棒最长(不计木棒粗细)是 ( )
A. dm B. dm C. 6 dm D. 7 dm
4.(2022·安徽合肥瑶海区期末)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=2,BC=4,四边形ADEC是正方形,则正方形ADEC的面积是 ( )
A. 8 B. 16 C. 20 D. 25
(第4题) (第5题)
5.(2022·湖北咸宁咸安区期末)如图,网格中每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,以点A为圆心,AB的长为半径画弧,交最上方的网格线于点D,则CD的长为 ( )
A. -1 B. 3- C. 0.8 D.
6. (2022·山西大同期末)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中的“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何.意思是:如图,一根竹子,原高一丈(一丈=10尺),一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部3尺远,问折断处离地面的高度是多少.设折断处离地面的高度为 x尺,则可列方程为 ( )
A. x2-3=(10-x)2 B. x2-32=(10-x)2
C. x2+3=(10-x)2 D. x2+32=(10-x)2
7.如图所示,有一个由传感器控制的灯A,装在门上方离地4.5 m的墙上,任何东西只要移至该灯周围5 m及 5 m以内,灯就会自动发光.一个身高1.5 m的学生要走到离门多远的地方,灯刚好发光 ( )
A. 4 m B. 3 m C. 5 m D. 7 m
(第7题) (第8题)
8.(2022·广东珠海香洲区期末)如图,△ABC为直角三角形,斜边AC=4,以两条直角边为直径画出两个半圆,则两个半圆的面积之和为 ( )
A. 2π B. 4π C. 8π D. 16π
9.(2022·河南安阳段考)在学习“勾股数”的知识时,爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数,并将它们记录在如下的表格中.则当a=24时,b+c的值为 ( )
a 6 8 10 12 14 …
b 8 15 24 35 48 …
c 10 17 26 37 50 …
A. 250 B. 288 C. 300 D. 574
10.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点,过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,则PD+PE的长是 ( )
A. 3.8 B. 4.8或3.8
C. 4.8 D. 5
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)
11.(2022·江苏泰州中考)如图所示的象棋盘中,各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发,不走重复路线,按照“马走日”的规则,走两步后的落点与出发点间的最短距离为 .
12.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足关系+|a-b|=0,则△ABC的形状为 .
13.(2022·四川攀枝花段考)如图是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一条通过小圆孔到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)的取值范围是 .
14.(2022·安徽合肥模拟)如图,将一副三角尺叠放在一起,若AB=2 cm,则AF的长为 cm.
(第14题) (第15题)
15.(2022·福建泉州丰泽区模拟)如图,是由6个边长均为1的小正方形构造的网格图,则∠α+∠β= .
16.(2022·陕西西安联考改编)如图,一圆柱形的杯子的高为18 cm,底面周长为24 cm,在杯内壁(杯子的厚度忽略不计)离杯底4 cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为 cm.
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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填空 11. 12. 13.
14. 15. 16.
三、解答题(本大题共6小题,满分52分)
17.(6分)(2022·河南邓州期末)如图,有一架秋千,当它静止时,踏板离地的垂直高度DE=1 m,将它往前推送4 m(水平距离BC=4 m)时,秋千的踏板离地的垂直高度BF=2 m,秋千的绳索始终拉得很直,求绳索AD的长度.
18.(8分)(2022·吉林长春朝阳区期末)如图,有一张四边形纸片ABCD,AB⊥B C. 经测得AB=9 cm,BC=12 cm,CD=8 cm,AD=17 cm.
(1)求A,C两点之间的距离.
(2)求这张纸片的面积.
19.(8分)(2022·江西赣州章贡区期末)如图,在一条东西走向的河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中AB=AC. 由于某些原因,由C到A的路现在已经不通了,该村为方便村民取水,决定在河边新建一个取水点H(A,H,B在一条直线上),并新修一条路CH,测得CB=3千米,CH=2.4千米,HB=1.8千米.
(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路,请通过计算加以说明.
(2)求新路CH比原路CA少多少千米.
20.(9分) (2022·陕西渭南华州区期末)阅读下面的材料,然后解答问题:我们新定义一种三角形,两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形.
(1)理解并填空:
①根据奇异三角形的定义,可知等边三角形 奇异三角形.(填“是”或“不是”)
②若某三角形的三边长分别为1,,2,则该三角形 (填“是”或“不是”)奇异三角形.
(2)探究:已知Rt△ABC的三边长分别是a,b,c,且a2=50,c2=100,则这个三角形是奇异三角形吗 请说明理由.
21.(10分)勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪灵感,他发现,当两个全等的直角三角形如图(1)或图(2)摆放时,都可以用“面积法”来证明勾股定理.下面是小聪利用图(1)证明勾股定理的过程.
如图(1),△ACB≌△DEA,∠DAB=90°,求证:a2+b2=c2.
证明:连接DB,DC,过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F,则DF=EC=b-a,则=S△ACD+S△ABC=b2+ab.
又=S△ADB+S△DCB=c2+a(b-a),
∴b2+ab=c2+a(b-a),
∴a2+b2=c2.
将两个全等的直角三角形按图(2)所示摆放,连接BE,其中∠DAB=90°.请参照上述证法,利用图(2)求证:a2+b2=c2.
图(1) 图(2)
22.(11分)(2022·河南开封期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5 cm,AC=3 cm,动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动,设运动的时间为t s.
(1)求BC边的长;
(2)当△ABP为直角三角形时,求t的值;
(3)当△ABP为等腰三角形时,求t的值.
第18章 勾股定理
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B B B C B D A A B C
11. 12.等腰直角三角形 13.12≤a≤13
14. 15.45° 16.20
1.B
2.B ①当a最大时,a==5.②当4最大时,a==,此时不是勾股数.
3.B ()2+22=(dm).
4.C 由勾股定理得,AC2=AB2+BC2=4+16=20,∴正方形ADEC的面积为20.
5.B 如图,连接AD,由题意知AD=AB=3,在Rt△AED中,由勾股定理得ED===,∴CD=CE-DE=3-.
6.D
7.A 如图,设身高为1.5 m的学生为CD,且点C到点A的距离为5 m.过点C作CE⊥AB于点E.由题意可知,BE=CD=1.5 m,AE=AB-BE=4.5-1.5=3(m),AC=5 m.由勾股定理得CE2=52-32=16,所以CE=4 m,所以BD=CE=4 m,故一个身高1.5 m的学生要走到离门4 m远的地方,灯刚好发光.
8.A 在Rt△ABC中,AB2+BC2=AC2,AC=4,∴S1+S2=π·(AB)2+π·(BC)2=πAB2+πBC2=π(AB2+BC2)=
π·AC2=π×42=2π.
9.B 从题表可知,b=()2-1,c=()2+1,即当a=24时,b=122-1=143,c=122+1=145,b+c=143+145=288.
10.C 如图,过点A作AF⊥BC于点F,连接AP.在△ABC中,∵AB=AC=5,BC=8,∴BF=4.在Rt△ABF中,由勾股定理,得AF==3.∵S△ABC=S△ABP+S△APC,∴×8×3=×5PD+×5PE,即12=×5(PD+PE),则PD+PE=4.8.故选C.
11. 示意图如图,当“马”第一步走到位置①,第二步走到位置②时,走两步后的落点与出发点间的距离最短,为=.
12.等腰直角三角形 由+|a-b|=0,得c2-a2-b2=0,且a-b=0,即a2+b2= c2,a=b,∴△ABC是等腰直角三角形.
13.12≤a≤13 如图,设点O是下底面的中心,点A是下底面的边缘上的一点,点B是上底面的中心,当吸管底部在O点时,吸管在罐内部分a的长度最短,此时a的长等于饮料罐的高,即a=12.当吸管底部在A点时,吸管在罐内部分a的长度最长,此时a的长等于线段AB的长,在Rt△ABO中,AB2=AO2+BO2=52+122=132,所以AB=13,此时a=13.综上,a的长度的取值范围是12≤a≤13.
14. 在Rt△ABC中,AB=2 cm,∠B=30°,∴AC=AB=1 cm.∵BC∥DE,∴∠AFC=∠D=45°,∴△ACF为等腰 直角三
角形,∴CF=AC=1,∴AF==(cm).
15.45° 如图,连接EB,EC,由勾股定理得,EB2=12+22=5,EC2=12+22=5,BC2=12+32=10,∴EB2+EC2=BC2,EB=EC,∴△EBC是等腰直角三角形,∴∠EBC=45°.由题意得△BME≌△ANC,∴∠α=∠EBA,∴∠α+∠β=∠EBA+∠β=∠EBC=45°.
16.20 将杯子抽象成几何图形(圆柱),并将该圆柱的侧面展开,示意图如图所示.作A关于EH的对称点A',连接A'B,交EH于点F,则A'B的长即为最短距离.在Rt△A'DB中,由勾股定理得A'B===20(cm).
17.解：在Rt△ACB中,BC=4 m,AC2+BC2=AB2.易知CD=CE-DE=BF-DE=1 m,
设AD=x m,则AC=(x-1)m,AB=x m,
故x2=(x-1)2+42,
解得x=8.5.
故绳索AD的长度是8.5 m. (6分)
18.解：(1)连接AC,如图.
在Rt△ABC中,AB⊥BC,
AB=9 cm,BC=12 cm,
∴AC===15(cm).
故A,C两点之间的距离为15 cm. (4分)
(2)∵CD2+AC2=82+152=172=AD2,∴∠ACD=90°,
∴四边形纸片ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=AB·BC+AC·CD=×9×12+×15×8=54+60=114(cm2).
故这张纸片的面积为114 cm2. (8分)
19.解：(1)是.理由如下:
在△CHB中,∵CH2+BH2=2.42+1.82=9,BC2=9,
∴CH2+BH2=BC2,∴CH⊥AB,
∴CH是从村庄C到河边的最近路. (4分)
(2)设AC=x千米,则AH=(x-1.8)千米.
由(1)及勾股定理得AC2=AH2+CH2,
∴x2=(x-1.8)2+2.42,解得x=2.5.
∴AC-CH=2.5-2.4=0.1.
∴新路CH比原路CA少0.1千米. (8分)
20.解：(1)①是 (2分)
②是 (4分)
(2)当c为斜边长时,Rt△ABC不是奇异三角形;
当b为斜边长时,Rt△ABC是奇异三角形. (6分)
理由:当c为斜边长时,b2=c2-a2=100-50=50,
则a2+c2≠2b2,b2+c2≠2a2,
∴Rt△ABC不是奇异三角形.
当b为斜边长时,b2=a2+c2=150,
则a2+b2=50+150=200=2c2,
∴Rt△ABC是奇异三角形.
综上所述,当c为斜边长时,Rt△ABC不是奇异三角形;当b为斜边长时,Rt△ABC是奇异三角形. (9分)
21.证明：证法一:如图,连接BD,过点B作BF⊥DE交DE的延长线于点F,则BF=b-a. (2分)
∵S四边形ABED=S△ABE+S△ADE=b2+ab,
S四边形ABED=S△ABD+S△BDE=c2+a(b-a),(6分)
∴b2+ab=c2+a(b-a), (9分)
∴a2+b2=c2. (10分)
证法二:连接BD,过点B作DE边上的高BF,可得BF=b-a, (2分)
∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab, (4分)
且S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a·(b-a), (6分)
∴ab+b2+ab=ab+c2+a(b-a), (9分)
∴a2+b2=c2. (10分)
22.解：(1)∵∠ACB=90°,
∴在Rt△ABC中,BC2=AB2-AC2=52-32=16,
∴BC=4 cm. (3分)
(2)由题意知BP=t cm,
①如图(1),当∠APB为直角时,点P与点C重合,BP=BC=4 cm,即t=4; (5分)
②如图(2),当∠BAP为直角时,CP=(t-4) cm,
在Rt△ACP中,AP2=32+(t-4)2,
在Rt△BAP中,AB2+AP2=BP2,
即52+[32+(t-4)2]=t2,解得t=.
综上所述,当△ABP为直角三角形时,t=4或t=. (8分)
图(1) 图(2)
(3)①如图(3),当BP=AB时,t=5;
②如图(4),当AB=AP时,BP=2BC=8 cm,
∴t=8;
③如图(5),当BP=AP时,AP=BP=t cm,CP=(4-t)cm,
在Rt△ACP中,AP2=AC2+CP2,即t2=32+(4-t)2,解得t=.
综上所述,当△ABP为等腰三角形时,t=5或t=8或t=.(11分)
图(3) 图(4) 图(5)
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