第十七章 勾股定理单元测试卷（含答案）
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2024年人教版数学八年级下学期测
第十七章 勾股定理
时间:60分钟 满分:100分
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)
1.如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍,那么斜边长扩大到原来的 ( )
A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍
2.(2022·山东青岛城阳区期末)下列各组数据中,不能作为直角三角形边长的是 ( )
A.3,5,7 B.6,8,10
C.5,12,13 D.1,,2
3.(2021·四川自贡中考)如图,A(8,0),C(-2,0),以点A为圆心,AC长为半径画弧,交y轴正半轴于点B,则点B的坐标为 ( )
A.(0,5) B.(5,0)
C.(6,0) D.(0,6)
(第3题) (第4题)
4.(2022·安徽合肥瑶海区期末)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=2,BC=4,四边形ADEC是正方形,则正方形ADEC的面积是 ( )
A.8 B.16 C.20 D.25
5.(2022·北京西城区期末)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,下列条件中,能判定△ABC是直角三角形的是 ( )
A.a2=(c-b)(c+b)
B.a=1,b=2,c=3
C.∠A=∠C
D.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
6.(2022·山西大同期末)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中的“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何.意思是:如图,一根竹子,原高一丈(一丈=10尺),一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部3尺远,问折断处离地面的高度是多少.设折断处离地面的高度为x尺,则可列方程为 ( )
A.x2-3=(10-x)2 B.x2-32=(10-x)2
C.x2+3=(10-x)2 D.x2+32=(10-x)2
(第6题) (第7题)
7.如图所示,有一个由传感器控制的灯A,装在门上方离地4.5 m的墙上,任何东西只要移至该灯周围5 m及5 m以内,灯就会自动发光.一个身高1.5 m的学生要走到离门多远的地方,灯刚好发光. ( )
A.4 m B.3 m C.5 m D.7 m
8.(2022·广东珠海香洲区期末)如图,△ABC为直角三角形,斜边AC=4,以两条直角边为直径构成两个半圆,则两个半圆的面积之和为 ( )
A.2π B.4π C.8π D.16π
(第8题) (第9题)
9.(2021·湖北武汉武昌区期中)在学习“勾股数”的知识时,爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数,并将它们记录在如下的表格中,则当a=24时,b+c的值为 ( )
a 6 8 10 12 14 …
b 8 15 24 35 48 …
c 10 17 26 37 50 …
A.250 B.288 C.300 D.574
10.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点,过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,则PD+PE的长是 ( )
A.3.8 B.4.8或3.8
C.4.8 D.5
二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
11.(2022·广东中山一模)在平面直角坐标系中,点(3,-2)到原点的距离是 .
12.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足关系+|a-b|=0,则△ABC的形状为 .
13.(2022·北京朝阳区二模)如图所示的网格是正方形网格,网格中三条线段的端点均是格点,以这三条线段为边的三角形是 三角形(填“锐角”“直角”或“钝角”).
(第13题) (第14题)
14.(2022·安徽合肥模拟)如图,将一副三角尺叠放在一起,若AB=2 cm,则AF的长
为 cm.
15.在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题:“今有开门去阃(kǔn)一尺,不合二寸,问门广几何.”大意是说:如图,推开两扇门(AD和BC),门边缘D,C两点到门槛AB的距离为1尺(1尺=10寸),两扇门间的缝隙CD为2寸,那么门的宽度(两扇门宽度的和)AB为 .
(第14题) (第15题)
16.(2021·广东深圳期末)如图,一圆柱形的杯子的高为18 cm,底面周长为24 cm,在杯内壁(杯子的厚度忽略不计)离杯底4 cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为 .
三、解答题(共6小题,共52分)
17.(6分)(2022·北京朝阳区期末)如图,在四边形ABCD中,BC=CD,∠ADB=∠C=90°,∠A=60°,AB=2.求CD的长.
18.(6分)(2022·重庆江津区期末)“儿童散学归来早,忙趁东风放纸鸢”.又到了放风筝的最佳时节,松松同学在学习了“勾股定理”这一章节之后,为了计算如图所示的风筝的垂直高度CE,他测得以下数据:
①水平距离BD的长为8米;
②由手中剩余线的长度得出风筝线BC的长为17米;
③牵线放风筝的松松身高1.6米.
(1)求风筝的垂直高度CE;
(2)若松松同学想风筝沿CD方向下降9米,则他应该往回收线多少米
19.(7分)(2021·四川师大一中期末)如图,在一条东西走向的河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中AB=AC.由于某些原因,由C到A的路现在已经不通了,该村为方便村民取水,决定在河边新建一个取水点H(A,H,B在一条直线上),并新修一条路CH,测得CB=3千米,CH=2.4千米,HB=1.8千米.
(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路,请通过计算加以说明;
(2)求新路CH比原路CA少多少千米.
20.(10分)(2022·陕西渭南华州区期末)阅读下面的材料,然后解答问题:我们新定义一种三角形,两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形.
(1)理解并填空:
①根据奇异三角形的定义,请你判断:等边三角形一定 奇异三角形.(填“是”或“不是”)
②若某三角形的三边长分别为1,,2,则该三角形 (填“是”或“不是”)奇异三角形.
(2)探究:在Rt△ABC,两边长分别是a,c,且a2=50,c2=100,则这个三角形是否是奇异三角形 请说明理由.
21.(11分)勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪灵感,他发现,当两个全等的直角三角形如图(1)或图(2)摆放时,都可以用“面积法”来证明勾股定理.下面是小聪利用图(1)证明勾股定理的过程.
如图(1),△ACB≌△DEA,∠DAB=90°,求证:a2+b2=c2.
证明:连接DB,DC,过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F,则DF=EC=b-a,则=S△ACD+S△ABC=b2+ab.
又=S△ADB+S△DCB=c2+a(b-a),
∴b2+ab=c2+a(b-a),
∴a2+b2=c2.
请参照上述证法,利用图(2)进行证明.
将两个全等的直角三角形按图(2)所示摆放,其中∠DAB=90°,连接BE.求证:a2+b2=c2.
图(1) 图(2)
22.(12分)(2022·河南南阳期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5 cm,AC=3 cm,动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动,设运动的时间为t s.
(1)求BC边的长;
(2)当△ABP为直角三角形时,求t的值;
(3)当△ABP为等腰三角形时,求t的值.
第十七章 勾股定理·B卷
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B A D C A D A A B C
11. 12.等腰直角三角形 13.直角
14. 15.101寸 16.20 cm
1.B
2.A 32+52≠72,62+82=102,52+122=132,12+()2=22,故选A.
3.D 根据题意可得AB=AC=10,OA=8.在Rt△AOB中,OB==6.∴B(0,6).
4.C 由勾股定理得,AC2=AB2+BC2=4+16=20，∴正方形ADEC的面积为20.
5.A ∵a2=(c-b)(c+b),∴a2=c2-b2,∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形,故A选项符合题意;∵12+22=1+4=5,32=9,∴12+22≠32,∴△ABC不是直角三角形,故B选项不符合题意;∵∠A=∠C,∴△ABC是等腰三角形,不一定是直角三角形,故C选项不符合题意;∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,∠A+∠B+∠C=180°,∴最大角∠C=×180°=75°<90°,∴△ABC不是直角三角形,故D选项不符合题意.
6.D 因为竹子折断处离地面x尺,所以斜边长为(10-x)尺,根据勾股定理得x2+32=(10-x)2.
7.A 如图,设身高为1.5 m的学生为CD,且点C到点A的距离为5 m.过点C作CE⊥AB于点E.由题意可知,BE=CD=1.5 m,AE=AB-BE=4.5-1.5=3(m),AC=5 m.由勾股定理得CE2=52-32=16,所以CE=4 m,所以BD=CE=4 m,故一个身高1.5 m的学生要走到离门4 m远的地方,灯刚好发光.
8.A 在△ABC中,AB2+BC2=AC2,AC=4,∴S1+S2=π·(AB)2+π·(BC)2=πAB2+πBC2=
π(AB2+BC2)=πAC2=π×42=2π.故选A.
9.B 从题表可知,b=()2-1,c=()2+1,即当a=24时,b=122-1=143,c=122+1=145,b+c=
143+145=288.
一题多解
由题表可得如下规律:当a=6时,b+c=18=3a,当a=8时,b+c=32=4a,当a=10时,b+c=50=5a,…,所以当a=24时,b+c=(24÷2)a=12×24=288.
10.C 如图,过点A作AF⊥BC于点F,连接AP.在△ABC中,∵AB=AC=5,BC=8,∴BF=4.在Rt△ABF中,由勾股定理,得AF==3.∵S△ABC=S△ABP+S△APC,∴×8×3=×5PD+×5PE,即12=×5(PD+PE),则PD+PE=4.8.故选C.
11. ∵点(3,-2)到两坐标轴的距离分别是3,2,∴点(3,-2)到原点的距离是=.
12.等腰直角三角形 由+|a-b|=0,得c2-a2-b2=0,且a-b=0,即a2+b2= c2,a=b,∴△ABC是等腰直角三角形.
13.直角 ∵=,=2,()2+(2)2=52,∴以这三条线段为边的三角形是直角三角形.
14. 在Rt△ABC中,AB=2 cm,∠B=30°,∴AC=AB=1 cm.∵BC∥DE,∴∠AFC=
∠D=45°,∴△ACF为等腰直角三角形,∴AF==(cm).
15.101寸 设OA=OB=AD=BC=r寸,如图,过点D作DE⊥AB于点E,则DE=10寸,
OE=CD=1寸,AE=(r-1)寸.在Rt△ADE中,AE2+DE2=AD2,即(r-1)2+102=r2,解得2r=101.故门的宽度(两扇门宽度的和)AB为101寸.
16.20 cm
图示速解
将杯子抽象成几何图形(圆柱),并将该圆柱的侧面展开,示意图如图所示.作A关于EH的对称点A',连接A'B,交EH于F,则A'B的长即为最短距离.在Rt△A'DB中,由勾股定理得A'B===20(cm).
17.【参考答案】∵∠ADB=90°,∠A=60°,
∴∠ABD=30°,∴AD=AB.
∵AB=2,∴AD=,
∴BD===3. (3分)
∵∠C=90°,∴CD2+BC2=BD2.
∵BC=CD,∴2CD2=(3)2,
解得CD=3或-3(不符合题意,舍去),
∴CD的长为3. (6分)
18.【参考答案】(1)在Rt△CDB中,
由勾股定理得,CD2=BC2-BD2=172-82=225.
∵CD>0,∴CD=15,
∴CE=CD+DE=15+1.6=16.6.
答:风筝的垂直高度CE为16.6米. (3分)
(2)如图,在线段CD上找一点M,使CM=9,∴DM=6,连接BM.
在Rt△BDM中,BM===10.
∴BC-BM=7,
∴他应该往回收线7米. (6分)
19.【解题思路】(1)先根据勾股定理的逆定理说明CH⊥AB, 即可做出判断;(2)设AC=x千米,借助勾股定理建立方程求解,再计算CA与CH的差即可.
【参考答案】(1)是.
理由:在△CHB中,∵CH2+BH2=2.42+1.82=9,BC2=9,
∴CH2+BH2=BC2,∴CH⊥AB,
∴CH是从村庄C到河边的最近路. (3分)
(2)设AC=x千米,则AH=(x-1.8)千米.
由(1)及勾股定理得AC2=AH2+CH2,
∴x2=(x-1.8)2+2.42,解得x=2.5.
∴AC-CH=2.5-2.4=0.1(千米).
∴新路CH比原路CA少0.1千米. (7分)
20.【参考答案】(1)①是 (2分)
解法提示:设等边三角形的边长为a,则a2+a2=2a2,
∴等边三角形一定是奇异三角形.
②是 (4分)
解法提示:∵12+()2=8,2×22=8,∴12+()2=2×22,
∴该三角形是奇异三角形.
(2)当c为斜边时,Rt△ABC不是奇异三角形;
当b为斜边时,Rt△ABC是奇异三角形. (6分)
理由:当c为斜边时,则b2=c2-a2=100-50=50,
则a2+b2≠2c2,a2+c2≠2b2,
∴Rt△ABC不是奇异三角形.
当b为斜边时,b2=a2+c2=150,
则有a2+b2=50+150=200=2c2,
∴Rt△ABC是奇异三角形.
综上所述,当c为斜边时,Rt△ABC不是奇异三角形;当b为斜边时,Rt△ABC是奇异三角形. (10分)
21.【解题思路】连接BD,过点B作BF⊥DE交DE的延长线于点F,利用等面积法证明即可.
【参考答案】证明:如图,连接BD,过点B作BF⊥DE交DE的延长线于点F,则BF=b-a. (2分)
∵S四边形ABED=S△ABE+S△ADE=b2+ab,
S四边形ABED=S△ABD+S△BDE=c2+a(b-a), (6分)
∴b2+ab=c2+a(b-a), (9分)
∴a2+b2=c2. (11分)
一题多解
证明:连接BD,过点B作DE边上的高BF,可得BF=b-a, (2分)
∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab, (4分)
且S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a·(b-a), (6分)
∴ab+b2+ab=ab+c2+a(b-a), (9分)
∴a2+b2=c2. (11分)
22.
思路导图
【参考答案】(1)∵∠ACB=90°,
∴在Rt△ABC中,BC2=AB2-AC2=52-32=16,
∴BC=4 cm. (3分)
(2)由题意知BP=t cm,
①如图(1),当∠APB为直角时,点P与点C重合,BP=BC=4 cm,即t=4; (5分)
图(1) 图(2)
②如图(2),当∠BAP为直角时,CP=(t-4) cm,
在Rt△ACP中,AP2=32+(t-4)2,
在Rt△BAP中,AB2+AP2=BP2,
即52+[32+(t-4)2]=t2,
解得t=.
综上所述,当△ABP为直角三角形时,t=4或t=. (8分)
(3)①如图(3),当BP=AB时,t=5;
②如图(4),当AB=AP时,BP=2BC=8 cm,
∴t=8;
③如图(5),当BP=AP时,AP=BP=t cm,CP=(4-t)cm,
在Rt△ACP中,AP2=AC2+CP2,即t2=32+(4-t)2,
解得t=.
综上所述,当△ABP为等腰三角形时,t=5或t=8或t=. (12分)
图(3) 图(4) 图(5)
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2024年人教版数学八年级下学期测
第十七章 勾股定理
时间:60分钟 满分:100分
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)
1.如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍,那么斜边长扩大到原来的 ( )
A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍
2.(2022·山东青岛城阳区期末)下列各组数据中,不能作为直角三角形边长的是 ( )
A.3,5,7 B.6,8,10
C.5,12,13 D.1,,2
3.(2021·四川自贡中考)如图,A(8,0),C(-2,0),以点A为圆心,AC长为半径画弧,交y轴正半轴于点B,则点B的坐标为 ( )
A.(0,5) B.(5,0)
C.(6,0) D.(0,6)
(第3题) (第4题)
4.(2022·安徽合肥瑶海区期末)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=2,BC=4,四边形ADEC是正方形,则正方形ADEC的面积是 ( )
A.8 B.16 C.20 D.25
5.(2022·北京西城区期末)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,下列条件中,能判定△ABC是直角三角形的是 ( )
A.a2=(c-b)(c+b)
B.a=1,b=2,c=3
C.∠A=∠C
D.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
6.(2022·山西大同期末)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中的“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何.意思是:如图,一根竹子,原高一丈(一丈=10尺),一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部3尺远,问折断处离地面的高度是多少.设折断处离地面的高度为x尺,则可列方程为 ( )
A.x2-3=(10-x)2 B.x2-32=(10-x)2
C.x2+3=(10-x)2 D.x2+32=(10-x)2
(第6题) (第7题)
7.如图所示,有一个由传感器控制的灯A,装在门上方离地4.5 m的墙上,任何东西只要移至该灯周围5 m及5 m以内,灯就会自动发光.一个身高1.5 m的学生要走到离门多远的地方,灯刚好发光. ( )
A.4 m B.3 m C.5 m D.7 m
8.(2022·广东珠海香洲区期末)如图,△ABC为直角三角形,斜边AC=4,以两条直角边为直径构成两个半圆,则两个半圆的面积之和为 ( )
A.2π B.4π C.8π D.16π
(第8题) (第9题)
9.(2021·湖北武汉武昌区期中)在学习“勾股数”的知识时,爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数,并将它们记录在如下的表格中,则当a=24时,b+c的值为 ( )
a 6 8 10 12 14 …
b 8 15 24 35 48 …
c 10 17 26 37 50 …
A.250 B.288 C.300 D.574
10.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点,过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,则PD+PE的长是 ( )
A.3.8 B.4.8或3.8
C.4.8 D.5
二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
11.(2022·广东中山一模)在平面直角坐标系中,点(3,-2)到原点的距离是 .
12.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足关系+|a-b|=0,则△ABC的形状为 .
13.(2022·北京朝阳区二模)如图所示的网格是正方形网格,网格中三条线段的端点均是格点,以这三条线段为边的三角形是 三角形(填“锐角”“直角”或“钝角”).
(第13题) (第14题)
14.(2022·安徽合肥模拟)如图,将一副三角尺叠放在一起,若AB=2 cm,则AF的长
为 cm.
15.在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题:“今有开门去阃(kǔn)一尺,不合二寸,问门广几何.”大意是说:如图,推开两扇门(AD和BC),门边缘D,C两点到门槛AB的距离为1尺(1尺=10寸),两扇门间的缝隙CD为2寸,那么门的宽度(两扇门宽度的和)AB为 .
(第14题) (第15题)
16.(2021·广东深圳期末)如图,一圆柱形的杯子的高为18 cm,底面周长为24 cm,在杯内壁(杯子的厚度忽略不计)离杯底4 cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为 .
三、解答题(共6小题,共52分)
17.(6分)(2022·北京朝阳区期末)如图,在四边形ABCD中,BC=CD,∠ADB=∠C=90°,∠A=60°,AB=2.求CD的长.
18.(6分)(2022·重庆江津区期末)“儿童散学归来早,忙趁东风放纸鸢”.又到了放风筝的最佳时节,松松同学在学习了“勾股定理”这一章节之后,为了计算如图所示的风筝的垂直高度CE,他测得以下数据:
①水平距离BD的长为8米;
②由手中剩余线的长度得出风筝线BC的长为17米;
③牵线放风筝的松松身高1.6米.
(1)求风筝的垂直高度CE;
(2)若松松同学想风筝沿CD方向下降9米,则他应该往回收线多少米
19.(7分)(2021·四川师大一中期末)如图,在一条东西走向的河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中AB=AC.由于某些原因,由C到A的路现在已经不通了,该村为方便村民取水,决定在河边新建一个取水点H(A,H,B在一条直线上),并新修一条路CH,测得CB=3千米,CH=2.4千米,HB=1.8千米.
(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路,请通过计算加以说明;
(2)求新路CH比原路CA少多少千米.
20.(10分)(2022·陕西渭南华州区期末)阅读下面的材料,然后解答问题:我们新定义一种三角形,两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形.
(1)理解并填空:
①根据奇异三角形的定义,请你判断:等边三角形一定 奇异三角形.(填“是”或“不是”)
②若某三角形的三边长分别为1,,2,则该三角形 (填“是”或“不是”)奇异三角形.
(2)探究:在Rt△ABC,两边长分别是a,c,且a2=50,c2=100,则这个三角形是否是奇异三角形 请说明理由.
21.(11分)勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪灵感,他发现,当两个全等的直角三角形如图(1)或图(2)摆放时,都可以用“面积法”来证明勾股定理.下面是小聪利用图(1)证明勾股定理的过程.
如图(1),△ACB≌△DEA,∠DAB=90°,求证:a2+b2=c2.
证明:连接DB,DC,过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F,则DF=EC=b-a,则=S△ACD+S△ABC=b2+ab.
又=S△ADB+S△DCB=c2+a(b-a),
∴b2+ab=c2+a(b-a),
∴a2+b2=c2.
请参照上述证法,利用图(2)进行证明.
将两个全等的直角三角形按图(2)所示摆放,其中∠DAB=90°,连接BE.求证:a2+b2=c2.
图(1) 图(2)
22.(12分)(2022·河南南阳期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5 cm,AC=3 cm,动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动,设运动的时间为t s.
(1)求BC边的长;
(2)当△ABP为直角三角形时,求t的值;
(3)当△ABP为等腰三角形时,求t的值.
第十七章 勾股定理·B卷
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B A D C A D A A B C
11. 12.等腰直角三角形 13.直角
14. 15.101寸 16.20 cm
1.B
2.A 32+52≠72,62+82=102,52+122=132,12+()2=22,故选A.
3.D 根据题意可得AB=AC=10,OA=8.在Rt△AOB中,OB==6.∴B(0,6).
4.C 由勾股定理得,AC2=AB2+BC2=4+16=20，∴正方形ADEC的面积为20.
5.A ∵a2=(c-b)(c+b),∴a2=c2-b2,∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形,故A选项符合题意;∵12+22=1+4=5,32=9,∴12+22≠32,∴△ABC不是直角三角形,故B选项不符合题意;∵∠A=∠C,∴△ABC是等腰三角形,不一定是直角三角形,故C选项不符合题意;∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,∠A+∠B+∠C=180°,∴最大角∠C=×180°=75°<90°,∴△ABC不是直角三角形,故D选项不符合题意.
6.D 因为竹子折断处离地面x尺,所以斜边长为(10-x)尺,根据勾股定理得x2+32=(10-x)2.
7.A 如图,设身高为1.5 m的学生为CD,且点C到点A的距离为5 m.过点C作CE⊥AB于点E.由题意可知,BE=CD=1.5 m,AE=AB-BE=4.5-1.5=3(m),AC=5 m.由勾股定理得CE2=52-32=16,所以CE=4 m,所以BD=CE=4 m,故一个身高1.5 m的学生要走到离门4 m远的地方,灯刚好发光.
8.A 在△ABC中,AB2+BC2=AC2,AC=4,∴S1+S2=π·(AB)2+π·(BC)2=πAB2+πBC2=
π(AB2+BC2)=πAC2=π×42=2π.故选A.
9.B 从题表可知,b=()2-1,c=()2+1,即当a=24时,b=122-1=143,c=122+1=145,b+c=
143+145=288.
一题多解
由题表可得如下规律:当a=6时,b+c=18=3a,当a=8时,b+c=32=4a,当a=10时,b+c=50=5a,…,所以当a=24时,b+c=(24÷2)a=12×24=288.
10.C 如图,过点A作AF⊥BC于点F,连接AP.在△ABC中,∵AB=AC=5,BC=8,∴BF=4.在Rt△ABF中,由勾股定理,得AF==3.∵S△ABC=S△ABP+S△APC,∴×8×3=×5PD+×5PE,即12=×5(PD+PE),则PD+PE=4.8.故选C.
11. ∵点(3,-2)到两坐标轴的距离分别是3,2,∴点(3,-2)到原点的距离是=.
12.等腰直角三角形 由+|a-b|=0,得c2-a2-b2=0,且a-b=0,即a2+b2= c2,a=b,∴△ABC是等腰直角三角形.
13.直角 ∵=,=2,()2+(2)2=52,∴以这三条线段为边的三角形是直角三角形.
14. 在Rt△ABC中,AB=2 cm,∠B=30°,∴AC=AB=1 cm.∵BC∥DE,∴∠AFC=
∠D=45°,∴△ACF为等腰直角三角形,∴AF==(cm).
15.101寸 设OA=OB=AD=BC=r寸,如图,过点D作DE⊥AB于点E,则DE=10寸,
OE=CD=1寸,AE=(r-1)寸.在Rt△ADE中,AE2+DE2=AD2,即(r-1)2+102=r2,解得2r=101.故门的宽度(两扇门宽度的和)AB为101寸.
16.20 cm
图示速解
将杯子抽象成几何图形(圆柱),并将该圆柱的侧面展开,示意图如图所示.作A关于EH的对称点A',连接A'B,交EH于F,则A'B的长即为最短距离.在Rt△A'DB中,由勾股定理得A'B===20(cm).
17.【参考答案】∵∠ADB=90°,∠A=60°,
∴∠ABD=30°,∴AD=AB.
∵AB=2,∴AD=,
∴BD===3. (3分)
∵∠C=90°,∴CD2+BC2=BD2.
∵BC=CD,∴2CD2=(3)2,
解得CD=3或-3(不符合题意,舍去),
∴CD的长为3. (6分)
18.【参考答案】(1)在Rt△CDB中,
由勾股定理得,CD2=BC2-BD2=172-82=225.
∵CD>0,∴CD=15,
∴CE=CD+DE=15+1.6=16.6.
答:风筝的垂直高度CE为16.6米. (3分)
(2)如图,在线段CD上找一点M,使CM=9,∴DM=6,连接BM.
在Rt△BDM中,BM===10.
∴BC-BM=7,
∴他应该往回收线7米. (6分)
19.【解题思路】(1)先根据勾股定理的逆定理说明CH⊥AB, 即可做出判断;(2)设AC=x千米,借助勾股定理建立方程求解,再计算CA与CH的差即可.
【参考答案】(1)是.
理由:在△CHB中,∵CH2+BH2=2.42+1.82=9,BC2=9,
∴CH2+BH2=BC2,∴CH⊥AB,
∴CH是从村庄C到河边的最近路. (3分)
(2)设AC=x千米,则AH=(x-1.8)千米.
由(1)及勾股定理得AC2=AH2+CH2,
∴x2=(x-1.8)2+2.42,解得x=2.5.
∴AC-CH=2.5-2.4=0.1(千米).
∴新路CH比原路CA少0.1千米. (7分)
20.【参考答案】(1)①是 (2分)
解法提示:设等边三角形的边长为a,则a2+a2=2a2,
∴等边三角形一定是奇异三角形.
②是 (4分)
解法提示:∵12+()2=8,2×22=8,∴12+()2=2×22,
∴该三角形是奇异三角形.
(2)当c为斜边时,Rt△ABC不是奇异三角形;
当b为斜边时,Rt△ABC是奇异三角形. (6分)
理由:当c为斜边时,则b2=c2-a2=100-50=50,
则a2+b2≠2c2,a2+c2≠2b2,
∴Rt△ABC不是奇异三角形.
当b为斜边时,b2=a2+c2=150,
则有a2+b2=50+150=200=2c2,
∴Rt△ABC是奇异三角形.
综上所述,当c为斜边时,Rt△ABC不是奇异三角形;当b为斜边时,Rt△ABC是奇异三角形. (10分)
21.【解题思路】连接BD,过点B作BF⊥DE交DE的延长线于点F,利用等面积法证明即可.
【参考答案】证明:如图,连接BD,过点B作BF⊥DE交DE的延长线于点F,则BF=b-a. (2分)
∵S四边形ABED=S△ABE+S△ADE=b2+ab,
S四边形ABED=S△ABD+S△BDE=c2+a(b-a), (6分)
∴b2+ab=c2+a(b-a), (9分)
∴a2+b2=c2. (11分)
一题多解
证明:连接BD,过点B作DE边上的高BF,可得BF=b-a, (2分)
∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab, (4分)
且S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a·(b-a), (6分)
∴ab+b2+ab=ab+c2+a(b-a), (9分)
∴a2+b2=c2. (11分)
22.
思路导图
【参考答案】(1)∵∠ACB=90°,
∴在Rt△ABC中,BC2=AB2-AC2=52-32=16,
∴BC=4 cm. (3分)
(2)由题意知BP=t cm,
①如图(1),当∠APB为直角时,点P与点C重合,BP=BC=4 cm,即t=4; (5分)
图(1) 图(2)
②如图(2),当∠BAP为直角时,CP=(t-4) cm,
在Rt△ACP中,AP2=32+(t-4)2,
在Rt△BAP中,AB2+AP2=BP2,
即52+[32+(t-4)2]=t2,
解得t=.
综上所述,当△ABP为直角三角形时,t=4或t=. (8分)
(3)①如图(3),当BP=AB时,t=5;
②如图(4),当AB=AP时,BP=2BC=8 cm,
∴t=8;
③如图(5),当BP=AP时,AP=BP=t cm,CP=(4-t)cm,
在Rt△ACP中,AP2=AC2+CP2,即t2=32+(4-t)2,
解得t=.
综上所述,当△ABP为等腰三角形时,t=5或t=8或t=. (12分)
图(3) 图(4) 图(5)
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