教你从容应对2008年高考数学填空题
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教你从容应对2008年高考数学填空题
一、高考数学填空题的解题策略
传统型填空题处理策略：
（1）直接求解法
直接求解法是直接从题设出发，抓住命题的特征，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断而得结果。这是解填空题时常用的基本方法；
（2）特殊值法
当填空题有暗示，结论唯一或其值为定值时，我们可以取一些特殊值来确定这个“定值”，特别适用于题目的条件是从一般性的角度给出的问题；
（3）数形结合法
由于填空题不必写出论证过程，因而可以画出辅助图形进行分析并帮助解答；
（4）等价转化法
将所给的命题等价转化为另一种容易理解的语言或容易求解的模式；
（5）升华公式法
在解填空题时，常由升华的公式解答，使之起点高、速度快、准确率高；
（6）特征分析法
有些问题看似非常复杂，一旦挖掘出其隐含的数量或位置等特征，此问题就能迎刃而解；
（7）归纳猜想法
由于填空题不要求推证过程，因此，我们也可用归纳、猜想得出结论。
开放型填空题处理策略：
（1）多选型填空题
多选型填空题是指：给出若干个命题或结论，要求从中选出所有满足题意的命题或结论。这类题不论多选还是少选都是不能得分的。因此，要求同学们有扎实的基本功，而举反例是否定一个命题的最有效方法；
（2）探索型填空题
探索型填空题是指：从给定的题设中探究其相应的结论，或从题目的要求中探究其必须具备的相应条件；
（3）新定义型填空题
即定义新情景，给出一定容量的新信息（考生未见过），要求考生依据新信息进行解题。这样必须紧扣新信息的意义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解；
（4）组合型填空题
组合型填空题是指：给出若干个论断要求考生将其重新组合，使其构成符合题意的命题。解题时，要求考生对知识点间的关系有一个透彻的理解和掌握，准确地阐述自己的观点，理清思路，进而完成组合顺序。
填空题减少失分的策略：
（1）回顾检验：填空题解答之后再回顾，即再审题，这是最起码的一个环节，可以避免审题上带来的某些明显的错误；
（2）赋值检验：若答案是无限的、一般性结论时，可赋予一个或几个特殊值进行检验，以避免知识性错误；
（3）逆代检验：若答案是有限的、具体的数据时，可逐一代入进行检验，以避免因扩大自变量的允许值范围而产生增解致错；
（4）估算检验：当解题过程中是否等价变形难以把握时，可用估算的方法进行检验，以避免忽视充要条件而产生逻辑性错误；
（5）作图检验：当问题具有几何背景时，可通过作图进行检验，以避免一些脱离事实而主观意想的错误；
（6）多种检验：一种方法解答之后，再用其它方法解之，看它们的结果是否一致，从而可避免单一的方法造成的策略性错误；
（7）静态检验：当问题处在运动状态但结果是定值时，可取其特殊的静止状态进行检验，以避免非智力因素引起的心理性错误。
二、高考数学填空题的解题方法
数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三种常考题型之一，填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现. 因此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备.解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求.
数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫。常用的方法有直接法、特殊化法、数行结合法、等价转化法等。
题型1：传统解法之直接求解法
例1．在函数a、b、c成等比数列且，则f(x)有最_______值且该值为_______
解：因为a、b、c成等比数列，可设b=aq，，则，
，
例2. 已知向量，若与垂直，则实数k等于______________
解：因为，
题型2：传统解法之特值法
例3．设a>b>1，则的大小关系是______________；
解：考虑到三个数的大小关系是确定的，不妨令：，
例4．设是公比为q的等比数列，是它的前n项和，若是等差数列，则q=______________
解：因为非零的常数列是公比为1的等比数列，且前n项和数列{nc}是公差为c的等差数列，可知q=1
例5．椭圆的焦点为，点P为其上的动点，当为钝角时，点P横坐标的取值范围是____
解：设P(x，y)，则当时，点P的轨迹为，由此可得点P的横坐标。
又当P在x轴上时，，点P在y轴上时，为钝角，由此可得点P横坐标的取值范围是：
题型3：传统解法之数形结合法
例6．若函数上为增函数，则实数a、b的取值范围是_________
解：由已知可画出下图，符合题设，故a>0且。
y
M O x
题型4：传统解法之等价转化法
例7．二次函数的部分对应值如下表，则不等式的解集是______
x －3 －2 －1 0 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －4 0 6
解：由已知，可转化为y=a（x+2）（x－3）；
题型5：传统解法之特征分析法
例8．已知函数，那么=______________
解：本题特征是：，故原式。
题型6：传统解法之归纳猜想法
例9. 设是首项为1的正项数列，且（n=1，2，3，……），则它的通项公式是_________
解：因为，所以，而，则。
，。
例10. 方程____________。（结果精确到0.1）
解：由已知，。而，又结果需要精确到0.1，所以当x=2.6时，，故填。
题型7：开放型填空题之多选型填空题
例11．若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基量”。是公比为q的无穷等比数列，下列“基量”为_________组
（1）；（2）；（3）；（4）q与（n为大于1的整数，为的前n项和）
解：因与q确定，则唯一确定一个数列，对（1）确定，即确定，即；对（2）当时，有，q=2这两个数列；对（3）当n为奇数，时，相等；对（4）q确定，是唯一的。故填（1）（4）。
题型8：开放型填空题之探索型填空题
例12．若两个长方体的长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm，把它们两个全等的面重合在一起组成大长方体，则大长方体的对角线最大为________cm
解：当大长方体的长、宽、高分别为5cm、4cm、6cm时，其对角线长为cm。
当大长方体的长、宽、高分别为5cm、8cm、3cm时，其对角线长为cm。
当大长方体的长、宽、高分别为10cm、4cm、3cm时，其对角线长为cm。
综上，大长方体的对角线最大为cm。
题型9：开放型填空题之新定义型填空题
例13．定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列是等和数列且，公和为5，那么的值为_______，且这个数列前21项和的值为_____________
解：由定义及已知，该数列为{2，3，2，3，……}，所以。
题型10：开放型填空题之组合型填空题
例14．是两个不同的平面，m、n是平面之外的两条不同直线，给出四个论断：
（1），（2），（3），（4）。以其中三个论断作为条件，余下一个论断为结论，写出你认为正确的一个命题________ _
解：通过线面关系，不难得出正确的命题有：
题型11：填空题检验方法
（1）回顾检验
例15．满足条件且的角的集合 _____ ___
错解：或。
检验：根据题意，答案中的不满足条件，应改为；其次角的取值要用集合表示。故正确答案为{}；
（2）赋值检验
例16．已知数列{}的前项和为，则通项公式=_________
错解：
检验：取时，由条件得，但由结论得。故正确答案为
（3）估算检验
例17．不等式的解是___ _______
错解：两边平方得，即，解得；
检验：先求定义域得。若，则，原不等式成立；若时，，原不等式不成立。故正确答案为。
（4）作图检验
例18．函数的递增区间是__________
y
0 1 2 x
错解：（）
检验：
作图可知正确答案为与。
（5）多种检验
例19．若，则的最小值是________
错解：，
检验：上述错解在于两次使用重要不等式，等号不可能同时取到。换一种解法为：
，的最小值为16。
（6）极端检验
例20．已知关于的不等式的解集是空集，求实数的取值范围________
错解：由，解得。
检验：若，则原不等式为，解集是空集，满足题意；若，则原不等式为，就是，解得，不满足题意。故正确答案为：；
（7）静态检验
例21．在正方体中，M、N分别为棱的中点，P为棱上的任意一点，则直线AM与PN所成的角等于________
错解：猜一个角度。
检验：设点P与点重合，则容易证明，即AM与PN所成角等于。由题意知所求角是个定值，故正确答案为。
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一、高考数学填空题的解题策略
传统型填空题处理策略：
（1）直接求解法
直接求解法是直接从题设出发，抓住命题的特征，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断而得结果。这是解填空题时常用的基本方法；
（2）特殊值法
当填空题有暗示，结论唯一或其值为定值时，我们可以取一些特殊值来确定这个“定值”，特别适用于题目的条件是从一般性的角度给出的问题；
（3）数形结合法
由于填空题不必写出论证过程，因而可以画出辅助图形进行分析并帮助解答；
（4）等价转化法
将所给的命题等价转化为另一种容易理解的语言或容易求解的模式；
（5）升华公式法
在解填空题时，常由升华的公式解答，使之起点高、速度快、准确率高；
（6）特征分析法
有些问题看似非常复杂，一旦挖掘出其隐含的数量或位置等特征，此问题就能迎刃而解；
（7）归纳猜想法
由于填空题不要求推证过程，因此，我们也可用归纳、猜想得出结论。
开放型填空题处理策略：
（1）多选型填空题
多选型填空题是指：给出若干个命题或结论，要求从中选出所有满足题意的命题或结论。这类题不论多选还是少选都是不能得分的。因此，要求同学们有扎实的基本功，而举反例是否定一个命题的最有效方法；
（2）探索型填空题
探索型填空题是指：从给定的题设中探究其相应的结论，或从题目的要求中探究其必须具备的相应条件；
（3）新定义型填空题
即定义新情景，给出一定容量的新信息（考生未见过），要求考生依据新信息进行解题。这样必须紧扣新信息的意义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解；
（4）组合型填空题
组合型填空题是指：给出若干个论断要求考生将其重新组合，使其构成符合题意的命题。解题时，要求考生对知识点间的关系有一个透彻的理解和掌握，准确地阐述自己的观点，理清思路，进而完成组合顺序。
填空题减少失分的策略：
（1）回顾检验：填空题解答之后再回顾，即再审题，这是最起码的一个环节，可以避免审题上带来的某些明显的错误；
（2）赋值检验：若答案是无限的、一般性结论时，可赋予一个或几个特殊值进行检验，以避免知识性错误；
（3）逆代检验：若答案是有限的、具体的数据时，可逐一代入进行检验，以避免因扩大自变量的允许值范围而产生增解致错；
（4）估算检验：当解题过程中是否等价变形难以把握时，可用估算的方法进行检验，以避免忽视充要条件而产生逻辑性错误；
（5）作图检验：当问题具有几何背景时，可通过作图进行检验，以避免一些脱离事实而主观意想的错误；
（6）多种检验：一种方法解答之后，再用其它方法解之，看它们的结果是否一致，从而可避免单一的方法造成的策略性错误；
（7）静态检验：当问题处在运动状态但结果是定值时，可取其特殊的静止状态进行检验，以避免非智力因素引起的心理性错误。
二、高考数学填空题的解题方法
数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三种常考题型之一，填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现. 因此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备.解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求.
数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫。常用的方法有直接法、特殊化法、数行结合法、等价转化法等。
题型1：传统解法之直接求解法
例1．在函数a、b、c成等比数列且，则f(x)有最_______值且该值为_______
解：因为a、b、c成等比数列，可设b=aq，，则，
，
例2. 已知向量，若与垂直，则实数k等于______________
解：因为，
题型2：传统解法之特值法
例3．设a>b>1，则的大小关系是______________；
解：考虑到三个数的大小关系是确定的，不妨令：，
例4．设是公比为q的等比数列，是它的前n项和，若是等差数列，则q=______________
解：因为非零的常数列是公比为1的等比数列，且前n项和数列{nc}是公差为c的等差数列，可知q=1
例5．椭圆的焦点为，点P为其上的动点，当为钝角时，点P横坐标的取值范围是____
解：设P(x，y)，则当时，点P的轨迹为，由此可得点P的横坐标。
又当P在x轴上时，，点P在y轴上时，为钝角，由此可得点P横坐标的取值范围是：
题型3：传统解法之数形结合法
例6．若函数上为增函数，则实数a、b的取值范围是_________
解：由已知可画出下图，符合题设，故a>0且。
y
M O x
题型4：传统解法之等价转化法
例7．二次函数的部分对应值如下表，则不等式的解集是______
x －3 －2 －1 0 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －4 0 6
解：由已知，可转化为y=a（x+2）（x－3）；
题型5：传统解法之特征分析法
例8．已知函数，那么=______________
解：本题特征是：，故原式。
题型6：传统解法之归纳猜想法
例9. 设是首项为1的正项数列，且（n=1，2，3，……），则它的通项公式是_________
解：因为，所以，而，则。
，。
例10. 方程____________。（结果精确到0.1）
解：由已知，。而，又结果需要精确到0.1，所以当x=2.6时，，故填。
题型7：开放型填空题之多选型填空题
例11．若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基量”。是公比为q的无穷等比数列，下列“基量”为_________组
（1）；（2）；（3）；（4）q与（n为大于1的整数，为的前n项和）
解：因与q确定，则唯一确定一个数列，对（1）确定，即确定，即；对（2）当时，有，q=2这两个数列；对（3）当n为奇数，时，相等；对（4）q确定，是唯一的。故填（1）（4）。
题型8：开放型填空题之探索型填空题
例12．若两个长方体的长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm，把它们两个全等的面重合在一起组成大长方体，则大长方体的对角线最大为________cm
解：当大长方体的长、宽、高分别为5cm、4cm、6cm时，其对角线长为cm。
当大长方体的长、宽、高分别为5cm、8cm、3cm时，其对角线长为cm。
当大长方体的长、宽、高分别为10cm、4cm、3cm时，其对角线长为cm。
综上，大长方体的对角线最大为cm。
题型9：开放型填空题之新定义型填空题
例13．定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列是等和数列且，公和为5，那么的值为_______，且这个数列前21项和的值为_____________
解：由定义及已知，该数列为{2，3，2，3，……}，所以。
题型10：开放型填空题之组合型填空题
例14．是两个不同的平面，m、n是平面之外的两条不同直线，给出四个论断：
（1），（2），（3），（4）。以其中三个论断作为条件，余下一个论断为结论，写出你认为正确的一个命题________ _
解：通过线面关系，不难得出正确的命题有：
题型11：填空题检验方法
（1）回顾检验
例15．满足条件且的角的集合 _____ ___
错解：或。
检验：根据题意，答案中的不满足条件，应改为；其次角的取值要用集合表示。故正确答案为{}；
（2）赋值检验
例16．已知数列{}的前项和为，则通项公式=_________
错解：
检验：取时，由条件得，但由结论得。故正确答案为
（3）估算检验
例17．不等式的解是___ _______
错解：两边平方得，即，解得；
检验：先求定义域得。若，则，原不等式成立；若时，，原不等式不成立。故正确答案为。
（4）作图检验
例18．函数的递增区间是__________
y
0 1 2 x
错解：（）
检验：
作图可知正确答案为与。
（5）多种检验
例19．若，则的最小值是________
错解：，
检验：上述错解在于两次使用重要不等式，等号不可能同时取到。换一种解法为：
，的最小值为16。
（6）极端检验
例20．已知关于的不等式的解集是空集，求实数的取值范围________
错解：由，解得。
检验：若，则原不等式为，解集是空集，满足题意；若，则原不等式为，就是，解得，不满足题意。故正确答案为：；
（7）静态检验
例21．在正方体中，M、N分别为棱的中点，P为棱上的任意一点，则直线AM与PN所成的角等于________
错解：猜一个角度。
检验：设点P与点重合，则容易证明，即AM与PN所成角等于。由题意知所求角是个定值，故正确答案为。
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