保密★启用前
8.某景区为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1）.现测量其中一个层
2023一2024学年度第一学期期中考试
厦，得到圆箍S0的底面直径AB长为12m,母线S长为18m(如图2)，若C是母线S4
的一个三等分点（靠近点$），从点A到点C绕犀顶侧面一周安装灯光带，则灯光荷的最
高三数学试题(A)
小长度为
2023.11
注意事项：
1.本试卷分进择题知非送择题两部分，满分1S0分，考试时问120分钟
2.答题前，考生务必将姓名、延敛等个人信息镇写在容题卡ǚ定位置
3.考生作答时，请将答紫答在答题卡上。速择题年小题选出答蒙后，月2B结笔把答题
卡上对应题日的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的
图1
图2
答题区城内作答。延出答题区城节写的答聚无效，在试题卷、草稿饭上作答无效，
A.6v7m
B.16m
C.6v13m
D.12m
一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，
二，多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
1.已知集合M=xe>1,N={xx2-2.x-3<0g,则MUN=
9.当两个集合中有一个集合为另一集合的子集时称这两个集合之间构成“全食”，当两个集
A.0.1)
B.(1,2)
C.(13)
D.(-1,+o)
合有公共元素，但互不为对方子集时称这两集合之间构成“偏食”·对于集合
2。王昌龄是盛唐著名的边毫诗人，被誉为“七绝圣手”，其《出亲》传诵至今，“秦时明月
汉时关，万里长征人未还.但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”，由此推新，其中最后一
4-,B-2=1o2,若A与B构成“金食”或枸成“缩食”，则a的取
句“不教胡马度阴山”是“但使龙城飞将在”的
位可以是
A,必婴条件
B.充分条件
A.0
B.1
C.2
D.4
C。充要条件
D.低不充分又不必要条件
10.已知不等式2+r+e<0的解集为{xx<-1或x>3引，则下列结论正确的是
3.设M=5a2-a+1,N■4+a-1,则M,N的大小关系为
A,a<0
A.M>N
BMC.M=N
D,大小关系不确定
B.a+b+c>0
4.甲、乙两人同时于上周和本周到同一加油站给汽车油两次，甲每次加油20升，乙每次加
C.c<0
油200元，若上周与本周油价不可，则在这两次加油中，平均价格较低的是
A.甲
B.乙
C.一样低
D.不能确定
D.cr-x+a<0的解集为xr<-或x>
5.已知定义在R上的奇函数f(x)满足fx)=f(2-x),当1sx<2时，fx)=lDgz(x+2)
I1.己知函数f(x)=sin”x+csx(∈N),则下列结论正确的有
则(2024)=
A,0
B,2
C.-3
D.3
A点学0为高数回图象的-个对称中心
sin(1+sin20]
着n0-2.则m0-哥
A号
B.号
c.s
C.)的一个单调递增区间为42
7,如图，在边长为2的等边△ABC中，点E为中线D的三等分点
D.()图象关于直线x=严对称
(接近点B),点F为BC的中点，则FE,EC=
12.己知奇函数f(x)在R上可导，其导函数为f"(x),且f(1-x)-f1+x)+2x=0恒成立，
A.-3
16
若(x)在0,1门单调递增，则
3
D.
A.x)在[L.2]上单调递减
B.f0)=0
C,f(2022)=2022
D.f'2023)=2
高三数学试题(A)第1页（共4页）
高三数学试题(A)第2页（共4页》高三数学试题（A）参考答案
一、单项选择题：本大题共 8个小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．D 2．A 3．A 4．B 5．A 6．C 7．B 8．C
二、多项选择题：本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求，全部选对的得 5分，选对但不全的得 2分，有选错的得 0分．
9．ABD 10．AB 11．ABD 12．BC
三、填空题：本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20分．
25 5 +113． （答案不唯一） 14．(-∞, -1) 15． 16． 5
8 4
四、解答题：本大题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（10 分）
解:（1）p：实数 x 满足 x2 10x +16 ≤ 0 ，解得2 ≤ x ≤ 8， ……………2 分
当m = 1时，q： x2 4x + 3 ≤ 0，解得1≤ x ≤ 3， ……………3 分
因为 p 和 q 至少有一个为真，所以2 ≤ x ≤ 8或1≤ x ≤ 3，所以1≤ x ≤ 8，
所以实数 x 的取值范围为[1,8]； ……………5 分
（2）因为m > 0，由 x2 4mx +3m2 ≤ 0，解得m ≤ x ≤ 3m ，即 q：m ≤ x ≤ 3m ，……7 分
因为 q 是 p 的充分不必要条件，
m ≥ 2 8
所以 2 ≤ m ≤ ……………10
3m ≤
（等号不同时取），所以 ． 分
8 3
18.（12 分）
解:（1）由题意知 x 2 2ax + a ≥ 0 在R 上恒成立，所以 = 4a2 4a ≤ 0 ，解得0 ≤ a ≤1，
即实数 a 的取值范围为[0,1]；……………4 分
f ( x) > 4a (a + 3) x x2（2）由 得： + (3 a) x 3a = ( x + 3)( x a) > 0；……………6 分
当a > 3时， ( x + 3)( x a) > 0 的解为 x < 3或 x > a ；……………8 分
当 a < 3时， ( x + 3)( x a) > 0 的解为 x < a 或 x > 3；……………10 分
综上所述：当a > 3时，不等式的解集为(-∞, -3)∪(a, +∞)；当a < 3时，不等式的
解集为(-∞, a)∪(-3, +∞)． ……………12 分
高三数学答案（A）第 1 页（共 5 页）
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19.（12 分）
= π π π 解:（1）由题意得，a b 2cos xsin x + 2sin xcos x = 2sin 2x ，
6 6 6
2 2
a = (2cos x) + (2sin x) = 2, b = sin2 π + 2 π x cos x =1，
6 6
π 2sin 2x
所以 ( ) = = a b = 6 f x cos a,b = sin 2x
π ． ……………3 分
a b 2×1 6
π π π
对于函数 y = f (x)的单调增区间，令 2kπ ≤ 2x ≤ 2kπ + (k ∈Z) ，
2 6 2
π π
得到 kπ ≤ x ≤ kπ + (k ∈Z)；
6 3
对于函数 y = f (x)的单调减区间，令 2kπ + π ≤ π ≤ 3π2x 2kπ + (k ∈ Z) ，
2 6 2
得到 kπ +
π ≤ ≤ + 5πx kπ (k ∈ Z) ；
3 6
π π
所以函数 y = f (x)的单调增区间为 kπ ,kπ+ (k ∈Z)，
6 3
= ( π 5π 函数 y f x)的单调减区间为 kπ + ,kπ + (k ∈Z) ； ……………6 分
3 6
（2） f ( A) = π = π sin 2A 1，因为锐角 ABC 中， A∈ 0, ，
6 2
π π 5π π π π
所以2A ∈ , ，所以2A = ，得 A = ， ……………8 分
6 6 6 6 2 3
在 ABC 中，由正弦定理得
2π
sin B + sin B 3 3 sin B + cos B
b + c = sin B + sin C = 3 = 2 2 = π 2sin B + ，
a sin A π
sin 3 6
3 2
……………10 分
π
0＜B＜ ， 2 π π
在锐角 ABC 中， 解得 ＜B＜ ，
= 2π π 6 20＜C B＜ ，
3 2
π π 2π π
所以 ＜B + ＜ ，所以 3＜2sin B + ≤ 2，
3 6 3 6
b + c
即 的取值范围为 ( 3, 2 ． ……………12 分 a
高三数学答案（A）第 2 页（共 5 页）
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20.（12 分）
f ′′(1)
= = 1 = 11 1 K
解:（1） f ′(x) = +1， f ′′(x) = ，所以 1 3 3 3( ) ，…………32 分 x x 1+ [ f ′(1)]2 2 + 2(1 2 )2 52
1
1 3 g′′ (1) 4 2
g′(x) = ， g′′(x) = 1 x 2 ，K2 = = =3 3 3 ，所以K1 < K2 ；
2 x 4 (1+ [g′(1)]2 )2 2 1 2 52
1+
2
…………6 分
（2） h′(x) = cos x ，h′′(x) = sin x ，
sin x
所以K = 3 ，
(1+ cos2 x)2
2 = sin
2 x = sin
2 x
K …………9
(1+ cos2 x)3 (2 sin2
， 分
x)3
∈ 2 = 2 t令 t = 2 sin 2 x ，则 t [1, 2]，K
t3
= 2 t t
3 3t 2 (2 t) 2t 6
设 p(t) 3 ，则 p′(t) = = ， t t6 t 4
显然当 t ∈[1, 2]时， p'(t) < 0， p(t)递减，所以 p(t)max = p(1) =1．K2最大值为 1，
所以K 的最大值为 1． …………12 分
21.（12 分）
解:（1）设方案甲与方案乙的用水量分别为 x, z，则由题意得
x + 0.8 = 0.99，解得 x = 19 ， ……………2 分
x +1
y + 0.95a
由 c = 0.95得方案乙初次用水量为 3，第二次用水量 y满足 = 0.99，
y + a
解得 y = 4a ，所以 z = 4a + 3， ……………4 分
即两种方案的用水量分别为 19 和4a + 3，
因为1≤ a ≤ 3时， x z = 19 4a 3 = 4(4 a) > 0 ，
所以 x > z ，所以方案乙的用水量较少； ……………6 分
（2）设初次与第二次清洗的用水量分别为 x 与 y，
5c 4
类似（1）得 x = , y = a(99 100c)
5(1 ，c)
+ = 5c 4所以 x y + a(99 100c)
5(1 c)
= 1 +100a(1 c) a 1，
5(1 c)
当 a 为定值时，
x + 1y ≥ 2 100a(1 c) a 1 = a + 4 5a 1，
5(1 c)
1
当且仅当 =100a(1 c)
5(1 时取等号，c)
高三数学答案（A）第 3 页（共 5 页）
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= + 1 1此时c 1 不合题意舍去，或c =1 ∈ (0.8,0.99) ，……………9 分
10 5a 10 5a
= 1 5c 4将 c 1 代入 x = , y = a(99 100c)，
10 5a 5(1 c)
得 x = 2 5a 1 > a 1, y = 2 5a a，
= 1所以c 1 时总用水量最少，
10 5a
此时第一次与第二次用水量分别为2 5a 1和2 5a a ，
最少用水量为T (a) = 2 5a 1+ 2 5a a = a + 4 5a 1，
2 5
当1≤ a ≤ 3时，T ′(a) = 1 > 0，所以T (a)在[1,3]上为增函数，
a
所以随着 a 的增加，最少用水量在增加． ……………12 分
22.（12 分）
2 2
解:（1）当a = 1时， f ( x) = 2ln x 2x 2x +1， f ′( x) = 4x 2，……………1 分
x
f ′(1) = 2 4 2 = 4， f (1) = 2 2 +1 = 3，
所以函数 f (x) 在点 (1, f (1))处的切线方程为 y + 3 = 4( x 1)，即 y = 4x + 1；
……………3 分
（2）①函数 f (x) 的定义域为(0, +∞)，
2 2 a +1 x 1 x +1
f ′( x) = 2( + ( ) ( )a 1) x 2a = ，
x x
当a ≤ 1时， f (x) > 0 恒成立， f ( x)单调递增，所以 f ( x)不可能有 2 个零点；
……………4 分
1
当a > 1时，当0 < x < 时， f (x) > 0 ， f ( x)单调递增， ……………5 分
a +1
> 1当 x 时， f ′( x) < 0， f (x) 单调递减，
a +1
当 x → 0 时， f (x) → -∞，当 x → +∞时， f (x) → -∞，
1
所以要满足函数 f (x) 有 2 个零点，只需 f > 0，
a +1
2
1 ( + ) 1 1即2ln a 1 2a +1 > 0，
a +1 a +1 a +1
整理得2ln (a +1) + a < 0， ……………6 分
a +1
设 g ( x) = 2ln ( x +1) + x ，函数 g ( x)的定义域为(-1, +∞)，
x +1
2
g′( x) = + 1 > 0
+ ( )2 ，所以 g ( x)x 1 + 在定义域上单调递增， x 1
且 g (0) = a0，则不等式2ln (a +1) + < 0的解集为 ( 1,0)，
a +1
所以 a 的取值范围为 ( 1,0)； ……………8 分
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1
②证明：由（2）知， 1< a < 0，则 > 0，
a +1
2 2
要证明 x1 + x2 > ，即证明 x1 > x2 ，
a +1 a +1
1
不妨设0 < x1 < < x2，
a +1
因为 x2 >
1
，所以0 <
2 1x < ，
a +1 a + 21 a +1
< < 1 ( ) 1 又0 x f x 0,1 ，函数 在 上单调递增，
a +1 a +1
2
此时需证明 f ( x1 ) > f x2 ，
a +1
1 2 1
当0 < x < ，0 < x <1 + 2
时，
a 1 a +1 a +1
1
可得 < x <
2
2 ， ……………10 分
a +1 a +1
2
因为 f ( x1 ) = f (x2 )，即证明 f ( x2 ) f x2 > 0，
a +1
( ) = ( ) 2 1 设 h x f x f x ，函数的定义域为 ,+∞ ，
a +1 a +1
f ′( x) + f ′ 2 = 2 + 2x 4 (a +1)
h′( x) = a +1 x 2 x
a +1
= 4 4( + 4a 1) > 4 (a +1) = 02
(a +1) x 2 x (a +1) 1 ，
a +1 + a 1
( ) 1 +∞ 1 所以h x 在 , 单调递增，则h ( x) > h = 0 ，
a +1 a +1
( ) = ( ) 2h x f x f > ( ) = ( ) >
2
x 0，所以 f x1 f x2 f x ，
a +1 a +
2
1
( ) 1 2又 f x 在 0, 上单调递增，所以 x1 > x2 ，
a +1 a +1
2
即 x1 + x2 > ，命题得证． ……………12 分
a +1
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