人教版数学九年级上册 第二十四章 圆 单元测试（含解析）

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九年级上册数学第三单元《圆》
考试时间：120分钟 满分：120分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、单选题(共10题；共30分)
1．若扇形的圆心角为60°，半径为4，则该扇形的面积为（　　）
A． B． C． D．
2．已知⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
3．在⊙O中，弦AB的长为6，圆心O到AB的距离为4，则⊙O的半径为（　　）
A．10 B．6 C．5 D．4
4．如图，四边形 为 的内接四边形，若 ，则 等于（　　）
A． B． C． D．
5．如图，过⊙O上一点A作⊙O的切线，交直径BC的延长线与点D，连接AB，若∠B＝25°，则∠D的度数为（　　）
A．25° B．40° C．45° D．50°
6．已知⊙O的半径为3cm，且点P在⊙O外，则线段PO的长度为（　　）
A．等于6cm B．大于3cm C．小于3cm D．等于3cm
7．如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=110°，则∠D=（　　）
A．25° B．35° C．55° D．70°
8．如图，已知在⊙O中，AB=4，AF=6，AC是直径，AC⊥BD于F，图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
9．过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OM长为（　　）
A．3cm B．6cm C． cm D．9cm
10．如图，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，以此类推，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10=（　　）
A．4π B．3π C．2π D．π
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
二、填空题(共6题；共18分)
11．已知一扇形，半径为6，圆心角为120°，则所对的弧长为　 　.
12．弦AB把⊙O分为3∶7，则∠AOB＝　 　.
13．如图，四边形ABCD的顶点均在⊙O上，∠A=70°，则∠C=　 　°．
14．在正n边形中，若一个内角等于一个外角的3倍，则边数n的值是　 　.
15．正六边形的边长是2，则它的面积是 　 　
16．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两个动点(点C、D不与A、B重合)，在运动过程中弦CD始终保持不变，F是弦CD的中点，过点C作CE⊥AB于点E．若CD=5，AB=6，当EF取得最大值时，CE的长度为　 　 。
三、解答题(共9题；共72分)
17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，CD＝16.求AE的长.
18．已知：如图，MN、PQ是⊙O的两条弦，且QN=MP, 求证：MN= PQ．
19．如图所示，在一个长度为8的梯子AB的顶点向点滑动的过程中，梯子的两端A，B与墙的底端构成的三角形的外心与点的距离是否发生变化 若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出其长度.
20．已知：A、B、C、D是⊙O上的四个点，且 ，求证：AC=BD．
21．如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC, AC平分∠BCD, 请找出图中与弦AD相等的线段，并加以证明
22．如图，点A是圆弧BC上一点，用尺规作图法找出圆心O点（保留作图痕迹，不写做法）
23．如图，AB是⊙O的弦，AB= 12，⊙O的半径为10．OC⊥AB于点C，连结OA．
（1）求OC的长．
（2）若弦EF∥AB，且EF=16，求EF与AB之间的距离．
24．已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．
25．如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC为弦，OC=4，∠OAC=60°.
（1）求∠AOC的度数；
（2）在图（1）中，P为直径BA的延长线上一点，且S△PAC=，求证：PC为⊙O的切线.
（3）如图（2），一动点M从A点出发，在⊙O上按逆时针方向运动一周（点M不与点C重合），当S△MAO=S△CAO时，求动点M所经过的弧长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵扇形的圆心角为60°，半径r=4，
∴这个扇形的面积.
故答案为：C.
【分析】直接根据扇形的面积公式S=进行计算即可.
2．【答案】A
【知识点】圆与圆的位置关系
【解析】【分析】根据圆心O到直线l的距离大于半径即可判定直线l与⊙O的位置关系为相离。
∵圆心O到直线l的距离是3m，小于⊙O的半径为4m，
∴直线l与⊙O相交。
【点评】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离。
3．【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】连结OA，如图，
∵OC⊥AB,
∴AC= AB=3,∠OCA=90°，
在Rt△OAC中，根据勾股定理得OA=5，即⊙O的半径为5cm．
故答案为：C．
【分析】连结OA，如图，先根据垂径定理得到AC= AB=3，然后在Rt△OAC中，根据勾股定理计算出OA=5，即⊙O的半径为5cm．
4．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°.
∵∠A=60°，
∴∠C=180°-60°=120°.
故答案为：C.
【分析】根据圆内接四边形的对角互补可求解.
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OA．
∵∠B=25°．
∴∠DOA=2∠B=50°．
∵AD是⊙的切线，
∴∠OAD=90°．
∴∠D=180°-90°-50°=40°．
故答案为：B．
【分析】圆上某点切线与圆心到某点连线是垂直的，根据这一性质及已知条件即可求得∠D。
6．【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：点P在圆外，则点到圆心的距离大于圆的半径，
即： cm.
故答案为：B.
【分析】设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，则 时，点在圆外；当 时，点在圆上；当 时，点在圆内.
7．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∠AOC=110°，
∴∠BOC=180°﹣∠AOC=70°，
∴∠D= ∠BOC=35°．
故选B．
【分析】由AB是⊙O的直径，∠AOC=110°，可求得∠BOC的度数，又由圆周角定理，可求得∠D的度数．
8．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵AC是直径，AC⊥BD于F，
∴BF=DF，=，
∴∠BAC=∠DAC，
在Rt△ABF中，BF==2，
∴BD=2BF=4，
连接OB、OD、BC，
∵AC是直径，
∴∠ABC=90°，
∴BF2=AF FC，即（2）2=6FC，
∴FC=2，
∴直径AC=AF+FC=6+2=8，
∴⊙O的半径为4，
∵AB=4，AF=6，
∴cos∠BAF===，
∴∠BAF=30°，
∴∠BAD=60°，
∴∠BOD=120°，
∵OC=4，FC=2，
∴OF=2，
∴S阴影=S扇形﹣S△BOD=﹣×4×2=π﹣4；
故选D．
【分析】利用勾股定理求得BD=2BF=4，连接OB、OD、BC，先求得∠ABC=90°，进而根据射影定理求得FC=2，从而求得直径的长，根据余弦函数求得∠BAF=30°，进而得出∠BOD=120°，最后根据S阴影=S扇形﹣S△BOD即可求得阴影的面积．
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】由题意知，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦，如图所示．
直径ED⊥AB于点M，
则ED=10cm，AB=8cm，
由垂径定理知：点M为AB中点，
∴AM=4cm，
∵半径OA=5cm，
∴OM2=OA2-AM2=25-16=9，
∴OM=3cm．
故答案为：A．
【分析】根据垂径定理即可得到AM的长度，结合勾股定理计算得到OM的长度即可。
10．【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：图1，过点O做OE⊥AC，OF⊥BC，垂足为E、F，则∠OEC=∠OFC=90°，
∵∠C=90°
∴四边形OECF为矩形
∵OE=OF
∴矩形OECF为正方形
设圆O的半径为r，则OE=OF=r，AD=AE=3﹣r，BD=4﹣r
∴3﹣r+4﹣r=5，r= =1
∴S1=π×12=π
图2，由S△ABC= ×3×4= ×5×CD，
∴CD= ，由勾股定理得：AD= = ，BD=5﹣ = ，
由（1）得：
⊙O的半径= = ，⊙E的半径= = ，
∴S1+S2=π×（ ）2+π×（ ）2=π．
图3，由S△CDB= × × = ×4×MD
∴MD= ，
由勾股定理得：CM= = ，MB=4﹣ = ，
由（1）得：⊙O的半径= ，：⊙E的半径= = ，
∴⊙F的半径= = ，
∴S1+S2+S3=π×（ ）2+π×（ ）2+π×（ ）2=π，
…
观察规律可知S1+S2+S3+…+S6=π．
故D符合题意.
故答案为：D．
【分析】过点O做OE⊥AC，OF⊥BC，垂足为E、F，则∠OEC=∠OFC=90°，求出图1中圆的半径，进而求出S1的面积；利用三角形的面积公式求出CD的长，进而求得两个圆的面积和；同理求出S1+S2+S3的面积，由以上可得到答案.
11．【答案】4π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：此扇形的弧长＝＝4π，
故答案为：4π.
【分析】直接利用弧长计算公式“”代值计算即可.
12．【答案】108°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵弦AB把 分为3:7，
∴整个圆心角的角度也被分为3:7，
∴ .
故答案是： .
【分析】根据弦把圆分成两部分，那么圆心角也被分成了同样比例的两部分，求出 的度数.
13．【答案】110
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠C+∠A=180°，
∴∠A=180°﹣70°=110°．
故答案为：110．
【分析】利用圆内接四边形对角互补得出结论。
14．【答案】8
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：设多边形的外角是x，则内角是3x.
则 ，
解得 .
.
故答案为8.
【分析】本题考查了正多边形的外角与内角的知识，设外角为x，则其内角为3x，然后利用正多边形的内角与外角互补列出方程求得x的值，然后根据多边形的外角和为 求边数即可.
15．【答案】6
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵此多边形为正六边形，
∴∠AOB==60°，
∵OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=2cm，
∴OG=OA cos30°=2×=，
∴S△OAB=×AB×OG=×2×=cm，
∴S六边形=6S△OAB=6×=6cm．
故答案是：6．
【分析】根据题意画出图形，由正六边形的特点求出∠AOB的度数及OG的长，再由△OAB的面积即可求解．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，当CD∥AB时，由垂径定理得E'、F'分别为D'C'和C'M的中点，E'F'=D'M，
易得四边形OE'C'F'为矩形，∴∠D'C'M=90°，
∴D'M为直径，为圆中最大弦，
∴这时EF取得最大值，
∵OF'⊥C'D'，C'F'=D'F'=，
∵四边形OE'C'F'为矩形，∴E'F'=OC'=3，
这时.
故答案为：.
【分析】由垂径定理，结合三角形的中位线推出当CD平行AB时，EF取得最大值，由四边形OE'C'F'为矩形，则E'F'=OC'=3，从而在Rt△C'E'F'中，利用勾股定理即可求出C'E'的长.
17．【答案】解：如图，连接OC，
∵CD⊥AB，CD＝16.
∴CE＝DE＝ CD＝8，
∵AB＝20，
∴OA＝OB＝OC＝ AB＝10，
∴OE＝ ＝ ＝6，
则AE＝OA﹣OE＝10﹣6＝4.
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】 连接OC， 根据垂径定理可得CE=8，在Rt△COE中，利用勾股定理算出OE的长，进而根据AE=OA-OE即可算出答案.
18．【答案】证明：∵QN＝MP，∴ 弧QN=弧MP，∴弧MN=弧PQ，∴MN＝PQ
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据等弧所对的弦相等可得结论。
19．【答案】解：不发生变化，理由如下：
∵梯子的两端A，B与墙的底端C构成的三角形为直角三角形，
∴外心和与点C的距离始终为AB，
∴不发生变化，其长度为×8=4.
【知识点】三角形的外接圆与外心；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】不发生变化，理由如下：梯子的两端A，B与墙的底端C构成的三角形为直角三角形，而直角三角形的外心在斜边的中点处，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案.
20．【答案】证明：∵
∴
∴
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】先根据 可得 ，再根据同圆中等弧所对的弦相等即得．
21．【答案】解：∵AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，∴ AD=AB∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB∴∠DAC=∠DCA∴AD=CD，∴AD=AB=CD.
【知识点】平行线的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；角平分线的定义
【解析】【分析】由AC平分∠BCD得出∠ACB=∠ACD，证得AD=AB，再由AD∥BC及等量代换，证出∠DAC=∠DCA，得出AB=CD，即可得出结论。
22．【答案】解：如图所示：
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】利用垂径定理得出两弦的垂直平分线交点O即可．
23．【答案】（1）解：∵AB 是⊙O的弦，OC⊥AB，
∴AC=BC= AB= ×12=6，∠ACO=90°．
由勾股定理，得OC= =8．
（2）解：如图①，当EF与AB在圆心同侧时，连结OE，CO交EF于点D．
∵EF∥AB，OC⊥AB，
∴OC⊥EF，
∴ED=DF= ×16= 8．
在Rt△ODE中，OD= =6
，∴EF与AB之间的距离是8-6=2．
如图②，当EF与AB在圆心异侧时，类似可求EF与AB之间的距离是14．
综上可知，EF与AB之间的距离是2或14．
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】 （1）先根据垂径定理求出AC，再根据勾股定理求出OC即可；
（2）分“当EF与AB在圆心同侧时”与“当EF与AB在圆心异侧时”两种情况，画出图形，求出OD的长．
24．【答案】解：（Ⅰ）如图①，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB=∠BDC=90°．
∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6，
∴由勾股定理得到：AC= = =8．
∵AD平分∠CAB，
∴ = ，
∴CD=BD．
在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，
∴易求BD=CD=5 ；
（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．
∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，
∴∠DAB= ∠CAB=30°，
∴∠DOB=2∠DAB=60°．
又∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD=OB=OD．
∵⊙O的直径为10，则OB=5，
∴BD=5．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理
【解析】【分析】（Ⅰ）利用圆周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD=CD=5 ；（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD=OB=OD=5．
25．【答案】（1）解：在△OAC中，∵OA=OC（⊙O的半径），∠OAC=60°，∴∠OAC=∠OCA（等边对等角）.
又∵∠OAC=60°，∴△AOC是等边三角形. ∴∠AOC=60°.
（2）证明：如图，作PA边上的高CE，
∵△AOC是等边三角形， OC=4，∴CE=.
∵S△PAC=，∴·PA·=. ∴PA=4 . ∴PA=AC=AO=4. ∴∠P=∠PCA，∠AOC=∠ACO.
∴∠PCO=90°.
又∵OC是⊙O的半径，∴PC为⊙O的切线.
（3）解：如图，
①作点C关于直径AB的对称点M1，连接AM1，OM1．
此时S△M1AO=S△CAO，∠AOM1=60°.∴弧AM1=.
∴当点M运动到M1时，S△MAO=S△CAO，此时点M经过的弧长为.
②过点M1作M1M2∥AB交⊙O于点M2，连接AM2，OM2，
此时S△M2AO=S△CAO．∴∠AOM1=∠M1OM2=∠BOM2=60°.∴弧AM2=.
∴当点M运动到M2时，S△MAO=S△CAO，此时点M经过的弧长为．
③过点C作CM3∥AB交⊙O于点M3，连接AM3，OM3，
此时S△M3AO=S△CAO， ∴∠BOM3=60°.∴弧AM3=.
∴当点M运动到M3时，S△MAO=S△CAO，此时点M经过的弧长为.
点M运动到C时，M与C重合，S△MAO=S△CAO，
此时点M经过的弧长为.
【知识点】三角形的面积；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由OA、OC都是⊙O的半径知，△AOC是等腰三角形，然后根据等边三角形的判定和性质求得∠AOC =60°；
（2）由S△PAC=求出PA的长，从而得出∠P=∠PCA，∠AOC=∠ACO，根据等边对等角和三角形内角和定理可得∠PCO=90°，进而证得结论；
（3）如图，当S△MAO=S△CAO时，动点M的位置有四种：①作点C关于直径AB的对称点M1，连接AM1，OM1，②过点M1作M1M2∥AB交⊙O于点M2，连接AM2，OM2，③过点C作CM3∥AB交⊙O于点M3，连接AM3，OM3，④当点M运动到C时，M与C重合，求得每种情况的OM转过的度数，再根据弧长公式求得弧AM的长．
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：120分
分值分布 客观题（占比） 36.0(30.0%)
主观题（占比） 84.0(70.0%)
题量分布 客观题（占比） 12(48.0%)
主观题（占比） 13(52.0%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
填空题 6(24.0%) 18.0(15.0%)
解答题 9(36.0%) 72.0(60.0%)
单选题 10(40.0%) 30.0(25.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (32.0%)
2 容易 (52.0%)
3 困难 (16.0%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 角平分线的定义 8.0(6.7%) 21
2 弧长的计算 3.0(2.5%) 11
3 三角形的中位线定理 3.0(2.5%) 16
4 切线的判定与性质 12.0(10.0%) 25
5 平行线的性质 8.0(6.7%) 21
6 圆内接四边形的性质 9.0(7.5%) 4,13,15
7 勾股定理 22.0(18.3%) 9,16,17,24
8 三角形内角和定理 3.0(2.5%) 5
9 圆心角、弧、弦的关系 23.0(19.2%) 12,18,20,21
10 正多边形的性质 3.0(2.5%) 14
11 三角形的内切圆与内心 3.0(2.5%) 10
12 多边形内角与外角 3.0(2.5%) 14
13 三角形的面积 12.0(10.0%) 25
14 三角形的外接圆与外心 6.0(5.0%) 19
15 直角三角形斜边上的中线 6.0(5.0%) 19
16 点与圆的位置关系 3.0(2.5%) 6
17 扇形面积的计算 6.0(5.0%) 1,8
18 垂径定理 31.0(25.8%) 3,9,16,17,22,23
19 圆与圆的位置关系 3.0(2.5%) 2
20 圆周角定理 23.0(19.2%) 7,21,24
21 切线的性质 3.0(2.5%) 5
22 等边三角形的判定与性质 12.0(10.0%) 24