4.5.2 用二分法求方程的近似解 课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
第4章 指数函数与对数函数
4.5 函数的应用（二）
4.5.2 用二分法求方程近似解
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件. 1.数学抽象素养.
2.掌握二分法的实施步骤，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解. 2.数学运算、逻辑推理素养.
3.了解二分法的含义及近似思想、逼近思想的应用. 3.数学建模素养.
温故知新
1.⑴对于一般函数y=f(x),我们把使 的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
⑵方程 f(x)=0有实数根 函数y=f(x)有 函数y=f(x)的图像与 有公共点.
f(x)=0
零点
2.零点存在定理 如果函数y＝f(x)在闭区间[a, b]上的图象是
的一条曲线，并且有 ，那么，函数y＝f(x)在开区间(a, b)内有零点，即存在c∈(a, b)，使得 , 这个c也就是方程f(x)＝0的解.
连续不断
f(a)·f(b)＜0
f(c)＝0
x轴
新知探究
探究：用二分法求方程的解
我们已经知道，函数 f(x)=lnx+2x-6在区间(2，3)内存在一个零点, 进一步问题是，我们如何求出这个零点？
一般地，称
为区间（a,b)的中点.
一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值.
为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围.
a
b
大多数方程都不能象一元二次方程那样用公式求出精确解.在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解.
新知探究
探究：用二分法求方程的解
我们已经知道，函数 f(x)=lnx+2x-6在区间(2，3)内存在一个零点, 进一步问题是，我们如何求出这个零点？
取区间（2，3）的中点2.5，用计算工具算得-0.084.因为,所以零点在区间（2.5，3）内.
取区间（2.5，3）的中点2.75，用计算工具算得0.512.因为,所以零点在区间（2.5，2.75）内.
由于（2，3） （2.5，3） （2.5，2.75），所以零点所在的范围变小了.如果重复上述步骤，零点范围会越来越小.这样，我们就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值.为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值.
新知探究
探究：用二分法求方程的解
例如，当精度为0.01时，因为|2.5390625-2.53125|=0.0078125<0.01，所以区间(2.53125,2.5390625)内任意一点都可以作为零点的近似值，也可以将=2.53125作为函数零点的近似值，也即是方程的近似解.
新知探究
探究：用二分法求方程的解
像上面这种这种运用缩小零点所在范围的方法称为二分法，它是求一元方程近似解的常用方法.
二分法的定义：
对于在区间上图象连续不断且的函数 ,通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection metbod）.
x
y
0
a
b
思考:利用二分法求函数零点的条件是什么？
1.函数y=f(x)在[a, b]上连续不断.
2.y=f(x)满足f(a)·f(b)<0，则在(a,b)内必有零点.
初试身手
1.通过下列函数的图象,判断不能用“二分法”求其零点的是(　 　)
A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④
解：
能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a,b]上连续不断,并且有f(a)·f(b)<0,由图象可得,只有③能满足此条件,故不能用“二分法”求其零点的是①②④,故选C.
C
新知探究
探究：用二分法求方程的解
二分法的实质:就是将函数零点所在的区间不断地一分为二，使新得到的区间不断变小，两个端点逐步逼近零点．
思考1：怎样确定零点的范围？
零点落在异号间！
思考2：如何最快的缩小零点所在的范围？
取中点
思考3：如何理解误差不超过0.1？
试一试:
你能归纳出“给定精确度ε,用二分法求函数零点近似值的步骤”吗
新知探究
探究：用二分法求方程的解
二分法的解题步骤
给定精确度ε,用二分法求函数 f(x)零点近似解的步骤如下：
1. 确定零点x0的初始区间[a, b], 验证f(a) ·f(b)<0;
2.求区间(a,b)的中点c
3. 计算f( c )，并进一步确定零点所在的区间；
(1)若f(c)=0（此时x0=c）,则c 就是函数的零点；
(2)若f(a) ·f(c)<0, (零点x0∈(a, c)), 则令b=c;
(3)若f(c) ·f(b)<0, (零点x0∈(c, b)), 则令a=c．
4.判断是否达到精确度ε：即若|a-b|<ε,则得到零点近似值为a(或b);否则重复2~4．
新知探究
探究：用二分法求方程的解
二分法的步骤口诀
定区间，找中点，
中值计算两边看；
零点落在异号间，
区间长度缩一半；
周而复始怎么办
精确度上来判断.
同号去，异号算,
新知探究
生活问题
电路发生了故障，故障在一条长200m的线路上，如何迅速查出故障所在呢（只需查出故障在5m之内即可）,要不要把水泥板全部掀开？请同学们讨论交流一下，为电工师傅们想一想怎样检查会比较合理.
经过热烈的讨论交流，小组代表得出方法:肯定不需要掀开所有水泥板.只需做以下即可：
1.确定故障所在范围；2.确定检测范围的中点；3.检测中点，
（1）若中点为故障点，则结束；
（2）若中点不是故障点，可判断故障所在范围（被中点所分两范围之一），此时，故障范围在逐渐缩小；
4.判断故障范围是否符合5m之内，如果符合，则得到故障点的近似处，否则重复上述2-4步.
新知讲解
【例1】借助计算器或计算机用二分法求方程2x +3x=7 的近似解(精确度为0.1).
解：
原方程即2x +3x –7=0，
令f(x)= 2x +3x –7 ,
用信息技术列出函数的对应值表并作图.
x f(x)
0 -6
1 -2
2 3
3 10
4 21
5 40
6 75
7 142
观察右图或表格, 可知f(1)·f(2)<0,
f(x)在区间间(1, 2)内有零点x0.
新知讲解
【例1】借助计算器或计算机用二分法求方程2x +3x=7 的近似解(精确度为0.1).
解：
原方程即2x +3x –7=0，
令f(x)= 2x +3x –7 ,
观察右图或表格, f(1)= -2 ,可知f(1)·f(2)<0,说明f(x)在区间间(1, 2)内有零点x0.
取区间(1, 2)的中点x1=1.5,用计算器可得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)<0,
所以x0∈(1, 1.5).
再取(1, 1.5)的中点x2=1.25,用计算器求得f(1.25)≈-0.87,因此f(1.25)·f(1.5)<0,
所以x0∈(1.25, 1.5).
同理可得x0∈(1.375, 1.5),x0∈(1.375, 1.4375),
由于 |1.375-1.4375|=0.0625<0.1,
所以原方程的近似解可取为1.4375.
新知讲解
由例1可见，用二分法求方程的近似解，计算量较大，而且是重复步骤.
因此，可以通过设计一定的计算程序，借助信息技术完成计算.
右图就是表示二分法求方程近似解过程的程序框图. 有兴趣的同学，可以在此基础上用有关算法语言编写程序，利用信息技术求方程的近似解.
新知讲解
用二分法求方程的近似解应明确两点
(1)根据函数的零点与相应方程的解的关系,求函数的零点与求相应方程的解是等价的.求方程f(x)=0的近似解,即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.
(2)对于求形如f(x)=g(x)的方程的近似解,可以通过移项转化成求形如F(x)=f(x)-g(x)=0的方程的近似解,然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.
初试身手
2.用二分法求函数在区间（0，1）内零点近似值的过程中得，则函数的零点落在区间 内(较小区间）.
3.若函数 的一个零点 (正数) 附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:
那么方程 的一个近似解(精确度为0.04)为( )
A.1.5 B. 1.25 C.1.375 D.1.4375
解：
2.∵,∴函数的零点落在区间(0.5,1).
(0.5,1)
3.∵,且|1.4375-1.40625|=0.03135<0.04,
∴函数精确度为0.04的零点落在区间（1.40625，1.4375）.
则方程的一个近似解为1.4375，故选D.
D
新知讲解
【例2】已知函数f(x)=2x2-8x+m+3为R上的连续函数.
(1)若函数f(x)在区间[-1,1]上存在零点,求实数m的取值范围;
解：
解得 -13≤m≤3,
∴
(1)由题意,知函数f(x)在区间[-1,1]上单调递减,
∵f(x)在区间[-1,1]上存在零点,
所以实数m的取值范围是[-13,3].
新知讲解
【例2】已知函数f(x)=2x2-8x+m+3为R上的连续函数.
(2)若m=-4,判断f(x)在(-1,1)上是否存在零点 若存在,请在精确度为0.2的条件下,用二分法求出这个零点所在的区间;若不存在,请说明理由.
解：
(2)存在.
当m=-4时,f(x)=2x2-8x-1,易求出f(-1)=9,f(1)=-7.
∵f(-1)f(1)<0,f(x)在区间(-1,1)上单调递减,
∴函数f(x)在(-1,1)上存在唯一零点x0.
因为f(0)=-1<0,所以f(-1)f(0)<0,所以x0∈(-1,0),
此时0-(-1)=1>0.2;
因为,所以,所以x0∈(,0),
此时0-()=>0.2;
新知讲解
【例2】已知函数f(x)=2x2-8x+m+3为R上的连续函数.
(2)若m=-4,判断f(x)在(-1,1)上是否存在零点 若存在,请在精确度为0.2的条件下,用二分法求出这个零点所在的区间;若不存在,请说明理由.
解：
因为,所以,所以x0∈(,0),
因为,所以,所以x0∈(,0),
此时0-()=>0.2;
此时0-()=,满足精确度要求.
所以所求这个零点的区间为.
初试身手
4.在用二分法求方程的近似解时,若初始区间是[1,5],精确度要求是0.001,则需要计算的次数是　　　　.
解：
初始区间是[1,5],精确度要求是0.001,
需要计算的次数n满足,即.
而210=1 024,211=2 048,212=4 096>4 000,
故需要计算的次数是12.
12
课堂小结
1.二分法的定义.
对于在区间上图象连续不断且的函数 ,通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法
2.用二分法求函数零点近似值的步骤.
定区间，找中点，
中值计算两边看；
区间长度缩一半；
精确度上来判断.
同号去，异号算,
零点落在异号间，
周而复始怎么办
3.注意逐步逼近思想、数形结合思想、近似与精确的相对统一.
作业布置
作业：P155 习题4. 第4，5,8题.
补充：
1.设f(x)=3x+3x-8，用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1，2)内近似解的过程中的f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间( )
A.(1，1.25) B.(1.25，1.5) C.(1.5，2) D.不能确定
2.已知函数f(x)的一个零点x0∈(2，3)，在用二分法求精确度为0.01的x0的一个值时，判断各区间中点的函数值的符号最少要 ( )
A.5次 B.6次 C.7次 D.8次
3.用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时,经计算,f(0.64)<0,f(0.72)>0,
f(0.68)<0,则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为　　　　.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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