(共44张PPT)
5.2.1 三角函数的概念
素养·目标定位
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素养·目标定位
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1.利用单位圆定义任意角的三角函数
如图,设α是一个任意角,α∈R,它的
终边OP与 单位圆 相交于点P(x,y).
(1)把点P的纵坐标y叫做α的 正弦函数 ,
记作 sin α ,即y=sin α;
(2)把点P的横坐标x叫做α的 余弦函数 ,
记作 cos α ,即x=cos α;
(3)把点P的纵坐标与横坐标的比值 叫做α的 正切 ,记作 tan α ,即 =tan α(x≠0).当x≠0时,它也是以角为自变量,以单位圆上的点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数,称为 正切函数 .
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为 三角函数 .
2.正弦函数、余弦函数、正切函数在弧度制下的定义域
3.三角函数值在各象限的符号
口诀概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图).
微训练2若 ,则点(tan α,cos α)位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案:B
∴tan α<0,cos α>0,
∴点(tan α,cos α)位于第二象限.
4.诱导公式一
(1)语言表示:终边相同的角的 同一 三角函数的值相等.
利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求0~2π(或0°~360°)角的三角函数值.
微点拨 三角函数值有“周而复始”的变化规律,角α的终边每绕原点旋转一周,函数值将重复出现.
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一 三角函数的定义
典例剖析
1.(1)在直角坐标系中,已知角α的终边与单位圆交于点A,点A的纵坐标为 ,则tan α= .
(2)已知角α的终边经过点P(4a,-3a)(a≠0),则2sin α+cos α=
.
规律总结
利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况
(1)若已知角,则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出各三角函数值.
(4)若已知角α终边上的点的坐标含参数,则需进行分类讨论.
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答案:B
解析:根据三角函数的定义,知
二 三角函数定义的应用
典例剖析
互动探究
(变问法)若本例中条件不变,求tan α+2sin α的值.
规律总结
1.已知角α的终边所在的直线,求角α的三角函数值,常用的解题方法有以下两种
(1)先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,再利用正弦函数、余弦函数、正切函数的定义求出相应的三角函数值.
2.当角α的终边上的点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数分类讨论.
学以致用
2.在平面直角坐标系中,角α的终边在直线3x+4y=0上,求sin α-3cos α+tan α的值.
三 三角函数值符号的判断
典例剖析
答案:(1)ABC (2)四
规律总结
判断三角函数值正负的两个步骤
(1)定象限:确定角α所在的象限.
(2)定符号:利用三角函数值的符号规律,即“一全正,二正弦,三正切,四余弦”来判断.
学以致用
3.判断下列各式的符号:
(1)sin 145°cos(-210°);
(2)sin 3cos 4tan 5.
解:(1)∵145°是第二象限角,∴sin 145°>0.
∵-210°=-360°+150°,∴-210°是第二象限角,
∴cos(-210°)<0.∴sin 145°cos(-210°)<0.
∴sin 3>0,cos 4<0,tan 5<0,∴sin 3cos 4tan 5>0.
四 诱导公式一的应用
典例剖析
4.(1)sin(-1 380°)的值为( )
5.求下列各式的值:
(1)sin(-1 395°)cos 1 110°+cos(-1 020°)sin 750°;
解:(1)原式=sin(-4×360°+45°)cos(3×360°+30°)
+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)
=sin 45°cos 30°+cos 60°sin 30°
规律总结
应用诱导公式一求三角函数值的主体思路是“负化正,大化小”.
把角先改写为2kπ+α,α∈[0,2π),k∈Z,或k·360°+α, 0°≤α<360°,k∈Z的形式,再求角α的三角函数值,应熟记特殊角(0°,30°,45°,60°,90°,120°,135°,150°)的三角函数值.
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4.求下列各式的值:
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答案:A
答案:A
答案:C
4.如果点P(sin θcos θ,cos θ)位于第四象限,则角θ是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
答案:C(共34张PPT)
5.2.2 同角三角函数的基本关系
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同角三角函数的基本关系
(1)同角三角函数的基本关系式
①平方关系: sin2α+cos2α=1 .
这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方和等于 1 ,商等于角α的 正切 .
微点拨1“同一个角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在式子有意义的前提下)关系式都成立.关系式中的角可以是具体的数值,可以是变量,也可以是单项式(或多项式)表示的角.如:sin250°+cos250°=1,sin22α+cos22α=1,
微判断(1)sin2α+cos2β=1.( )
×
√
×
解析:(1)在同角三角函数的基本关系式中,要注意是“同角”才成立,即sin2α+cos2α=1.
微训练1下列四个结论可能正确的是( )
答案:B
解析:由同角三角函数的基本关系式可逐个判断A,C,D中的结论不正确,故选B.
(2)同角三角函数基本关系式的变形
①sin2α+cos2α=1的变形公式:
sin2α= 1-cos2α ;cos2α= 1-sin2α .
(2)这些关系式不仅要牢固掌握,还要做到灵活运用(正用、逆用、变形用).
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一 利用同角三角函数的基本关系求值
典例剖析
1.(1)若 ,且角α为第三象限角,则tan α的值等于( )
规律总结
利用同角三角函数的基本关系求三角函数值的方法:(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解.
(2)已知三角函数之间的关系式求三角函数值的问题,我们可利用平方关系或商数关系求解,其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α的等价转化,寻找解决问题的突破口.
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二 已知正切值的求值问题
典例剖析
2.已知tan α=3,求下列各式的值.
规律总结
1.已知角α的正切值,求由sin α和cos α构成的代数式的值,构成的代数式通常是分式齐次式.解题策略是通过分子、分母同除以cos α或cos2α的方式将其转化为关于tan α的式子后再求值.
2.若构成的代数式是整式齐次式,可以视分母为1,灵活地进行“1”的代换,将1=sin2α+cos2α代换后,再同除以cos2α,构造出关于tan α的代数式.
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三 三角函数式的化简与证明
典例剖析
规律总结
三角函数式的化简技巧:
(1)化切为弦,即把正切函数都化为正弦函数、余弦函数,从而减少函数名称,达到化繁为简的目的.
(2)对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号,达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.
学以致用
随 堂 训 练
答案:B
答案:C
