(共33张PPT)
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
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正弦函数、余弦函数的图象
微点拨五点法画图的优越性
(1)避免了“描点法”画图的烦琐,抓住了“描点法”的本质,使列表更具有目标性,针对性.
(2)计算方便,描点准确.
(3)由于抓住了关键点,所以更能准确反映图象全貌.
(2)用五点作图法作y=1+cos x,x∈[0,2π]的图象时,其中第二个关键点的坐标为 .
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一 利用“五点法”作与正弦函数、余弦函数有关的函数的简图
典例剖析
1.利用“五点法”作出下列函数的图象:
(1)y=2-sin x(0≤x≤2π);
(2)y=-2cos x+3(0≤x≤2π).
解:利用“五点法”作图.
(1)列表:
描点并用光滑的曲线连接起来,如图所示.
(2)列表:
描点、连线,得出函数y=-2cos x+3(0≤x≤2π)的图象,如图所示.
规律总结
应用“五点法”作与正弦函数、余弦函数有关的函数的简图的步骤
第一步:列表
令x取 对应求出y的值列出对应值表.
第二步:描点
在平面直角坐标系中,从左至右依次将上述五点描出来.
第三步:连线
用平滑曲线从左到右依次连接各点,即可得到相应函数在区间[0,2π]上的图象.
学以致用
1.用“五点法”作出函数y=1-cos x(0≤x≤2π)的简图.
解:列表如下.
描点并用光滑的曲线连接起来,如图.
二 利用正弦函数、余弦函数的图象解不等式
典例剖析
规律总结
用三角函数的图象解不等式的方法
(1)作出相应正弦函数或余弦函数在区间[0,2π]上的图象.
(2)在区间[0,2π]上写出适合不等式的解集.
(3)根据公式一写出不等式的解集.
学以致用
2.求下列函数的定义域.
(1)y=log2(2cos x+1);
解:(1)要使函数有意义,须满足2cos x+1>0,
画出y=cos x,x∈[-π,π]的大致图象,
如图所示.
三 正弦曲线、余弦曲线与其他曲线的交点问题
典例剖析
3.方程lg x=sin x的解的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案:D
解析:作出函数y=lg x与y=sin x的图象,如图所示.
x与y=sin x的图象无交点.由图可知有三个交点,故方程有三个解.
互动探究
(变条件)方程ln x=sin x的解的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案:B
解析:作出函数y=ln x与y=sin x的图象,如图所示.
由图可知有1个交点,故方程解的个数为1.
规律总结
判断方程解的个数的关注点
(1)确定方程解的个数问题,常借助函数图象,用数形结合的方法求解.
(2)当在同一平面直角坐标系中作两个函数的图象时,要注意其相对位置,常借助于函数值的大小来确定.
学以致用
3.若函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,求k的取值范围.
画出图象如图所示.由图象可知,满足条件的k的取值范围为{k|1随 堂 训 练
1.利用“五点法”作函数y=cos x,x∈[0,2π]的简图时,第三个关键点的坐标是( )
A. B.(π,1) C.(π,0) D.(π,-1)
答案:D
解析:根据“五点法”作图中起关键作用的五点的特征加以判断,所以第三个关键点的坐标是(π,-1).故选D.
2.函数y=cos x+|cos x|,x∈[0,2π]的大致图象为( )
答案:D
3.不等式cos x<0,x∈[0,2π]的解集为 .
解析:由函数y=cos x的图象(图略)可知,不等式cos x<0在区间[0,2π]上的解集为
4.函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象与直线 的交点有 个.
答案:2
解析:作y=cos x,x∈[0,2π]的图象及直线 (图略),知两图象有两个交点.
5.已知函数f(x)=1+2sin x,用“五点法”作出函数y=f(x)在区间[0,2π]上的图象.
解:列表如下:
描点、连线即可得到函数y=f(x)在区间[0,2π]上的图象,如图所示.(共36张PPT)
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
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1.周期函数
(1)周期函数
(2)最小正周期
微点拨1函数周期性的理解
(1)并非所有的周期函数都有最小正周期.如常数函数f(x)=c(x∈R),所有非零常数T都是它的周期,但最小正周期不存在.
(2)周期函数的周期不止一个,若T是函数的周期,则kT(k∈N*)一定也是函数的周期.
(3)一般不作特别说明,周期就是指最小正周期.
2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
微点拨2 1.判断函数的奇偶性时,一定要先判断函数的定义域是否关于原点对称,当定义域不关于原点对称时,正弦型函数和余弦型函数就不具有奇偶性.由奇偶性知正弦曲线关于原点(0,0)对称,余弦曲线关于y轴对称.
微思考函数y=sin|x|及y=|sin x|都具有奇偶性吗 它们都是周期函数吗 若是,则它们的最小正周期是什么
提示:根据奇偶函数的定义可知,两个函数均为偶函数.作出两个函数的图象(图略),观察可知函数y=sin|x|不是周期函数,函数y=|sin x|是周期函数且最小正周期为π.
微训练(1)函数 是( )
A.周期为π的奇函数
B.周期为π的偶函数
C.周期为2π的奇函数
D.周期为2π的偶函数
(2)函数y=1+cos x的图象( )
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线 对称
答案:(1)D (2)B
解析:(1)因为 所以该函数是周期为2π的偶函数.
(2)余弦曲线y=cos x关于y轴对称,向上平移1个单位长度可得函数y=1+cos x的图象,对称轴不变,故选B.
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一 与正弦函数、余弦函数有关的函数的周期性
典例剖析
1.求下列函数的周期:
(3)作出y=cos|x|的图象如图所示.
易知函数的周期T=2π.
规律总结
求与正弦函数、余弦函数有关的函数的周期的方法
(1)定义法,即利用周期函数的定义求解.
(2)公式法,对形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A≠0,ω≠0)的函数,
(3)图象法,画出函数图象,通过观察函数图象求其周期.
三种方法各有所长,要根据函数式的结构特征,选择适当的方法求解.
学以致用
1.(1)下列是定义在R上的四个函数图象的一部分,其中不是周期函数的是( )
答案:D
解析:对于D,x∈(-1,1)时的图象与其他区间上的图象均不同,故不是周期函数.
答案:AD
二 与正弦函数、余弦函数有关的函数的奇偶性
典例剖析
2.判断下列函数的奇偶性.
解:(1)f(x)=sin 2x+x2sin x.
∵x∈R,f(-x)=sin(-2x)+(-x)2sin(-x)=-sin 2x-x2sin x=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
规律总结
判断函数奇偶性的两个关键点
关键点一:看函数的定义域是否关于原点对称.
关键点二:看f(-x)与f(x)的关系.
对于与三角函数有关的函数的奇偶性的判断,有时可根据诱导公式,先将函数式化简,再判断.
学以致用
2.判断下列函数的奇偶性:
三 与正弦函数、余弦函数有关的函数的奇偶性与周期性的综合应用
典例剖析
答案:D
2.(变条件)若将本例(1)中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,结果如何
规律总结
求解与正弦函数、余弦函数有关的函数的周期性与奇偶性的解题策略
(1)探求能化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ是常数, A≠0,ω≠0)的形式的函数的周期,常利用公式法求解.
学以致用
3.下列函数中是奇函数,且最小正周期是π的函数是( )
答案:D
解析:y=cos|2x|=cos 2x是偶函数,最小正周期为π;
y=|sin x|是偶函数,最小正周期为π;
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答案:B
答案:B
又f(-x)=-cos(-2x)=-cos 2x=f(x),
∴f(x)是最小正周期为π的偶函数.
3.若函数 的最小正周期为2,则ω的值为
.
答案:±π
解析:最小正周期 ,∴|ω|=π,∴ω=±π.
答案:1
5.判断下列函数的奇偶性:
(2)f(x)=xcos x.
所以f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数.
(2)f(x)的定义域是R,f(-x)=(-x)cos(-x)=-xcos x=-f(x),
所以f(x)是奇函数.(共33张PPT)
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第2课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
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正弦函数、余弦函数的图象和性质
微训练(1)函数y=-cos x+3的单调递减区间为 .
(2)函数y=2cos x+1的值域为 .
答案:(1)[2kπ-π,2kπ],k∈Z (2)[-1,3]
解析:(1)∵y=cos x的单调递增区间为[2kπ-π,2kπ],k∈Z,
∴y=-cos x的单调递减区间为[2kπ-π,2kπ],k∈Z.
∴函数y=-cos x+3的单调递减区间为[2kπ-π,2kπ],k∈Z.
(2)∵-1≤cos x≤1,∴-1≤2cos x+1≤3,即所求函数的值域为[-1,3].
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一 求正弦型函数、余弦型函数的单调区间
典例剖析
互动探究
1.(变条件)本例添加条件“x∈[0,π]”,其他条件不变,又如何解答
规律总结 求正弦型函数、余弦型函数单调区间的方法
(1)求函数y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))(A>0,ω>0)的单调区间,一般将ωx+φ视作整体,代入y=sin t(或y=cos t)相应单调区间所对应的不等式,解之即得.
(2)当ω<0时,先利用诱导公式将y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))(A>0,ω<0)变形为y=-Asin(-ωx-φ)
(或y=Acos(-ωx-φ))(A>0,ω<0),再求函数的单调区间.
(3)当A<0时,要注意单调区间的变化,谨防将单调递增区间与单调递减区间混淆.
学以致用
二 利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小
典例剖析
2.利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小.
(2)sin 196°=sin(180°+16°)=-sin 16°,
cos 156°=cos(180°-24°)=-cos 24°=-sin 66°.
∵0°<16°<66°<90°,且当0°∴sin 16°从而-sin 16°>-sin 66°,
即sin 196°>cos 156°.
规律总结
求解三角函数值比较大小问题的一般步骤
(1)依据诱导公式把异名三角函数化为同名三角函数;
(2)依据诱导公式把不在同一单调区间内的角转化到同一个单调递增(减)区间;
(3)依据三角函数的单调性比较大小.
学以致用
2.比较下列各组数的大小.
(2)sin 110°,sin 150°.
(2)∵sin 110°=sin 70°,sin 150°=sin 30°,sin 70°>sin 30°,
∴sin 110°>sin 150°.
三 与正弦函数、余弦函数有关的函数的值域与最值问题
典例剖析
命题角度1 形如y=Asin(ωx+φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b的函数的最值
命题角度2 形如y=Asin2x+Bsin x+C或y=Acos2x+Bcos x+C的函数的最值
4.求使函数 取得最大值和最小值的自变量x的取值集合,并求出函数的最大值和最小值.
规律总结
求三角函数值域(最值)的常用方法
(1)形如y=Asin(ωx+φ)+k的三角函数,令t=ωx+φ,根据题中x的取值范围,求出t的取值范围,再利用三角函数y=sin t的单调性和值域求出y=Asin t+k的值域(最值)(其中A,ω,φ,k为常数,A≠0, ω≠0).
(2)可化为y=Asin2x+Bsin x+C或y=Acos2x+Bcos x+C(A≠0),最大值、最小值可利用二次函数在定义域上的最大值、最小值的求法来求(换元法).
学以致用
4.求函数f(x)=sin2x+cos x(x∈R)的最大值.
解:令t=cos x,则t∈[-1,1].
∵f(x)=sin2x+cos x=1-cos2x+cos x,
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1.函数y=cos x-1的最小值是( )
A.0 B.1
C.-2 D.-1
答案:C
解析:因为cos x∈[-1,1],所以函数y=cos x-1的最小值为-2.
答案:B
答案:D
(1)求函数f(x)的解析式和最小正周期;
(2)求函数f(x)在区间[0,2π]上的最大值和最小值.(共36张PPT)
5.4.3 正切函数的性质与图象
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函数y=tan x的图象和性质
微点拨对于正切曲线的理解
微思考正切函数在定义域内是增函数吗
答案:C
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一 与正切函数有关的函数的周期性和奇偶性
典例剖析
(2)函数f(x)=xtan x的奇偶性为( )
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
答案:(1)A (2)B
规律总结
3.判断函数的奇偶性要先求函数的定义域,判断其是否关于原点对称.若不对称,则该函数既不是奇函数也不是偶函数;若对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.涉及与正切函数有关的函数的奇偶性应注意tan(-x)=-tan x的应用.
学以致用
答案:(1)B (2)-5
二 正切型函数的单调性及应用
典例剖析
规律总结
1.函数y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)的单调区间
(1)把ωx+φ(ω>0)作为一个整体.
(2)A>0(A<0)时,函数的单调性与 的单调性相同(反).
(3)解不等式 ,得出x的取值范围,若ω<0,一般先用诱导公式将x的系数化为正值,然后再求单调区间.
2.运用正切函数的单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.
(2)运用单调性比较大小.
学以致用
2.(1)下列各式正确的是( )
A.0<ω≤2 B.-2≤ω<0
C.ω≥2 D.ω≤-2
答案:(1)D (2)A
三 与正切函数有关的函数的图象及应用
典例剖析
B
规律总结
若函数为周期函数,可先研究其一个周期上的图象,再利用周期性,延拓到定义域上即可.
学以致用
(2)画出f(x)=tan|x|的图象,并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性.
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答案:A
2.函数y=|tan x|的图象与直线y=1的两个相邻交点之间的距离是( )
答案:C
答案:>
答案:(-∞,-1]∪[1,+∞)
(1)求f(x)的最小正周期、定义域;
(2)若f(x)≥2,求x的取值范围.
(1)求f(x)的最小正周期、定义域;
(2)若f(x)≥2,求x的取值范围.
