(共30张PPT)
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时 两角差的余弦公式
素养·目标定位
课前·基础认知
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随 堂 训 练
素养·目标定位
课前·基础认知
对于任意角α,β有cos(α-β)= cos αcos β+sin αsin β ,此公式给出了任意角α,β的正弦、余弦与其差角α-β的余弦之间的关系,称为 差角的余弦 公式,简记作C(α-β).
微点拨1.公式的结构特征:
2.两角差的余弦公式的记忆要诀:
两角差的余弦值等于两角的余弦值乘积加上两角的正弦值乘积.
3.使用范围:α,β为任意角,可以是一个角,也可以是角的组合.
微训练(1)cos 44°cos 14°+sin 44°sin 14°的值为( )
课堂·重难突破
一 利用两角差的余弦公式求值
典例剖析
1.(1)cos(-75°)= .
解析:∵cos(-75°)=cos 75°=cos(120°-45°)
=cos 120°cos 45°+sin 120°sin 45°
(2)求值:cos 15°cos 105°+sin 15°sin 105°.
解:原式=cos(15°-105°)=cos(-90°)=cos 90°=0.
规律总结
利用两角差的余弦公式求值的一般思路
(1)把非特殊角转化为特殊角的差,正用公式直接求解.
(2)在转化的过程中,充分利用诱导公式,构造两角差的余弦公式的右边形式,然后逆用公式求值.
学以致用
1.cos 15°cos 45°+cos 75°sin 45°的值为( )
答案:B
解析:cos 15°cos 45°+cos 75°sin 45°
=cos 15°cos 45°+sin 15°sin 45°=cos(15°-45°)
=cos(-30°)=cos 30°=
二 给值求值
典例剖析
互动探究
规律总结
给值求值问题的解题策略
(1)从角的关系中找解题思路:已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值时,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.
(2)常见角的变换:①α=(α+β)-β;
②2β=(α+β)-(α-β)等.
学以致用
三 给值求角
典例剖析
规律总结
求解给值求角问题的一般步骤
(1)求角的某一个三角函数值.
(2)确定角的范围.
(3)根据角的范围写出所求的角.
学以致用
随 堂 训 练
答案:C
2.化简sin(x+y)sin(x-y)+cos(x+y)cos(x-y)的结果是( )
A.sin 2x B.cos 2y C.-cos 2x D.-cos 2y
答案:B
解析:原式=cos[(x+y)-(x-y)]=cos 2y.(共37张PPT)
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
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1.两角和的余弦公式
cos(α+β)= cos αcos β-sin αsin β ,简记为 C(α+β) .
2.两角和与差的正弦公式
sin(α+β)= sin αcos β+cos αsin β ,简记为 S(α+β) .
sin(α-β)= sin αcos β-cos αsin β ,简记为 S(α-β) .
微点拨1 1.公式的结构特征:
2.两角和的余弦公式的记忆要诀:
两角和的余弦值等于两角的余弦值乘积减去两角的正弦值乘积.
记忆时要与两角和与差的正弦公式区别开来,两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数之积,连接符号与左端的连接符号相同.
3.使用范围:α,β为任意角,可以是一个角,也可以是角的组合.
微训练1 sin 131°sin 19°+cos 19°sin 41°=( )
答案:C
解析:(1)sin 131°sin 19°+cos 19°sin 41°
=sin(90°+41°)sin 19°+cos 19°sin 41°
=cos 41°sin 19°+cos 19°sin 41°=sin(19°+41°)
=sin 60°= .故选C.
3.两角和与差的正切公式
公式S(α+β),C(α+β),T(α+β)给出了任意角α,β的三角函数值与其和角α+β的三角函数值之间的关系,为方便起见,我们把这三个公式都叫做 和角公式 ,类似地,S(α-β),C(α-β),T(α-β)都叫做 差角公式 .
微点拨2 1.公式的结构特征:
2.记忆要诀:
公式右端为分式形式,其中分子为tan α与tan β的和或差,分母为1与tan αtan β的差或和;分子上的加减号与左端的加减号相同,分母上的加减号与左端的加减号相反.
3.使用范围:α,β,α+β,α-β均不等于
微判断(1)不存在角α,β,使得cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β.
( )
(2)对于任意角α,β,都有sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.( )
(3)对于任意角α,β,总有tan(α+β)= ( )
×
√
×
解析:(1)如α=β=0,cos(α+β)=cos 0=1,cos αcos β+sin αsin β=1.
(2)由两角和的正弦公式知结论正确.
(3)公式成立需α,β,α+β均不等于
答案:1
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一 给角求值
典例剖析
答案:A
解析:sin 345°=sin(360°-15°)=-sin 15°=-sin(45°-30°)
=-sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°= .故选A.
规律总结
探究解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形.
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式,化为正负相消的项并消项求值,化分子、分母形式进行约分,解题时要逆用或变用公式.
学以致用
1.求下列各式的值:
解:(1)原式=sin(360°-13°)cos(180°-32°)+sin(90°-13°) cos(90°-32°)
=sin 13°cos 32°+cos 13°sin 32°=sin(13°+32°)
二 给值求值
典例剖析
答案:A
规律总结
求解给值求值问题的解题策略
(1)在解决此类题目时,一定要注意已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代换化异角为同角,具体做法如下:
①当条件中有两角时,一般把“所求角”表示为已知两角的和或差.
②当条件中只有一个已知角时,可利用诱导公式把所求角转化为已知角.
(2)此类问题中,角的范围不容忽视,解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围.
学以致用
答案:B
三 给值求角
典例剖析
互动探究
(变问法)若例5中条件不变,求tan(α+β)的值.
规律总结
在解决给值求角问题时,一般先求所求角的一个三角函数值,再根据题设确定角的范围,最后确定所求角.确定角的范围是关键,一定要使所选的函数在此范围内单调.
学以致用
答案:B
随 堂 训 练
答案:C
答案:C
答案:A(共38张PPT)
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
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二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α= 2sin αcos α .
(2)cos 2α= cos2α-sin2α .
如果要求二倍角的余弦公式(C2α)中仅含α的正弦(余弦),那么又可得到:cos 2α= 1-2sin2α ,cos 2α= 2cos2α-1 .
以上这些公式都叫做 倍角 公式.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.
微点拨1.倍角公式中的“倍角”是相对的,对于两个角的比值等于2的情况都成立,如6α是3α的2倍,3α是 的2倍……这里蕴含着换元思想.这就是说,“倍”是相对而言的,是描述两个数量之间的关系的.
2.和角公式与二倍角公式之间的逻辑联系如下:
答案:(1)C (2)C
微拓展二倍角公式的有关变形
(1)倍角公式的逆用及变形
(2)配方变形
1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2.
(3)因式分解变形
cos 2α=cos2α-sin2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α).
(4)升幂缩角变形
1+cos 2α=2cos2α;1-cos 2α=2sin2α.
(5)降幂扩角变形
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一 二倍角公式的正用、逆用
典例剖析
规律总结
应用二倍角公式求解给角求值问题,一般有两类
(1)直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化,一般可以化为特殊角.
(2)若为几个非特殊角的三角函数式相乘的形式,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,以便可以连用二倍角的正弦公式.
学以致用
1.计算下列各式的值:
二 条件求值
典例剖析
答案:(1)A (2)2a
规律总结
解决条件求值问题的方法
(1)有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化;寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系.
(2)当遇到 这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式,将条件与结论互通.
学以致用
三 三角函数式的化简与证明
典例剖析
规律总结
三角函数式化简、证明的常用技巧
(1)特殊角的三角函数与特殊值的互化.
(2)对于分式形式,应分别对分子、分母进行变形处理,有公因式的提取公因式后进行约分.
(3)对于二次根式,注意倍角公式的变形用.
(4)利用角与角之间的隐含关系,如互余、互补等.
(5)利用“1”的恒等变形,如tan 45°=1,sin2α+cos2α=1等.
学以致用
A.4cos 4-2sin 4 B.2sin 4
C.2sin 4-4cos 4 D.-2sin 4
答案:D
四 和角、差角、二倍角公式与三角函数的结合
典例剖析
4.已知函数f(x)=sin x(2cos x-sin x)+cos2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
解:(1)f(x)=sin x(2cos x-sin x)+cos2x=sin 2x-sin2x+cos2x
=sin 2x+cos 2x=
∴函数f(x)的最小正周期是π.
规律总结
与三角函数性质有关的问题,首先利用和角、差角、二倍角公式把函数化为正弦型函数或余弦型函数,然后利用性质求解.
学以致用
答案:(1)C (2)-4
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答案:A
答案:D
答案:B
答案:D(共37张PPT)
5.5.2 简单的三角恒等变换
素养·目标定位
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半角公式
因为不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会存在所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,所以进行三角恒等变换时,常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择适当的公式,这是 三角恒等变换 的一个重要特点.
微点拨1.若没有给出限定符号的条件,则在根号前保留正、负号;
2.若给出角α所在的象限,则根据下表判定符号:
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一 利用半角公式求值
典例剖析
规律总结
利用半角公式求值的思路
(1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助半角公式求解.
(2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围.
学以致用
答案:B
二 三角恒等式的证明与化简
典例剖析
规律总结
1.对恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或从右边推到左边,也可以用左右归一、变更论证等方法.
2.对三角函数关系式的证明与化简,常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法,要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法.
学以致用
三 辅助角公式的应用
典例剖析
互动探究
(变问法)若本例(3)中条件不变, ,求函数f(x)的取值范围.
学以致用
四 三角恒等变换在实际问题中的应用
典例剖析
4.如图,A,B是半径为1的圆O上的任意两点,以AB为一边作等边三角形ABC,问A,B处于怎样的位置时,四边形OACB的面积最大 最大面积是多少
解:设∠AOB=θ(0<θ<π),四边形OACB的面积为S.
如图,取AB的中点D,连接OD,则OD⊥AB.
规律总结
解决此类问题,关键是合理引入自变量,恰当表示题中的有关量,将实际问题转化为三角函数问题,再利用三角函数的有关知识求解.
学以致用
4.如图,要把半径为R的半圆形截成长方形,应怎样截取,才能使△AOB的周长最大
解:设△AOB的周长为l,
则AB=Rsin α,OB=Rcos α,
所以l=OA+AB+OB=R+Rsin α+Rcos α=R(sin α+cos α)+R
随 堂 训 练
答案:A
A.tan α B.tan 2α C.1 D.2
答案:B
A.a>b>c B.ac>b
答案:C
4.已知角A是△ABC的一个内角,且 ,则△ABC的形状是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.无法判断△ABC的形状
答案:C
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)的值域.
