(共18张PPT)
习题课二
例析三角函数最值问题求解策略
一 化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式求解
规律总结
形如y=asin2ωx+bsin ωxcos ωx+ccos2ωx+d(a,b,c,d为常数)的式子,都能转化成y=Asin(2ωx+φ)+k的形式求最值.
二 利用正弦函数、余弦函数的值域求解
三 转化为一元二次函数在某确定区间上求最值
【典型例题3】试求函数y=sin x+cos x+2sin xcos x+2的最值.
规律总结
一般地,形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数可转化为二次函数y=at2+bt+c在区间[-1,1]上的最值问题解决.既含sin x+cos x(或sin x-cos x)又含sin xcos x的三角函数采用换元法可以转化为关于t的二次函数求最值.注意以下结论的运用,设sin x+cos x =t,则sin xcos x= (t2-1);设sin x-cos x=t,则sin xcos x= (1-t2).
【跟踪训练3】设关于x的函数y=cos 2x-2acos x-2a的最小值为f(a),写出f(a)的表达式.
四 利用函数的单调性求解
【典型例题4】如图,在Rt△ABC内有一内接正方形,它的一条边在斜边BC上,设AB=a,∠ABC=θ,△ABC的面积为P,正方形的面积为Q.求 的最小值.
规律总结
一些复杂的三角函数最值问题,通过适当换元后,可利用函数的单调性巧妙解决.(共43张PPT)
章末核心素养整合
知识体系构建
专题归纳突破
知识体系构建
专题归纳突破
专题一 同角三角函数基本关系式的应用
1.利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的转化,利用
可以实现角α的弦切互化.
2.关系式的逆用与变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α, cos2α=1-sin2α,(sin α+cos α)2=(sin α-cos α)2+4sin αcos α.
3.sin α,cos α的齐次式的应用:分式中分子与分母是关于sin α, cos α的齐次式或含有sin2α,cos2α及sin αcos α的式子求值时,可将所求式子的分母看作“1”,利用“sin2α+cos2α=1”代换后转化为“切”求解.
【跟踪训练1】已知0求sin2x+2sin xcos x+3cos2x的值.
专题二 诱导公式的应用
用诱导公式化简、求值的方法
(2)解决“已知某个三角函数值,求其他三角函数值”的问题,关键在于观察分析条件角与结论角,清除条件与结论之间的差异,将已知和未知联系起来,还应注意整体思想的应用.
【跟踪训练2】已知角α是第三象限角,
专题三 三角函数的图象的性质
1.三角函数的两条性质
(2)奇偶性:三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx的形式,而偶函数一般可化为y=Acos ωx+k的形式.
2.求三角函数值域(最值)的方法
(1)利用sin x,cos x的取值范围.
(2)从y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0)的形式逐步分析ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域.
(3)换元法:把sin x或cos x看作一个整体,可化为求函数在某区间上的值域(最值)问题.
特别提醒
注意三角函数自身的取值范围,否则会出现错误.
3.求三角函数的单调区间
求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间可以通过解不等式去解答,即把ωx+φ视为一个“整体”,分别与正弦函数y=sin x,余弦函数y=cos x的单调递增(减)区间对应解出x,即得所求的单调递增(减)区间.如果ω<0,则先利用诱导公式,把x的负系数变为正系数,然后再求相应的单调区间.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在区间[-6,0]上的取值范围.
专题四 三角函数式的化简与求值
1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(1)一看“角”,一般化异角为同角,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式.
(2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,一般化异名为同名,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”.
(3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如“遇到分式要通分”等.
2.三角函数求值的三种情况
(1)“给角求值”:一般给出的角都是非特殊角,从表面上来看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.
(2)“给值求值”:给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,一般用已知角表示所求角.
(3)“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一三角函数值,再根据角的范围,确定角.
答案:(1)B (2)A
专题五 三角函数图象的变换
由函数y=sin x的图象通过变换得到函数y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的图象的两种方法:
答案:A
专题六 三角函数图象的变换
利用函数与方程的思想,把方程有解的问题转化为两个函数的图象有交点的问题,充分利用数形结合的思想,画出相关图象,求出参数的值(取值范围).
(1)求g(x)的解析式,并说明f(x)的图象经过怎样的变换可以得到g(x)的图象;
(2)若对于任意的 ,不等式|f(x)-m|<2恒成立,求实数m的取值范围.
