(共54张PPT)
第二章 机械振动
1．简谐运动
学习 任务
1 ．知道什么是弹簧振子，理解振动的平衡位置和简谐运动的概念。
2．通过观察和分析，理解简谐运动的位移—时间图像是一条正弦函数图线。
3．通过对简谐运动图像的描绘，认识简谐运动的特点。
4．通过对生活中振动实例的观察，体会振动对生活的影响。
关键能力·情境探究达成
01
知识点一 弹簧振子
知识点二 弹簧振子的位移—时间图像
知识点三 简谐运动
知识点一 弹簧振子
1．机械振动 物体或物体的一部分在一个位置附近的________称为机械振动，简称振动。
提醒 机械振动是机械运动的一种，其轨迹可以是直线也可以是曲线。
往复运动
2．弹簧振子
如图所示，如果球与杆之间的摩擦可以____，且弹簧的质量与小球的质量相比也可以____，我们把小球和弹簧组成的系统称为________。
提醒 弹簧振子是一个理想化模型，它是研究一般性振动的基础。
忽略
忽略
弹簧振子
3．平衡位置 弹簧未形变时，小球所受_______的位置。
4．振子的位移 振子相对________的位移。
合力为0
平衡位置
如图所示，将弹簧和钩码组成一个振动系统。
问题1 上述振动系统看成弹簧振子需要满足什么条件？
提示：(1)弹簧的质量很小，相对于钩码的质量可以忽略不计。
(2)空气阻力可以忽略不计。
问题2 平衡位置怎样确定？
提示：平衡位置在弹簧的弹力和钩码重力平衡的位置。
问题3 上述弹簧振子的振动有什么规律？
提示：在平衡位置附近上下做往复性的运动。
1．弹簧振子是理想化的物理模型，类似于我们学习的质点、点电荷模型。
2．实际物体看成弹簧振子的四个条件
(1)弹簧的质量比小球的质量小得多，可以认为质量集中于振子(小球)。
(2)构成弹簧振子的小球体积足够小，可以认为小球是一个质点。
(3)忽略弹簧及小球与水平杆之间的摩擦力。
(4)弹簧被拉伸(压缩)的长度在弹性限度内。
3．对平衡位置的理解
(1)系统不振动时，振子静止时所处的位置。
①水平弹簧振子的平衡位置在弹簧的原长位置；
②竖直弹簧振子的平衡位置在弹力与重力平衡的位置。
(2)振动过程中振子经过平衡位置时速度最大。
4．弹簧振子的位移
位移是指相对平衡位置的位移，大小等于振子所在位置到平衡位置的距离，方向由平衡位置指向振子所在位置。
【典例1】 (多选)弹簧上端固定在O点，下端连接一小球，组成一个振动系统，如图所示，用手向下拉一小段距离后释放小球，小球便上下振动起来，关于小球的平衡位置，下列说法正确的是( )
A．在小球运动的最低点
B．在弹簧处于原长时的位置
C．在小球速度最大时的位置
D．在小球原来静止时的位置
√
√
CD [平衡位置是振动系统不振动时，小球(振子)处于平衡状态时所处的位置，可知此时小球所受的重力与弹簧的弹力大小相等，即mg＝kx，即小球原来静止的位置，故D正确，A、B错误；当小球处于平衡位置时，其加速度为零，速度最大，C正确。]
[母题变式]
在上例中，小球做的运动是匀变速运动吗？
提示：因小球所受合力变化，小球做非匀变速运动。
规律方法 平衡位置的判断方法
(1)小球上下振动，合力为零时的位置为平衡位置。
(2)小球原来静止的位置，满足重力与弹簧弹力相等，即为平衡位置。
(3)小球速度最大时的位置和小球原来静止时的位置为同一位置。
[跟进训练]
1．如图所示为一弹簧振子，O为平衡位置，以向右为正方向，则振子在B、C之间振动时( )
A．B→O位移为负、速度为正
B．O→C位移为正、速度为负
C．C→O位移为负、速度为正
D．O→B位移为正、速度为负
√
A [速度方向即振子运动方向，则B→O位移向左为负，速度向右为正，A正确；O→C位移向右为正，速度向右为正，B错误；C→O位移向右为正，速度向左为负，C错误；O→B位移向左为负，速度向左为负，D错误。]
知识点二 弹簧振子的位移—时间图像
1．建立坐标系 以小球的________为坐标原点，沿着它的____方向建立坐标轴。选定正方向。
2．绘制图像
若用横轴表示振子运动的______，纵轴表示振子
在振动过程中离开________的位移x，则振子振
动的x-t图像如图所示，是一条正弦(或余弦)曲线。
平衡位置
振动
时间t
平衡位置
提醒 位移—时间图像描述的是物体的位移随时间变化的规律，而非物体的运动轨迹。
如图所示，在弹簧振子的小球上固定安置一记录用的铅笔P，在下面放一条白纸带，铅笔可在纸上留下痕迹。请思考：
问题1 振子振动时白纸不动，画出的轨迹是怎样的？
提示：一条平行于运动方向的线段。
问题2 振子振动时，匀速拖动白纸时，画出的轨迹又是怎样的？
提示：一条正弦(或余弦)曲线。
1．位移—时间图像(x-t图像)的建立
为了研究弹簧振子的运动规律，我们以振子的平衡位置为坐标原点，用横坐标表示振子振动的时间，纵坐标表示振子相对平衡位置的位移，建立坐标系，如图所示，这就是弹簧振子的位移—时间图像。若规定向右的方向为正方向，则小球在平衡位置右侧时位移为正，在平衡位置左侧时为负。
2．弹簧振子的位移—时间图像录制方法
(1)频闪照相法：频闪仪每隔0.05 s闪光一次，闪光的瞬时振子被照亮。拍摄时底片从下向上匀速运动，因此在底片上留下小球和弹簧的一系列的像。因底片运动的距离与时间成正比，所以可用底片运动的距离代表时间轴。振子的频闪照片反映了不同时刻小球离开平衡位置的位移，也就是位移随时间变化的规律，如图所示。
(2)描迹法：如图所示，在弹簧振子的小球上安装一支绘图笔，让一条纸带在与小球振动方向垂直的方向上匀速运动，绘画笔在纸带上画出的就是小球的振动图像。
3．位移—时间图像(x-t图像)的物理意义
位移—时间图像表示振动物体相对平衡位置的位移随振动时间的变化规律。
注意：振动位移是矢量，位移的起始位置都是平衡位置，方向为由平衡位置指向振子所在的位置，大小为平衡位置到该位置的距离。
【典例2】 如图甲所示，弹簧振子中小球运动的最左端M和最右端N距离平衡位置的距离均为l，规定水平向右为正方向，振子的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是( )
A．图乙中x0的大小等于l
B．0～时间内小球由M向O运动
C．～时间内小球由M向O运动
D．0～时间内与～T时间内小球运动方向相反
√
A [结合甲、乙两图可以知道时刻小球的位移为正值且最大，小球位于N，x0的大小等于l，A选项正确；0～时间内位移为正值，且逐渐增大，小球由O向N运动，B选项错误；～时间内位移为正值，且逐渐减小，小球由N向O运动，C选项错误；0～时间内小球先从位移为零处沿正方向运动到正的最大位移处，再从正的最大位移处沿负方向运动到位移为零处，～T时间内小球先从位移为零处沿负方向运动到负的最大位移处，再从负的最大位移处沿正方向运动到位移为零处，D选项错误。故选A。]
规律方法 解决位移—时间图像问题的方法
解此类题时，首先要理解x-t图像的意义，其次要把x-t图像与质点的实际振动过程联系起来，图像上的一个点表示振动中的一个状态(位置、振动方向等)，图像上的一段图线对应振动的一个过程
[跟进训练]
2．(多选)如图所示是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移—时间图像。有关该图像的说法正确的是( )
A．该图像的坐标原点建立在弹簧振子的平衡位置
B．从图像可以看出振子在振动过程中是沿t轴方向移动的
C．为了显示振子在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿垂直于x轴的方向匀速运动
D．图像中点的疏密表示振子位置变化的快慢
√
√
√
ACD [由题图可知，零时刻振子位移为零，即位于平衡位置，A正确；振子只在x轴方向上振动，B错误；由获得图像的方法可知C正确；图像中两相邻点之间的时间间隔相同，疏处说明振子位置变化快，密处说明振子位置变化慢，D正确。]
知识点三 简谐运动
1．定义
如果物体的位移与时间的关系遵从____函数的规律，即它的振动图像(x-t图像)是一条____曲线，这样的振动是一种简谐运动。
2．特点
简谐运动是最基本的____，弹簧振子的运动就是________。
正弦
正弦
振动
简谐运动
滑板运动非常有趣。如图所示，某同学踩着滑板在弧形滑道的内壁来回滑行。
问题1 滑板的这种运动可视为振动吗？
提示：若这种弧形滑道的半径远大于人到最低点距离，则其位移随时间的变化遵从正弦函数的规律，其运动可视为振动。
问题2 若可以，它的平衡位置在哪里？
提示：平衡位置在滑道的最低点。
1．简谐运动的性质
简谐运动的位移随时间按正弦规律变化，所以它不是匀变速运动，是在变力作用下的非匀变速运动。
2．简谐运动的速度、加速度的理解
速度 (1)方向：远离平衡位置运动的过程中速度方向背离平衡位置；衡位置运动的过程中速度方向指向平衡位置。
(2)大小：①振子在平衡位置的速度最大，在最大位移处的速度为零。
②远离平衡位置的过程中，振子的速度减小；衡位置的过程中，振子的速度增大。
加 速 度 (1)方向：总是指向平衡位置，总是与位移方向相反。
(2)大小：①远离平衡位置运动过程中，振子的加速度增大；衡位置运动过程中，振子的加速度减小。
②位于平衡位置时振子的加速度为零；位于最大位移处时振子的加速度最大。
3．简谐运动图像的应用
(1)任意时刻质点位移的大小和方向。如图甲所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2。
(2)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图乙中a点，下一时刻离平衡位置更远，故a点此刻向上振动。图乙中b点，下一时刻离平衡位置更近，故b此刻向上振动。
(3)某段时间内位移、速度、加速度的变化情况判断：先判断质点在这段时间内的振动方向，从而确定各物理量的变化。如图甲所示，在t1时刻到t0时刻这段时间内，质点的位移变小，故质点从正位移处向平衡位置运动，速度增大，位移和加速度都变小；t2时刻到下一时刻，质点从负位移处远离平衡位置运动，则速度为负值且减小，位移、加速度增大。
【典例3】 (2022·岳阳一中高二期末)如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动，取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是( )
A．t＝0.8 s时，振子的速度方向向左
B．t＝0.2 s时，振子在O点右侧6 cm处
C．t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的加速度相同
D．t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的速度逐渐减小
√
A [由题图乙可知，当t＝0.8 s时，振子正通过平衡位置向负方向运动，即向左运动，A正确；在t＝0.2 s时，振子位移为正且大于6 cm，即在O点右侧大于6 cm处，B错误；t＝0.4 s时，振子位于正向最大位移处，t＝1.2 s时，振子位于负向最大位移处，两个时刻振子的加速度方向相反，C错误；t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子向平衡位置运动，速度逐渐增大，D错误。]
规律方法 简谐运动图像中振子速度方向的判断方法：沿时间轴正方向看，若图像是上升的，则振子沿x轴正方向运动，若图像是下降的，则振子沿x轴负方向运动。
[跟进训练]
3．(2022·湖北高二月考)下列各种运动中，属于简谐运动的是( )
A．拍皮球时球的往复运动
B．将轻弹簧上端固定，下端挂一钩码，钩码在竖直方向上来回运动
C．粗糙水平面上，一端固定的轻弹簧和小球固定，小球在水平面上来回运动
D．孩子用力荡秋千，秋千来回运动
√
B [拍皮球时球做往返运动，但是受到的力不满足简谐运动的条件，所以不是简谐运动，故A错误；轻弹簧上端固定，下端挂钩码，钩码上下振动时，为简谐运动，故B正确；粗糙水平面上，一端固定的轻弹簧和小球固定，小球运动过程受阻力，不满足简谐运动条件，故C错误；孩子荡秋千，只有秋千在摆角很小且空气阻力可以忽略的情况下才能看作是简谐运动，故D错误。]
学习效果·随堂评估自测
02
1
2
3
4
1．(多选)下列四副图中物体的运动属于机械振动的是( )
A．图甲中正在荡秋千的儿童的运动
B．图乙中正在走时的摆钟的摆锤的运动
C．图丙中运动会上彩旗随风飘扬的运动
D．图丁中正在放飞的风筝的运动
√
√
1
2
3
4
AB [根据机械振动的定义可知正在荡秋千的儿童的运动、正在走时的摆钟的摆锤的运动属于机械振动；运动会上彩旗随风飘扬的运动、正在放飞的风筝的运动不属于机械振动。故A、B正确。]
1
2
3
4
2．如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数规律，这样的运动叫作简谐运动。根据图中各图像可以判断出物体可能做简谐运动的是( )
A．①②
B．③④
C．①③
D．②④
√
1
2
3
4
C [根据题意，振动图像与正弦函数图像相似的①③的运动符合简谐运动的特征，故A、B、D错误，C正确。]
3．(2022·江苏徐州第一中学月考)如图甲
所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，从
最低点位置向上运动时刻开始计时，取竖
直向上为正方向，振动图像如图乙所示。
关于其振动图像，下列说法正确的是( )
A．t＝1.25 s时，振子的加速度为正，速度也为正
B．t＝1.7 s时，振子的加速度为负，速度也为负
C．t＝1.0 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值
D．t＝1.5 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值
1
2
3
4
√
1
2
3
4
C [t＝1.25 s时，位移为正，故加速度为负，x-t图像上某点切线的斜率表示速度，故速度为负，A错误；同理，t＝1.7 s时，位移为负，加速度为正，速度为负，B错误；t＝1.0 s时，位移为正的最大值，加速度为负的最大值，速度为零，C正确；t＝1.5 s时，位移为零，加速度为零，速度为负，D错误。]
1
2
3
4
4．(新情境题，以实验探究为背景，考查简谐运动)简谐运动的振动图像可用下述方法画出：如图甲所示，在弹簧振子的小球上安装一支绘图笔P，让一条纸带在与小球振动方向垂直的方向上匀速运动，绘图笔P在纸带上画出的就是小球的振动图像。取振子水平向右的方向为振子离开平衡位置的位移正方向，纸带运动的距离表示时间，得到的振动图像如图乙所示。
1
2
3
4
(1)为什么必须匀速拖动纸带？
_________________________________________________________
[解析] 纸带匀速运动时，由x＝vt知，纸带的位移与时间成正比，因此在匀速运动条件下，可以用纸带通过的位移表示时间。
在匀速运动条件下，可以用纸带通过的位移表示时间
1
2
3
4
(2)刚开始计时时，振子处在____________________；t＝17 s时振子相对平衡位置的位移是________。
[解析] 由题图乙可知t＝0时，振子在平衡位置左侧最大位移处；周期T＝4 s，t＝17 s时振子相对平衡位置的位移为零。
左侧最大位移处
零
1
2
3
4
(3)若纸带运动的速度为2 cm/s，振动图像上1 s处和3 s处对应纸带上两点间的距离是________。
[解析] 由x＝vt，可知振动图像上1 s处和3 s处对应纸带上两点间的距离x＝2 cm/s×2 s＝4 cm。
4 cm
1
2
3
4
(4)在0～4 s时间内，振子在________ s末负方向速度最大；振子在__________s末正方向加速度最大；2.5 s时振子正在向________方向运动。
[解析] 在0～4 s时间内，振子在3 s末负方向速度最大；加速度方向总是指向平衡位置，所以t＝0或t＝4 s时正方向加速度最大；t＝2.5 s时，振子正在向负方向运动。
3
0(或4)
负
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．弹簧振子的运动具有什么特点？
提示：(1)围绕着“一个中心”位置。
(2)偏离“平衡位置”位移增大。
(3)在两点间“往复”运动。
2．简谐运动中振动物体经过某一位置时，加速度和速度是否同向？
提示：不一定。振动物体经过某一位置时，加速度方向始终指向平衡位置，但速度方向可能指向平衡位置，也可能背离平衡位置。
3．在简谐运动的图像中能直接获取哪些信息？
提示：任一时刻质点所在的位置及运动方向。(共45张PPT)
第二章 机械振动
2．简谐运动的描述
学习 任务
1．理解简谐运动的振幅、周期、频率、相位和初相位的概念。
2．知道周期和频率的关系。
3．知道简谐运动的表达式，掌握表达式中各物理量的意义，体会数形结合思想的应用。
4．通过实例观察探究测量物体振动周期的方法。
关键能力·情境探究达成
01
知识点一 简谐运动的振幅、周期和频率
知识点二 相位和简谐运动的表达式
知识点一 简谐运动的振幅、周期和频率
1．振幅
(1)定义：振动物体离开平衡位置的________，叫作振动的振幅。用A表示，国际单位为米(m)。
(2)物理意义：振幅是描述振动____大小的物理量；振动物体的运动范围是振幅的____。
最大距离
幅度
两倍
2．全振动
类似于O→M→O→M′→O的一个______振动过程称为一次全振动。
提醒 不管以哪个位置作为研究的起点，振动物体完成一次全振动的时间总是相同的。
完整的
3．周期(T)和频率(f )
(1)周期T：做简谐运动的物体完成一次______所需要的时间，叫作振动的周期。单位：__。
(2)频率f：物体完成______的次数与所用时间之比叫作振动的频率。单位：____，简称赫，符号是____。
(3)周期T与频率f 的关系式：f＝。
提醒 简谐运动的频率不是用来描述振动物体某时刻运动快慢的物理量，而是用来描述一次全振动快慢的物理量。
全振动
秒
全振动
赫兹
Hz
(4)ω：一个与周期成反比、与频率成正比的量，叫作简谐运动的“圆频率”，表示简谐运动的快慢，ω＝＝_____。
2πf
如图所示为一个水平弹簧振子，振动周期为T，振幅为A，O点为其平衡位置，B、C点为振动的最大位移处，tOD＝tDC，E点与D点关于O点对称。
问题1 振子经历DCDOBOD过程的时间是多少？通过的路程是多少？位移是多少？
提示：时间t＝T，路程s＝4A，位移x＝0。
问题2 振子经历C→O→B过程的时间是多少？通过的路程是多少？位移是多少？
提示：时间t＝T，路程s＝2A，位移x＝2A。
问题3 振子经历C→O、O→B两过程的时间分别是多少？通过的路程分别是多少？位移分别是多少？
提示：两个过程的时间、路程、位移都相同：时间t＝T，路程s＝A，位移x＝A。
1．全振动的四个特征
(1)物理量特征：位移x、加速度a、速度v三者第一次同时与初始状态相同。
(2)时间特征：历时一个周期。
(3)路程特征：振幅的4倍。
(4)相位特征：增加2π。
2．简谐运动中振幅与位移、路程、周期的关系
振幅与位移 (1)振幅等于位移的最大值；
(2)同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化
振幅与路程
振幅与周期 在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关
【典例1】 (对简谐运动中物理量的理解)(2022·河北邯郸高一期中)如图所示，弹簧振子在B、C间做简谐运动，O为平衡位置，B、C为两侧的最大位置，若振子振幅为A，由B运动到C的时间为2 s，则( )
A．从O点再次回到O点为一次全振动
B．振子经过4 s，振子通过的路程为4A
C．振子从B到C的平均速度为0.5A(m/s)
D．振子经过的路程为A时所用的时间一定为1 s
√
B [从O点再次回到O点，不是一次全振动，故A错误；由题意B运动到C的时间为2 s可知周期T＝4 s，振子经过4 s通过的路程为4A，故B正确；振子从B到C的平均速度为v＝＝A(m/s)，故C错误；振子从最大位移处到平衡位置处或从平衡位置处到最大位移处经过的路程为A时所用的时间一定为1 s，除此之外振子经过的路程为A时所用的时间不一定为1 s，故D错误。]
【典例2】 (简谐运动的周期性和对称性)(多选)(2022·江苏邳州高二学情检测)弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动，从经过O点开始计时，振子第一次到达P点时用了0.3 s，又经过0.2 s第二次经过P点，则振子第三次经过P点还要经过的时间是( )
A．1.6 s B．1.4 s C． s D．0.8 s
√
√
BC [假设弹簧振子在B、C之间振动，如图甲，若振子开始先向左振动，振子的振动周期T＝×4 s＝ s，则振子第三次通过P点还要经过时间t＝ s－0.2 s＝ s；如图乙所示，若振子开始先向右振动，振子的振动周期T′＝4× s＝1.6 s，则振子第三次通过P点还要经过时间t′＝1.6 s－0.2 s＝1.4 s，故B、C正确，A、D错误。]
规律方法 由于简谐运动是一种变加速运动，所以计算简谐运动的周期，往往要利用简谐运动的对称性，先计算出从平衡位置到最大位移处(或从最大位移处到平衡位置)的时间，即，再计算一个周期T的大小。
[跟进训练]
1．(2022·山东枣庄八中高二月考)一竖直悬挂的弹簧振子，下端装有一记录笔，在竖直面内放置有一记录纸，当振子上下振动时，以速率v水平向左匀速拉动记录纸，记录笔在纸上留下如图所示的图像。记录笔与记录纸之间的摩擦和空气阻力都忽略不计。y1、y2、x0、2x0为已知量，则( )
A．振子平衡位置的纵坐标为y＝
B．该弹簧振子的振动周期为
C．振子在(x0，y2)位置时加速度最大
D．匀速拉动纸带的速率增大为原来的2倍，
振子振动的周期变为原来的
√
C [根据简谐运动的对称性可知，平衡位置纵坐标为y＝，故A错误；由题图可知，振子在一个周期内沿x轴方向的位移为2x0，水平速度为v，则该弹簧振子的振动周期为T＝，故B错误；振子在(x0，y2)位置时处于最大位移处，则回复力最大，由牛顿第二定律知，加速度最大，故C正确；弹簧振子的周期只与弹簧振子本身有关，匀速拉动纸带的速率增大为原来的2倍，则一个周期内沿x轴方向的位移增大为原来的2倍，振子振动的周期不变，故D错误。]
2．一弹簧振子做简谐运动，周期为T，则( )
A．若t时刻和t＋Δt时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍
B．若t时刻和t＋Δt时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则Δt一定等于的整数倍
C．若Δt＝T，则在t时刻和t＋Δt时刻振子运动的加速度一定相等
D．若Δt＝，则在t时刻和t＋Δt时刻弹簧的长度一定相等
√
C [弹簧振子做简谐运动的振动图像如图所示，图中A点与B、E、F、I等点的振动位移大小相等，方向相同。由图可知，A点与E、I等点对应的时间差为T或T的整数倍，A点与B、F等点对应的时间差不为T或T的整数倍，A选项错误；图中A点跟B、C、F、G等点的振动速度大小相等，方向相反，由图可知A点与C、G等点对应的时间差为或的整数倍，A点与B、F等点对应的时间差不为或的整数倍，B选项错误；如果t时刻和t＋Δt时刻相差一个周期T，则振子在这两个时刻的振动情况完全相同，加速度一定相等，选项C正确；除在平衡位置时，如果t时
刻和t＋Δt时刻相差半个周期，则这两个时刻振子的位
移大小相等，方向相反，弹簧的长度显然是不相等的，
选项D错误。]
知识点二 相位和简谐运动的表达式
1．相位：物理学中把________叫作相位。φ是t＝0时的相位，称作_______，或初相。
2．相位差
(1)定义：两个具有相同______的简谐运动的相位之差。
(2)表示：两个简谐运动的频率相同，其初相分别是φ1和φ2，当φ1>φ2时，它们的相位差是Δφ＝(ωt＋φ1)－(ωt＋φ2)＝________。
(3)意义：表示1的相位比2____Δφ，或者说2的相位比1____Δφ。
提醒 比较相位或计算相位差时，要用同种函数来表示振动方程。
ωt＋φ
初相位
频率
φ1－φ2
超前
落后
3．简谐运动的位移表达式
简谐运动的表达式可以写成x＝___________或x＝_____________。振幅、周期、初相位是描述简谐运动特征的物理量。
A sin (ωt＋φ)
Asin
如图所示，一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪很大，游船上下浮动。可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm，周期为3.0 s。当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船。
问题 在一个周期内，游客能舒服地登船的时间是多少？
提示：由题中所给条件写出游船做简谐运动的振动方程y＝20sin t＝20sin t(cm)，画出y-t图像，如图所示，能舒服登船的时间Δt＝t2－t1，在一个周期内，当y＝10 cm时，解得t1＝0.25 s，t2＝1.25 s，则Δt＝t2－t1＝1.25 s－0.25 s＝1.0 s，即一个周期内，游客能舒服地登船的时间是1.0 s。
1．相位
(1)物理意义：用来描述做简谐运动的物体在各个时刻所处的不同状态。
(2)特点：相位是一个随时间变化的量，它的值为角度，其单位是弧度(rad)或度(°)。
(3)物体经历一次全振动，相位变化2π。
2．相位差的取值范围、同相和反相、超前和滞后
(1)相位差的取值范围：－π≤Δφ≤π。
(2)同相和反相：Δφ＝0，表明两振动步调完全相同，称为同相；Δφ＝π，表明两振动步调完全相反，称为反相。
(3)超前和滞后：Δφ＞0，表示振动2比振动1超前；Δφ<0，表示振动2比振动1滞后。
3．简谐运动两种描述方法的比较
(1)简谐运动图像(x-t图像)是直观表示质点振动情况的一种手段，直观地表示了质点的位移x随时间t变化的规律。如图所示，根据振动图像可获知如下信息：
(2)x＝A sin (ωt＋φ)是用函数表达
式的形式反映质点的振动情况的。
(3)两者对同一个简谐运动的描述
是一致的，两种表述方法可以相
互转换。
【典例3】 (简谐运动表达式的理解与应用)(2022·山东实验中学检测)一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.1sin 2.5πt，位移x的单位为m，时间t的单位为s。则( )
A．弹簧振子的振幅为0.2 m
B．弹簧振子的周期为1.25 s
C．在t＝0.2 s时，振子的加速度为零
D．若另一弹簧振子B的位移x随时间t变化的关系式为
x＝0.2sin (m)，则A滞后B
√
D [由振动方程可知振幅为0.1 m，圆频率ω＝2.5π rad/s，故周期T＝ s＝0.8 s，故A、B错误；在t＝0.2 s时，x＝0.1 m，即振子的位移最大，加速度最大，故C错误；两振动的相位差Δφ＝φ2－φ1＝2.5πt＋－2.5πt＝，即B超前A ，或者说A滞后B ，故D正确。]
规律方法 应用简谐运动的表达式x＝A sin (ωt＋φ0)解答问题时，需要明确振幅A、周期T或频率f、初相位，圆频率可通过ω＝＝2πf计算。
【典例4】 (简谐运动图像的理解与应用)A、B两个简谐运动的位移—时间图像如图所示。
请根据图像写出：
(1)A的振幅是________cm，周期是
________s；B的振幅是________ cm，
周期是________ s。
[解析] 由题图知，A的振幅是0.5 cm，周期是0.4 s；B的振幅是0.2 cm，周期是0.8 s。
0.5
0.4
0.2
0.8
(2)两个简谐运动的位移随时间变化的关系式。
[解析] 由题图知，t＝0时刻A中振动的质点从平衡位置开始沿负方向振动，φA＝π，由TA＝0.4 s，得ωA＝＝5π rad/s。则A的简谐运动的表达式为xA＝0.5sin (5πt＋π)cm。t＝0时刻B中振动的质点从平衡位置沿正方向已振动了周期，φB＝，由TB＝0.8 s，得＝2.5π rad/s, 则B的简谐运动的表达式为xB＝0.2sin cm。
[答案] xA＝0.5sin (5πt＋π) cm xB＝0.2sin cm
[母题变式]
在上例中，t＝0.05 s时两质点的位移分别是多大？
[解析] 将t＝0.05 s分别代入两个表达式中得xA＝0.5sin (5π×0.05＋π) cm＝－0.5× cm＝
xB＝0.2sin cm＝0.2sin π cm。
[答案] xA＝－ cm xB＝0.2sin π cm
[跟进训练]
3．(2022·福建泉州月考)有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是( )
A．x＝8×10-3sin m B．x＝8×10-3sin m
C．x＝8×10-3sin m D．x＝8×10-3sin m
A [由题可知，A＝0.8 cm＝8×10-3m，T＝0.5 s，则ω＝＝4π rad/s，初始时刻具有负方向的最大加速度，则初位移x0＝0.8 cm，初相位φ0＝，得弹簧振子的振动方程为x＝8×10-3sin m，A正确。]
√
4．某简谐运动的位移—时间图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．简谐运动的振幅为4 cm
B．简谐运动的周期为0.4 s
C．位移—时间图像就是振动质点的运动轨迹
D．图像中A点对应时刻，质点速度方向沿x轴负方向
B [由题中图像可得，简谐运动的振幅为2 cm，周期为0.4 s，故A错误，B正确；该图像表示质点的位移随时间变化的规律，不是质点的运动轨迹，故C错误；图像中A点对应时刻，质点向x轴正方向运动，即速度方向沿x轴正方向，故D错误。]
√
学习效果·随堂评估自测
02
1．(多选)如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C间振动，不考虑摩擦，则( )
A．从B→O→C→O→B为一次全振动
B．从O→B→O→C→B为一次全振动
C．从C→O→B→O→C为一次全振动
D．B、C两点关于O点对称
√
√
√
ACD [O点为平衡位置，B、C为两侧最远点，则从B起经O、C、O、B的路程为振幅的4倍，为一次全振动，A正确；若从O起经B、O、C、B的路程为振幅的5倍，超过一次全振动，B错误；若从C起经O、B、O、C的路程为振幅的4倍，为一次全振动，C正确；因不考虑弹簧振子的系统的摩擦，所以它的振幅一定，故B、C两点关于O点对称，D正确。]
2．一个做简谐运动的质点，它的振幅是4 cm，频率是2.5 Hz，该质点从平衡位置开始经过2.5 s后，位移的大小和经过的路程为( )
A．4 cm，10 cm B．4 cm，100 cm
C．0，24 cm D．0，100 cm
B [质点的振动周期T＝＝0.4 s，故时间t＝所以2.5 s末质点在最大位移处，位移大小为4 cm，质点通过的路程为4×4×6 cm＝100 cm，选项B正确。]
√
3．(多选)一个质点做简谐运动的振动图像
如图所示，下列说法正确的是( )
A．在任意1 s内质点经过的路程都是2 cm
B．在5 s末，质点的速度为零
C．t＝1.5 s和t＝2.5 s两个时刻，质点的位移和速度方向都相反
D．从t＝1.5 s时刻到t＝4.5 s时刻，质点通过的路程为cm
√
√
BD [由题图可知质点做简谐运动的周期T＝4 s，则1 s＝T，1 s内质点通过的路程不一定是一个振幅的大小，即不一定是2 cm，A错误；在5 s末，质点运动至最大位移处，速度为零，B正确；t＝1.5 s和t＝2.5 s两个时刻，质点的位移方向相反，但速度方向相同，C错误；根据题图可知质点做简谐运动的位移的表达式为x＝2sin t(cm)，从t＝1.5 s时刻到t＝4.5 s时刻质点运动了3 s，从位移 cm处到达位移－2 cm处，后再次回到位移 cm处，通过的路程为cm，D正确。]
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．描述简谐运动的物理量有哪些？
提示：振幅、周期、频率、相位。
2．如何判断一个振动过程是否为一个全振动？
提示：在判断物体的运动过程是否为一次全振动时不仅要看物体是否回到原位置，而且要判断物体到达该位置的振动状态(速度、加速度、位移)是否与原位置相同。
3．简谐运动的表达式中含有哪些物理信息？
提示：振幅、圆频率、初相位。(共38张PPT)
第二章 机械振动
3．简谐运动的回复力和能量
学习 任务
1．会分析弹簧振子的受力情况，理解回复力的概念。
2．认识位移、速度、回复力和加速度的变化规律及相互联系。
3．会用能量观点分析水平弹簧振子动能、势能的变化情况，知道简谐运动中机械能守恒。
关键能力·情境探究达成
01
知识点一 简谐运动的回复力
知识点二 简谐运动的能量
知识点一 简谐运动的回复力
1．回复力
(1)定义：振动质点受到的总能使其回到________的力。
(2)方向：指向________。
(3)表达式：F＝______。
提醒 回复力是按照力的作用效果来命名的，分析物体的受力时，不分析回复力。
平衡位置
平衡位置
－kx
2．简谐运动的动力学特征
如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成____，并且总是指向________，物体的运动就是简谐运动。
正比
平衡位置
如图甲所示为水平方向的弹簧振子，如图乙所示为竖直方向的弹簧振子，如图丙所示为m随M一起振动的系统。
问题1 图甲中水平方向的弹簧振子的回复力的来源是什么？
提示：弹簧的弹力提供回复力。
问题2 图乙中竖直方向的弹簧振子的回复力的来源是什么？
提示：弹簧的弹力与重力的合力提供回复力。
问题3 图丙中水平方向m与M整体的回复力的来源是什么？m的回复力的来源是什么？
提示：m与M整体的回复力由弹簧的弹力提供；m的回复力由M对m的静摩擦力提供。
1．回复力的理解
(1)作用效果：使振动物体回到平衡位置。
(2)来源：回复力可能由某一个力提供，也可能由几个力的合力提供，还可能由某一个力的分力提供。归纳起来，回复力一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。
(3)回复力是效果力：受力分析时只能分析物体所受的性质力，不能再“额外添加”回复力。
2．简谐运动的回复力的特点
(1)表达式：F＝－kx。
①大小：与振子的位移大小成正比；
②方向：“—”表示与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置。
(2)表达式F＝－kx中的k指的是由振动系统本身决定的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数。
提醒 因x＝A sin (ωt＋φ)，故回复力F＝－kx＝－kA sin (ωt＋φ)，可见回复力随时间按正弦规律变化。
3．简谐运动的加速度的特点
根据牛顿第二定律得a＝x。
(1)大小：与位移大小成正比。
(2)方向：与位移方向相反。
【典例1】 (2022·山东昌乐期中)如图所示，物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动，A、B之间无相对滑动，已知轻质弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为m和M，下列说法不正确的是( )
A．物体A的回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供
B．滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供
C．物体A与滑块B看成一个振子，其回复力大小跟位移大小之比为k
D．若A、B之间的动摩擦因数为μ，则A、B间无相对滑动的最大振幅为
√
B [物体A做简谐运动时，在水平方向受到滑块B对它的静摩擦力，所以物体A做简谐运动的回复力是由滑块B对物体A的静摩擦力提供，A正确；滑块B做简谐运动的回复力是由弹簧的弹力和物体A对滑块B的静摩擦力的合力提供，B错误；物体A与滑块B(看成一个振子)的回复力大小满足F＝－kx，则回复力大小跟位移大小之比为k，C正确；物体间的静摩擦力最大时，其振幅最大，设为A，以整体为研究对象有kA＝(M＋m)a，以A为研究对象，由牛顿第二定律得μmg＝ma，联立解得A、B间无相对滑动的最大振幅为A＝，D正确。]
[母题变式]
对于典例1中的物体A，下列给定的四幅图中能正确反映振动过程中其所受摩擦力Ff与振子相对平衡位置位移x关系的图像为( )
√
A B C D
B [A、B整体在水平方向只受到弹簧的弹力作用，因此，应做简谐运动，故A也应做简谐运动，即A的回复力也应满足Ff＝－kx的结论，即选项B正确。本题也可从整体法与隔离法的思想求出A受到的静摩擦力的表达式。在振动过程中A、B始终保持相对静止，可以把A、B看成整体。设A、B的质量分别为mA、mB，弹簧的劲度系数为k，则有－kx＝(mA＋mB)a，得a＝－，物体A受到的摩擦力Ff＝mAa＝－kx，故选项B正确。]
A B C D
[跟进训练]
1．(2022·浙江湖州质检)如图所示，物体A、B叠放在光滑水平面上，轻质弹簧的一端固定在墙面上，另一端与A相连，弹簧的轴线与水平面平行。开始时弹簧处于伸长状态，释放后物体A、B一起运动，两物体第一次向右通过平衡位置时开始计时，取向右为正方向，则物体A受到
的摩擦力Ff与时间t的关系图像正确的是( )
√
A [对A、B整体，加速度与振子位移的关系为a＝对B，A对B的摩擦力提供回复力，即Ff＝mBa＝－·x，则B对A的摩擦力Ff＝·x；振子做简谐运动时，x随t做正弦规律变化，则Ff也随t做正弦规律变化，第一次向右通过平衡位置时开始计时，且向右为正方向，所以图像为过坐标原点的正弦函数图像。故A正确，B、C、D错误。]
知识点二 简谐运动的能量
1．振动系统(弹簧振子)的状态与能量的对应关系
弹簧振子运动的过程就是____和____互相转化的过程。
(1)在最大位移处，____最大，____为零。
(2)在平衡位置处，____最大，____为零。
2．简谐运动的能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能____，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种______的模型。
动能
势能
势能
动能
动能
势能
守恒
理想化
如图为弹簧振子，观察振子从B→O→C→O→B的一个循环。
问题1 振子在振动过程中动能、势能的变化规律。
提示：振子的动能变化规律：B→O过程动能增大，
O点动能最大，O→C过程动能减小；振子的势能变
化规律：振子在B、C两点势能最大，B→O过程
势能减小，O点势能为0，O→C过程势能增大。
问题2 振子在振动过程中机械能守恒吗？
提示：振子在振动过程中只有弹力做功，故机械能守恒。
1．对简谐运动的能量的理解
决定 因素 简谐运动的能量由振幅决定：对一个给定的振动系统，振幅越大，振动越强，系统的机械能越大；振幅越小，振动越弱，系统的机械能越小
能量 的获得 最初的能量来自外部，通过外力做功获得
注意：1 ．在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化。
2．振子运动经过平衡位置两侧的对称点时，具有相等的动能和相等的势能。
能量 的转化 系统只发生动能和势能的相互转化，机械能守恒
理想 化条件 (1)力的角度：简谐运动不考虑阻力
(2)能量转化角度：简谐运动不考虑因克服阻力做功带来的能量损耗
2．简谐运动中各物理量的变化规律
如图所示，振子以O点为平衡位置在A、B之间做简谐运动，各物理量的变化规律为：
物理量 运动过程 A→O O→B B→O O→A
位移 大小 减小 增大 减小 增大
方向 向左 向右 向右 向左
回复力、加速度 大小 减小 增大 减小 增大
方向 向右 向左 向左 向右
速度 大小 增大 减小 增大 减小
方向 向右 向右 向左 向左
动能 增大 减小 增大 减小
势能 减小 增大 减小 增大
(1)通过上表可以看出：位移、回复力、加速度三者的大小同步变化，与速度大小的变化相反。
(2)通过上表可以看出两个转折点：
①平衡位置O点是位移方向、加速度方向和回复力方向变化的转折点；
②最大位移处是速度方向变化的转折点。
【典例2】 (多选)(2022·辽宁渤海大学附中月考)光滑斜面上有一物块A被平行于斜面的轻质弹簧拉住并静止于O点，如图所示，现将物块A沿斜面拉到B点无初速度释放，物块A在B、C之间做简谐运动，则下列说法正确的是( )
A．OB越长，振动能量越大
B．物块A在运动过程中机械能守恒
C．物块A在C点时系统的势能最大
D．物块A在B点时机械能最小
√
√
√
[思路点拨] 解答本题要抓住三个关键点：
ACD [OB越长，振动的幅度越大，故振动的能量越大，A正确；在运动过程中，物块A和弹簧组成的系统的机械能守恒，由于弹簧的弹性势能是变化的，故物块A的机械能不守恒，B错误；物块A和弹簧组成的系统的机械能守恒，物块A在C点时，动能为零，故物块A与弹簧构成的系统的势能(重力势能和弹性势能之和)最大，C正确；物块A和弹簧组成的系统的机械能守恒，物块A在B点时，弹簧的伸长量最大，弹簧的弹性势能最大，物块A的机械能最小，故D正确。]
[跟进训练]
2．如图甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，周期T＝2 s，从最低点向上运动时开始计时，振动图像如图乙所示，下列说法正确的是( )
A．t＝1.25 s时，振子的加速度为正，速度也为正
B．t＝1 s时，系统的弹性势能最大，重力势能最小
C．t＝0.5 s时，系统的弹性势能为零，重力势能最小
D．t＝2 s时，系统的弹性势能最大，重力势能最小
√
D [从题图乙中可知在t＝1.25 s时振子在平衡位置上方，向下振动，故加速度向下，速度向下，两者都为负，A错误；t＝1 s时，振子在正向最大位移处，即最高点，故振子的重力势能最大，B错误；t＝0.5 s时，振子在平衡位置，位移为零，但不在最低点，所以重力势能不是最小，C错误；t＝2 s时，振子在最低点，重力势能最小，处于负向最大位移处，弹簧伸长量最大，且大于振子在正向最大位移处的弹簧的压缩量，故弹性势能最大，D正确。]
学习效果·随堂评估自测
02
1
2
3
4
1．如图所示，对做简谐运动的小球，受力分析正确的是( )
A．重力、支持力、弹簧的弹力
B．重力、支持力、弹簧的弹力、回复力
C．重力、支持力、回复力、摩擦力
D．重力、支持力、摩擦力
A [小球受重力、支持力和弹簧的弹力；简谐运动没有能量损失，故没有摩擦力；回复力是由合力提供，是效果力，不能说物体受回复力。故A正确，B、C、D错误。]
√
1
2
3
4
2．关于简谐运动的回复力F＝－kx的含义，下列说法正确的是( )
A．k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度
B．k是回复力跟位移的比值，x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移
C．根据k＝－，可以认为k与F成正比
D．表达式中的“—”号表示F始终阻碍物体的运动
√
1
2
3
4
B [对弹簧振子来说，k为劲度系数，x为质点离开平衡位置的位移，对于其他简谐运动来说，k不是劲度系数，而是一个比例系数，故A错误，B正确；该系数由系统本身结构决定，与力F和位移x无关，C错误；“—”只表示回复力与位移反向，回复力有时是动力，D错误。]
1
2
3
4
3．(2022·山东烟台高二期末)如图所示是竖直方向的弹簧振子在0～0.4 s内做简谐运动的图像，由图像可知( )
A．在0.25～0.3 s内，弹簧振子受到的回复力越来越小
B．t＝0.7 s时刻，弹簧振子的速度最大
C．系统的动能和势能相互转化的周期为0.4 s
D．系统的动能和势能相互转化的周期为0.2 s
√
1
2
3
4
D [在0.25～0.30 s内，弹簧振子的位移越来越大，受到的回复力越来越大，A错误；振动的周期为0.4 s，弹簧振子在0.7 s时刻的位移最大，速度为零，B错误；动能与势能都是标量，它们变化的周期等于简谐运动的周期的一半，所以系统的动能和势能相互转化的周期为0.2 s，C错误，D正确。]
1
2
3
4
4．(多选)甲、乙两弹簧振子，振动图像如图所示，则可知( )
A．两弹簧振子完全相同
B．振子的振动频率之比f甲∶f乙＝1∶2
C．振子甲速度为零时，振子乙速度最大
D．两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲∶F乙＝2∶1
√
√
1
2
3
4
BC [由振动图像读出两弹簧振子的振幅和周期不同，则两弹簧振子一定不完全相同，故A错误；两弹簧振子周期之比T甲∶T乙＝2∶1，频率之比f甲∶f乙＝1∶2，故B正确；由题图看出，甲在最大位移处时，乙在平衡位置，即振子甲速度为零时，振子乙速度最大，故C正确；由振动图像读出两振子位移最大值之比x甲∶x乙＝2∶1，根据简谐运动的特征F＝－kx，由于弹簧的劲度系数k可能不等，回复力最大值之比F甲∶F乙不一定等于2∶1，故D错误。]
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．简谐运动的回复力有什么特点？
提示：回复力是效果力，效果是使物体回到平衡位置，大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反。
2．对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由什么决定？
提示：振幅，振幅越大，能量越大。
3．简谐运动的弹簧振子系统机械能是否守恒？
提示：守恒。(共44张PPT)
第二章 机械振动
4．单摆
学习 任务
1．知道什么是单摆，了解单摆的构成及单摆的回复力。
2．理解单摆做简谐振动的条件，会利用图像法分析单摆的运动。
3．掌握单摆的周期公式，并能够进行计算。
4．经历单摆周期与摆长关系的探究过程，体会实验设计思路。
5．借助单摆周期影响因素的分析，培养严谨的科学态度。
关键能力·情境探究达成
01
知识点一 单摆及单摆的回复力
知识点二 单摆的周期
知识点一 单摆及单摆的回复力
1．单摆的组成
由细线和____组成。如图所示。
2．理想化模型
(1)细线的长度不可改变。
(2)细线的____与小球相比可以忽略。
(3)小球的____与线的长度相比可以忽略。
提醒 在这个模型里，细线无弹性、不可伸缩、没有质量，小球是质点。
小球
质量
直径
3．单摆的回复力
(1)回复力的来源：摆球的重力沿________方向的分力。
(2)回复力的特点：在摆角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成____，方向总指向________，即F＝－x。从回复力特点可以判断单摆做简谐运动。
圆弧切线
正比
平衡位置
如图所示，小球和细线构成一个单摆。
问题1 结合简谐运动的知识，思考运动过程中小球
受到几个力的作用？什么力充当小球振动的回复力？
提示：小球受重力和细线的拉力。重力沿圆弧切线的分力。
问题2 摆球经过平衡位置时，合外力是否为零？摆球到达
最大位移处，v＝0，加速度是否等于0
提示：单摆摆动中平衡位置不是平衡状态，有向心力和向心加速度，回复力为零，合外力不为零。最大位移处速度等于零，但不是平衡状态，所以加速度不等于零。
1．单摆的受力分析
(1)单摆受力：受细线拉力和重力作用。
(2)向心力来源：细线拉力和重力沿径向分力的合力。
(3)回复力来源：重力沿圆弧切线方向的分力F＝mg sin θ，提供了使摆球振动的回复力。
2．单摆做简谐运动的推证
如图所示，单摆的回复力F＝G1＝mg sin θ，在偏角很小时，sin θ≈，所以单摆的回复力为F＝－x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，故单摆做简谐运动。
3．单摆做简谐运动的规律
(1)单摆做简谐运动的位移—时间(x-t)图像是一条正弦(或余弦)曲线。
(2)单摆振动过程中各量的变化特点。
位置或过程 位移、回复力、加速度 速度、动能 重力势能
最高点 最大 零 最大
最低点 零 最大 最小
远离平衡位置运动 越来越大 越来越小 越来越大
衡位置运动 越来越小 越来越大 越来越小
【典例1】 (2022·重庆西南大学附属中学月考)如图所示，O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中( )
A．摆球在A点和C点处，速度为零，所受合力也为零
B．摆球在A点和C点处，速度为零，所受回复力也为零
C．摆球在B点处，速度最大，所受回复力也最大
D．摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大
√
D [摆球在重力和细线拉力作用下沿圆弧AC做圆周运动，在最高点A、C处速度为零，所受合力不为零，A错误；在最低点B处速度最大，所需向心力最大，重力沿细线方向的分力最大，细线的拉力最大，D正确；回复力F＝mgsin θ，其中θ为摆线偏离竖直方向的角度，所以摆球在摆动过程中，在最高点A、C处回复力最大，在最低点B处回复力为零，故B、C错误。]
[跟进训练]
1．(多选)如图所示为均匀小球在做单摆运动，平衡位置为O点，A、B为最大位移处，M、N点关于O点对称。下列说法正确的是( )
A．小球受重力、绳子拉力和回复力
B．小球所受合外力就是单摆的回复力
C．小球在O点时合外力不为0，回复力为0
D．小球在M点的位移与小球在N点的位移大小相等
√
√
CD [小球只受两个力：重力、绳子拉力，A错误；单摆的回复力由重力沿运动方向的分力提供，B错误；单摆在O点时，回复力为0，但合外力不为0，合外力指向运动轨迹的圆心，C正确；根据运动的对称性可知，选项D正确。]
知识点二 单摆的周期
1．探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响
(1)探究方法：________法。
(2)实验结论：
①单摆振动的周期与摆球质量____。
②周期与振幅____。
③摆长越长，周期____；摆长越短，周期____。
控制变量
无关
无关
越大
越小
2．周期公式
(1)提出：由荷兰物理学家______首先提出的。
(2)公式：T＝____，即单摆做简谐运动的周期T与摆长l的二次方根成____，与重力加速度g的二次方根成____，而与振幅、摆球质量无关。
提醒 1 ．单摆的周期只与其摆长和当地的重力加速度有关，而与振幅和摆球质量无关，它又叫作单摆的固有周期。单摆周期公式的成立条件为摆角θ<5°。
2．周期为2 s的单摆叫作秒摆。秒摆的摆长约为1 m。
惠更斯
2π
正比
反比
意大利的物理学家伽利略在观察吊灯摆动现象时发现摆的等时性原理，即在摆角小于5°时，不论摆钟摆动幅度大些还是小些，完成一次摆动的时间都是相同的。
请你利用自己的脉搏和身边的器材重复伽利略的实验。
问题1 同一个摆振动的快慢与摆的振幅有无关系？
提示：无关。
问题2 振动的快慢与摆锤的轻重有无关系？
提示：无关。
问题3 振动的快慢与摆线长短有关吗？
提示：有关。摆线越长，振动越慢，摆线越短振动越快。
1．对单摆周期公式T＝2π的理解
(1)T与摆长l和当地的重力加速度g有关。
(2)T与振幅和摆球质量无关，故T又叫作单摆的固有周期。
(3)适用条件：摆角很小(一般小于5°)。
2．对摆长l和重力加速度g的理解
(1)摆长l：指从悬点到摆球重心的长度。
①对于实际的单摆，摆长l＝l′＋，l′为摆线长，D为摆球直径。
②等效摆长：
a．图(a)中小球在O点右侧运动时摆长为L，在O点左侧
运动时摆长为L。
b．图(b)中，甲、乙在垂直纸面方向上摆动起来效果是相同的，故甲摆等效摆长为l sin α。其周期T＝。
c．图(c)中，乙在垂直纸面方向摆动时，其等效摆长等于甲摆的摆长；乙在纸面内小角度摆动时，等效摆长等于丙摆的摆长。
(2)重力加速度g的理解。
①公式中的g由单摆所在地的空间位置决定。
由＝g知，在地球表面不同位置、不同高度g是不同的，在不同星球上g也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值g′代入公式，即g不一定等于9.8 m/s2。
②等效重力加速度。
a．若单摆系统处在多力存在的平衡态，则一般情况下，g值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时，摆线所受的张力与摆球质量的比值。如图甲所示的斜面摆，球静止在O点时，FT＝mg sin θ，等效加速度g′＝＝g sin θ；又如图乙所示的电场中，带电荷量为q(q>0)的小球静止于图示位置时，摆线拉力FT＝，
等效加速度g′＝＝。
b．若单摆系统处在非平衡状态(如加速、减速、完全失重状态)，如单摆处在向上加速发射的航天器内，设航天器加速度为a，此时摆球处于超重状态，沿圆弧切线方向的回复力变大，摆球质量不变，则重力加速度的等效值g′＝g＋a。
【典例2】 (多选)甲、乙两个单摆的振动图像如图所示。根据振动图像可以断定( )
A．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，甲、乙
两单摆摆长之比是9∶4
B．甲、乙两单摆振动的频率之比是3∶2
C．甲、乙两单摆振动的周期之比是2∶3
D．若甲、乙两单摆在不同地点摆动，但摆长相同，则甲乙两单摆所在地点的重力加速度之比为9∶4
√
√
√
[思路点拨] (1)由振动图像可知单摆振动的周期关系为T甲＝T乙。
(2)若甲、乙两单摆在不同地点摆动，则g不同。
BCD [根据图像可知，单摆振动的周期关系：T甲＝T乙，所以周期之比为，频率为周期的反比，所以频率之比为，B、C正确；若甲、乙在同一地点，则重力加速度相同，根据周期公式T＝可得摆长之比为4∶9，A错误；若在不同地点，摆长相同，根据T＝2π得重力加速度之比为9∶4，D正确。]
【典例3】 (2022·山东泰安期中)如图所示的几个相同单摆在不同条件下，关于它们的周期关系，下列判断正确的是( )
A．T1＞T2＞T3＞T4
B．T1＜T2＝T3＜T4
C．T1＞T2＝T3＞T4
D．T1＜T2＜T3＜T4
√
C [题图(1)中，当摆球偏离平衡位置时，重力沿斜面的分力mg sin θ为等效重力，即单摆的等效重力加速度g1＝g sin θ；题图(2)中两个带电小球的斥力总与运动方向垂直，不影响摆球的回复力；题图(3)为标准单摆；题图(4)中摆球处于超重状态，等效重力加速度为g4＝g＋a。由单摆周期公式T＝知T1＞T2＝T3＞T4，选项C正确。]
[跟进训练]
2．如图所示，三根细线在O点处打结，A、B端固定在同一水平面上相距为l的两点上，使△AOB成直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC线长也是l，下端C点系着一个小球(半径可忽略)，下列说法正确的是(以下皆指摆动角度小于5°，重力加速度为g)( )
A．让小球在纸面内振动，周期T＝2π
B．让小球在垂直纸面内振动，周期T＝2π
C．让小球在纸面内振动，周期T＝2π
D．让小球在垂直纸面内振动，周期T＝2π
√
A [让小球在纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为l，周期T＝2π；让小球在垂直纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为，周期T′＝2π，A正确，B、C、D错误。]
3．(2022·山东烟台高二期中)自从“玉兔二号探测器”到达月球工作并拍回一系列珍贵的月球表面照片以后，人们希望能够早日登上月球。假设未来的航天员成功登上月球并把地球上的摆钟带到了月球上面。已知月球表面的重力加速度约为地球表面的，现要使该摆钟在月球上的周期与地球上的周期相同，下列办法可行的是( )
A．将摆球的质量增加为原来的6倍
B．将摆球的质量减小为原来的倍
C．将摆长减小为原来的倍
D．将摆长增长为原来的6倍
√
C [已知月球表面的重力加速度约为地球表面的，根据单摆的周期公式T＝2π，可知，要使该单摆在月球与在地球上周期相同，必须将摆长缩短为，单摆的周期与摆球的质量无关，故C正确。]
学习效果·随堂评估自测
02
1．某单摆由1 m长的摆线连接一个直径为2 cm的铁球组成。关于单摆周期，下列说法中正确的是( )
A．用大球替代小球，单摆的周期不变
B．摆角从5°改为3°，单摆的周期会变小
C．用等大的铜球替代铁球，单摆的周期不变
D．将单摆从赤道移到北极，单摆的周期会变大
√
C [用大球替代小球，单摆摆长变长，由单摆周期公式T＝2π可知，单摆的周期变大，故A错误；由单摆周期公式T＝2π可知，在小摆角情况下，单摆做简谐运动的周期与摆角无关，摆角从5°改为3°时，单摆周期不变，故B错误；用等大铜球替代，单摆摆长不变，由单摆周期公式T＝可知，单摆的周期不变，故C正确；将单摆从赤道移到北极，重力加速度g变大，由单摆周期公式T＝可知，单摆周期变小，故D错误。]
2．有一摆长为L的单摆，悬点正下方某处有一小钉，当摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线的上部将被小钉挡住，使摆长发生变化，现使摆球做小幅度摆动，摆球从右边最高点M至左边最高点N运动过程的闪光照片，如图所示，(悬点和小钉未被摄入)，P为摆动中的最低点。已知每相邻两次闪光的时间间隔相等，由此可知，小钉与悬点的距离为( )
A． B．
C． D．无法确定
√
C [设每相邻两次闪光的时间间隔为t，则摆球在右侧摆动的周期为T1＝16t，在左侧摆动的周期为T2＝8t，T1∶T2＝2∶1。设左侧摆长为l，则T1＝2π ①
T2＝2π ②
由①②得，l＝L，所以小钉与悬点的距离s＝L－l＝。故C正确。]
3．(2022·重庆西南大学附属中学月考)如图所示，光滑圆槽的半径R远大于小球运动的弧长。甲、乙、丙三个小球(均可视为质点)同时由静止释放，开始时，甲球比乙球离槽最低点O远些，丙球在槽的圆心处。则以下关于它们第一次到达点O的先后顺序的说法正确的是( )
A．乙先到，然后甲到，丙最后到
B．丙先到，然后甲、乙同时到
C．丙先到，然后乙到，甲最后到
D．甲、乙、丙同时到
√
B [对于丙球，根据自由落体运动规律有R＝解得t3＝；对于甲、乙两球，由于光滑圆槽的半径R远大于小球运动的弧长，故可将它们的运动视为做简谐运动的单摆的运动，其运动周期为T＝2π，甲、乙两球第一次到达点O时均运动周期，则t1＝t2＝。所以丙先到，然后甲、乙同时到，故B正确，A、C、D错误。]
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．单摆看成简谐运动的条件是什么？
提示：摆角θ较小(θ≤5°)，θ≈sin θ。
2．单摆的回复力是由哪个力提供？
提示：重力垂直于摆线的分力。
3．单摆的周期由哪些因素决定？
提示：摆长、重力加速度。
4．单摆周期的表达式是什么？
提示：T＝2π。
阅读材料·拓展物理视野
03
伽利略发现单摆的等时性
1564年2月15日，伟大的物理学家伽利略出生于意大利比萨城的一个没落贵族家庭。他出生后不久，全家就移居到佛罗伦萨近郊的一个地方。在那里，伽利略的父亲万桑佐开了一个店铺，经营羊毛生意。
孩提时的伽利略聪明可爱，好奇心极强。他从不满足于别人告诉的道理，喜欢亲自探索、研究和证明问题。对于儿子的这些表现，万桑佐高兴极了，希望伽利略长大后从事医生职业。1581年，万桑佐就把伽利略送到比萨大学学医。可是，伽利略对医学没有兴趣，他把相当多的时间用于钻研古希腊的哲学著作，学习数学和自然科学。
1582年的一天，伽利略偶然观察到一个大吊灯在来回摆动。伽利略聚精会神地观察着，脑海里突然闪出测量吊灯摆动时间的念头，凭着学医的经验，伽利略把右手指按到左腕的脉搏上计时，同时数着吊灯的摆动次数。起初，吊灯在一个大圆弧上摆动，摆动速度较大，伽利略测算来回摆动一次的时间。过了一阵子，吊灯摆动的幅度变小了，摆动速度也变慢了，此时，他又测量了来回摆动一次的时间。让他大为吃惊的是，两次测量的时间是相同的。于是伽利略继续测量，直到吊灯几乎停止摆动时才结束。每次测量的结果都表明来回摆动一次需要相同的时间。通过这些测量，伽利略发现：吊灯来回摆动一次需要的时间与摆动幅度的大小无关，无论摆幅大小如何，来回摆动一次所需时间是相同的，即吊灯的摆动具有等时性。
1．吊灯摆动的快慢与吊灯的摆动幅度有关吗？
提示：没关系。
2．上述吊灯的摆动快慢的现象说明什么？
提示：吊灯的摆动具有等时性。(共44张PPT)
第二章 机械振动
5．实验：用单摆测量重力加速度
实验目标
1．明确用单摆测量重力加速度的原理和方法。
2．知道如何选择实验器材，能熟练地使用秒表。
3．学会用单摆测当地的重力加速度，掌握减小实验误差的方法。
必备知识· 自主预习储备
01
关键能力·情境探究达成
02
类型一 实验原理与操作
类型二 数据处理和误差分析
类型三 创新实验设计
类型一 实验原理与操作
【典例1】 (2022·江苏徐州高二检测)实验小组的同学做“用单摆测量重力加速度”的实验。
(1)实验前他们根据单摆周期公式导出了重力加速度的表达式g＝，其中l表示摆长，T表示周期。对于此式的理解，四位同学说出了自己的观点。
同学甲：T一定时，g与l成正比。
同学乙：l一定时，g与T2成反比。
同学丙：l变化时，T2是不变的。
同学丁：l变化时，l与T2的比值是定值。
其中正确的是同学________(选填“甲”“乙”“丙”或“丁”)的观点。
[解析] 重力加速度g的大小只由星球、纬度、高度决定，而与摆长和周期的大小无关；表达式g＝为计算式，可知l变化时，T2是变化的，但是l与T2比值不变。故正确的是同学丁的观点。
丁
(2)实验室有如下器材可供选用：
A．长约1 m的细线 B．长约1 m的橡皮绳 C．直径约2 cm的均匀铁球
D．直径约5 cm的均匀木球 E．停表 F．时钟 G．最小刻度为毫米的米尺
实验小组的同学选用了最小刻度为毫米的米尺，他们还需要从上述器材中选择________(填写器材前面的字母)。
[解析] 单摆模型中，摆球密度要大，体积要小，空气阻力的影响才小，小球视为质点，故要选择直径约2 cm的均匀铁球，长度1 m左右的细线，不能用橡皮绳，否则摆长会变化，停表可以控制开始计时和结束计时的时刻，还需要ACE。
ACE
(3)他们将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，将其上端固定，下端自由下垂(如图所示)。用刻度尺测量悬点到______________之间的距离记为单摆的摆长l。
[解析] 摆长为悬点到摆球球心之间的距离。
(4)在小球平稳摆动后，他们记录小球完成n次全振动
的总时间t，则单摆的周期T＝______。
[解析] 根据题意可知，周期T＝。
摆球球心
(5)如果实验得到的结果是g＝10.29 m/s2，比当地的重力加速度值大，分析可能是哪些不当的实际操作造成这种结果，并写出其中一种：______
_____________________________________________________________。
[解析] g比当地的重力加速度值大，根据表达式g＝可知，可能是周期偏小(即可能是振动次数n计多了或在计时的时候停表开始计时晚了)、可能是测得的摆长l偏大(从悬点量到了小球底部记为摆长)。
[答案] 见解析
类型二 数据处理和误差分析
【典例2】 (2022·北京玉渊潭中学期中)某同学在“用单摆测量重力加速度”的实验中进行了如下的操作：
(1)用游标尺为10分度(测量值可精确到0.1 mm)的游标卡尺测量摆球直径d，游标卡尺的示数如图甲所示，摆球直径为________cm。把摆球用细线悬挂在铁架台上，测量摆线长l0，通过计算得到摆长L。
[解析] 主尺上的读数为2.0 cm，游标尺读数为7×0.1 mm＝0.7 mm＝0.07 cm，所以直径为2.0 cm＋0.07 cm＝2.07 cm。
2.07
(2)用停表测量单摆的周期。当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并计数为0，单摆每经过最低点一次计数一次，当数到n＝60时停表的示数如图乙所示，该单摆的周期是T＝________s(结果保留三位有效数字)。
[解析] 单摆做全振动的次数为＝30，停表读数为t＝67.5 s，得该单摆的周期是T＝2.25 s。
2.25
(3)①测量出多组周期T、摆长L的数值后，画出T2-L图像如图丙，造成图线不过坐标原点的原因可能是________。
A．摆球的振幅过小
B．将l0计为摆长L
C．将(l0＋d)计为摆长L
D．摆球质量过大
②根据图丙得出的g测量值___________(选填“偏大”或“不受影响”)。
B
不受影响
[解析] ①由T＝2π可得T2＝L，即周期与质量和振幅都无关，T2-L图线不过原点的原因可能是测得的摆长偏小，B正确。
②根据以上分析可知，T2-L图像的斜率不受影响，则g的测量值不受影响。
(4)在测量过程中，下列操作合理的是________。
A．先测量好摆长，再将单摆悬挂到铁架台上
B．释放单摆时，摆角尽量大些，以便观察
C．单摆摆动稳定后，摆球经过平衡位置时开始计时
D．单摆摆动过程中，若逐渐形成了圆锥摆，可以继续测量，不影响单摆的周期
C
[解析] 未悬挂摆球前，先测好摆长，这样测得的摆长误差较大，故A错误；摆角小于5°，单摆的运动才可以看成周期性的简谐运动，故B错误；单摆摆动稳定后，摆球经过平衡位置时开始计时误差比较小，故C正确；单摆摆动过程中，若逐渐形成了圆锥摆，会使单摆周期的测量值偏小，不可以继续测量，故D错误。
(5)甲同学通过实验测得：悬点O到小球球心的距离L；计时开始后，从小球第一次通过平衡位置到第n次通过平衡位置所用的时间t。则重力加速度g＝___________(用L、n、t表示)。
[解析] 由题意可得单摆的周期为T＝，可得g＝L。
L
(6)该小组的另一同学没有使用游标卡尺也测出了重力加速度。他采用的方法是：先测出一摆线较长的单摆的振动周期T1，然后把摆线缩短适当的长度Δl，再测出其振动周期T2。则该同学测出的重力加速度的表达式为g＝________(用所测得的物理量符号表示)。
[解析] 摆线较长的单摆的振动周期T1＝2π，把摆线缩短适当的长度Δl，其振动周期T2＝联立解得g＝。
(7)本实验测得的重力加速度一般略微偏小，这是由以下哪些误差造成的：________。
A．小球经过平衡位置时计时，看不准平衡位置造成周期测量的系统误差
B．小球球心位置较难确定，使摆长测量存在系统误差
C．由于存在空气阻力，会减慢单摆的速度，使周期测量值比理论值偏大
D．单摆摆动过程中，摆线会稍稍伸长，造成摆长的测量值比实际值偏小
CD
[解析] 小球经过平衡位置时计时，看不准平衡位置造成周期测量的偶然误差，这样测得的重力加速度可能偏大，也可能偏小，故A错误；小球球心位置较难确定，使摆长测量存在偶然误差，这样测得的重力加速度可能偏大，也可能偏小，故B错误；由于存在空气阻力，会减慢单摆的速度，使周期测量值比理论值偏大，根据T＝2π可知，重力加速度的测量值偏小，故C正确；单摆摆动过程中，摆线会稍微伸长，造成摆长的测量值比实际值偏小，根据T＝2π可知，重力加速度的测量值偏小，故D正确。
规律方法 本实验引起误差的几种常见原因
(1)g值偏大的原因。
①单摆不在同一竖直平面内摆动，成为圆锥摆，等效摆长偏小；
②测摆线长时，摆线拉得过紧；
③将摆线的长度与小球直径之和作为摆长；
④开始计时时，停表过晚按下；
⑤测量周期时，误将摆球n次全振动记成了(n＋1)次。
(2)g值偏小的原因。
①摆线上端没有固定，振动中出现松动，使摆线变长；
②开始计时时，停表过早按下；
③实验中误将n次全振动记为(n－1)次。
类型三 创新实验设计
【典例3】 某小组同学做了“用单摆测量重力加速度”实验后，为进一步探究，将单摆的轻质细线改为刚性重杆。通过查资料得知，这样做成的“复摆”做简谐运动的周期T＝，式中Ic为由该摆决定的常量，m为摆的质量，g为重力加速度，r为转轴到重心C的距离。如图甲所示，实验时
在杆上不同位置打上多个小孔，将其中一个小孔穿在光滑水平轴O
上，使杆做简谐运动，测量并记录r和相应的运动周期T；然后将不
同位置的孔穿在轴上重复实验，实验数据见表，并测得摆的质量m
＝0.50 kg。
(1)由实验数据得出图乙所示的拟合直线，
图中纵轴表示________。
r/m 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20
T/s 2.11 2.14 2.20 2.30 2.43 2.64
[解析] 由公式T＝2π得T2r＝，故题图乙中纵轴表示T2r。
T2r
(2)Ic的国际单位制单位为____________，由拟合直线得到Ic的值为________(保留到小数点后两位)。
[解析] 由公式T＝2π得Ic＝－mr2，即Ic的国际单位制单位为kg·m2，由题图乙并结合(1)中的式子可得1.25 s2·m＝，由题图乙知拟合直线的斜率k＝ s2·m-1＝ s2·m-1，解得Ic≈0.17 kg·m2。
kg·m2
0.17
(3)若摆的质量测量值偏大，重力加速度g的测量值________(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。
[解析] 图线的斜率与质量无关，故重力加速度的测量值与质量无关，故g的测量值不变。
不变
学习效果·随堂评估自测
03
1
2
3
4
1．(2022·重庆巴蜀中学高二月考)在“利用单摆测重力加速度”的实验中，某同学想进一步验证单摆的周期和重力加速度的关系，但又不可能去不同的地区做实验。该同学就将单摆与光电门传感器安装在一块摩擦不计、足够大的板上，使板倾斜α角度，让摆球在板的平面内做小角度摆动，如图甲所示。利用该装置可以验证单摆的周期和等效重力加速度的关系。若保持摆长不变，则实验中需要测量的物理量有____________________________。若从实验中得到所测物理量数据的图线如图乙所示，
则图像中的纵坐标表示______，
横坐标表示________。
木板倾角α和单摆振动的周期T
T2
1
2
3
4
[解析] 此单摆的等效重力加速度为g′＝g sin α，则单摆的周期T＝2π。保持摆长不变时，要测量的物理量是木板倾角α和单摆振动的周期T。由T＝2π可得T2＝，若从实验中得到所测物理量数据的图线如题图乙所示，则图像中的纵坐标表示T2，横坐标表示。
1
2
3
4
2．(2022·河北石家庄二中高二期末)小福同学在做“用单摆测量重力加速度大小”的实验。
(1)下列最合理的装置是________。
A B C D
[解析] 单摆摆动过程中，要求摆线长度不变，摆线应该选择弹性小的细丝线，且摆球应选择密度大的铁球，以减小阻力的影响，故选D。
D
1
2
3
4
(2)该同学根据实验数据，利用计算机拟合得到的方程为T2＝4.04l＋0.05(s2)。由此可以得出当地重力加速度g＝________m/s2(π取3.14，结果保留3位有效数字)，从方程中可知T2与l没有成正比关系，其原因可能是________。
A．开始计时时，小球可能在最高点
B．小球摆动过程中，可能摆角太大
C．计算摆长时，可能加了小球的直径
D．计算摆长时，可能忘了加小球半径
9.76
D
1
2
3
4
[解析] 根据单摆周期公式T＝2π有T2＝l，而T2＝4.04l＋0.05(s2)，从方程中可知从方程中可知T2与l没有成正比，说明l等于0时，周期不为0，即摆长可能忘了加小球半径，与开始计时小球的位置及小球摆角均无关，故选D。
1
2
3
4
3．(2022·江苏昆山开学考)小丽做了“用单摆测量重力加速度”的实验。
(1)如图甲所示，细线的上端固定在铁架台上，下端系一个小钢球，做成一个单摆。图乙、丙分别画出了细线上端的两种不同的悬挂方式，你认为图________(填“乙”或“丙”)的悬挂方式较好。
丙
1
2
3
4
[解析] 实验时，若采用题图乙所示悬挂方式，单摆在摆动的过程中，摆长变化，对测量结果有影响，题图丙所示悬挂方式，摆长不变，可知题图丙所示悬挂方式较好。
1
2
3
4
(2)如图丁所示，用游标卡尺测得小钢球的直径d＝________mm，测出摆线的长度，算出摆长l，再测出单摆的周期T，得到一组数据；改变摆线的长度，再得到几组数据。
[解析] 游标卡尺游标尺为10分度，精确度为0.1 mm，由题图丁可知，主尺读数为22 mm，游标尺读数为6×0.1 mm＝0.6 mm，故最终读数为22 mm＋0.6 mm＝22.6 mm。
22.6
1
2
3
4
(3)根据实际数据作出T2-l图像，发现图像是过坐标原点的倾斜直线，斜率为k，根据单摆周期公式，可以测得当地的重力加速度g＝________(用k表示)，利用图像法处理数据是为了减小________(填“偶然”或“系统”)误差。
[解析] 单摆周期公式为T＝2π，可知T2＝l，T2-l图像的斜率k＝，则重力加速度g＝，用图像法处理实验数据可以减小偶然误差。
偶然
1
2
3
4
4．甲、乙两个学习小组分别利用单摆测定重力加速度。
(1)甲组同学采用图甲所示的实验装置。
①为比较准确地测量出当地重力加速度的数值，除秒表外，在下列器材中，还应该选用________。(用器材前的字母表示)
a．长度接近1 m的细绳
b．长度为30 cm左右的细绳
c．直径为1.8 cm的塑料球
d．直径为1.8 cm的铁球
e．最小刻度为1 cm的米尺
f．最小刻度为1 mm的米尺
adf
1
2
3
4
②该组同学先测出悬点到小球球心的距离l，然后用秒表测出单摆完成n次全振动所用的时间t。请写出重力加速度的表达式g＝__________(用所测物理量表示)。
1
2
3
4
[解析] ①细线选择1 m左右的，小球应选择密度大的，所以选择长度近1 m的细绳，直径为1.8 cm的铁球，需要测量摆线长，所以需要最小刻度为1 mm的米尺，故选adf。
②因为T＝，则g＝。
1
2
3
4
(2)乙组同学在图甲所示装置的基础上再增加一个速度传感器，如图乙所示。将摆球拉开一小角度使其做简谐运动，速度传感器记录了摆球振动过程中速度随时间变化的关系，如图丙所示的v-t图线。
①由图丙可知，该单摆的周期T＝________s。
②更换摆线长度后，多次测量，根据实验数据，利用计算机作出T2-l(周期二次方—摆长)图像，并根据图像拟合得到方程T2＝4.04l＋0.035(s2)。由此可以得出当地的重力加速度g＝______m/s2。(取π2＝9.86，结果保留三位有效数字)
2.0
9.76
1
2
3
4
[解析] ①根据单摆振动的v-t图像知，单摆的周期T＝2.0 s。
②根据T＝2π得T2＝。
图线的斜率：k＝＝4.04 s2/m
解得：g≈9.76 m/s2。(共53张PPT)
第二章 机械振动
6．受迫振动 共振
学习 任务
1．知道什么是阻尼振动和受迫振动，会用能量观点分析阻尼振动的振幅变化和受迫振动的共振现象。
2．通过实验认识固有频率、驱动力频率与振动频率之间的区别和联系。
3．了解产生共振的条件，认识共振是受迫振动的一种特殊情况。
4．能够根据实际生活中的振动特点，应用振动的规律解释与解决相关问题。
关键能力·情境探究达成
01
知识点一 振动中的能量损失
知识点二 受迫振动
知识点三 共振现象及其应用
知识点一 振动中的能量损失
1．固有振动和固有频率
如果振动系统在没有____干预的情况下做简谐运动，周期或频率仅由系统自身的性质决定，这种振动叫作固有振动，其振动频率称为________。
提醒 系统的固有频率由系统自身的性质决定，与振幅无关。
外力
固有频率
2．阻尼振动
(1)阻尼振动。
____随时间逐渐减小的振动。阻尼振动的图像如图所示，振幅越来越小，最后停止振动。
(2)振动系统能量衰减的两种方式。
①振动系统受到____阻力作用，机械能逐渐转化为____。
②振动系统引起邻近介质中各____的振动，能量向外辐射出去。
振幅
摩擦
内能
质点
如图所示，一位大人带着小朋友荡秋千。
问题1 如果大人开始时只推了小朋友一次，使小朋友自
己荡起秋千，以后秋千振动是什么振动？振幅怎样变化？
提示：秋千振动是阻尼振动，振幅越来越小。
问题2 为了保证秋千的振幅不变，每次小朋友荡到最高点时大人就适当用力推一次小朋友，则秋千振动可以认为是什么振动？
提示：秋千振动是无阻尼振动。
1．阻尼振动
产生原因：当振动系统受到阻力的作用时，即振动受到了阻尼时，系统克服阻尼的作用要做功，消耗机械能，因而振幅减小，最后停下来。其振动图像如图所示。
2．阻尼振动系统能量衰减的方式
(1)振动系统受到摩擦阻力的作用，使振动系统的机械能逐渐转化为内能。
(2)振动系统引起邻近介质中各质点的振动，使能量向四周散射出去，从而自身机械能减少。
3．对阻尼振动的理解
(1)同一振动系统做简谐运动能量的大小由振幅决定。
(2)阻尼振动振幅减小的快慢跟所受阻尼的大小有关。阻尼越大，振幅减小得越快。
(3)物体做阻尼振动时，振幅虽不断减小，但振动的频率仍由系统自身的结构特点决定，并不会随振幅的减小而变化。例如，用力敲锣，由于锣受到空气的阻尼作用，振幅越来越小，锣声减弱，但音调不变。
【典例1】 (多选)如图所示是单摆做阻尼振动的振动图线，下列说法正确的是( )
A．振动过程中周期变小
B．振动过程中周期不变
C．摆球A时刻的势能等于B时刻的势能
D．摆球A时刻的动能等于B时刻的动能
√
√
BC [阻尼振动中，单摆的振幅逐渐减小，由于周期与振幅无关，故振动过程中周期不变，A错误，B正确；因A、B两时刻的位移相同，故摆球A时刻的势能等于B时刻的势能，C正确；由于振动的能量逐渐减小，故摆球A时刻的动能大于B时刻的动能，D错误。]
规律方法 理解阻尼振动的两个角度：
(1)从振动能量上来讲，由于阻力做负功，振动物体的机械能逐渐减小，振幅逐渐变小，但由于振动中动能与势能相互转化，不能说下一时刻的动能或势能变小。
(2)从振动周期、频率上看，周期与频率由振动系统本身决定，阻尼振动中周期、频率不变。
[跟进训练]
1．(多选)一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小，下列说法正确的是( )
A．振动的机械能逐渐转化为其他形式的能
B．后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能
C．后一时刻的势能一定小于前一时刻的势能
D．后一时刻的机械能一定小于前一时刻的机械能
√
√
AD [单摆在振动过程中，会不断克服空气阻力做功使机械能逐渐转化为内能，故A、D正确；虽然单摆总的机械能在逐渐减少，但在振动过程中动能和势能仍不断地相互转化，动能转化为势能时，动能逐渐减少，势能逐渐增加，而势能转化为动能时，势能逐渐减少，动能逐渐增加，所以不能断言后一时刻的动能(或势能)一定小于前一时刻的动能(或势能)，故B、C错误。]
知识点二 受迫振动
1．驱动力
如果存在阻尼作用，振动系统最终会停止振动。为了使系统持续振动下去，对振动系统施加周期性的________，外力对系统____，____系统的能量损耗，这种______的外力叫作驱动力。
外力作用
做功
补偿
周期性
2．受迫振动
(1)定义：系统在______作用下的振动，叫作受迫振动。
(2)受迫振动的频率(周期)。
物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于______的频率，与物体的________无关。
驱动力
驱动力
固有频率
(1)在图中，三个不同的弹簧将三个质量相同的小球固定在摇杆上，使驱动力的频率由小逐渐变大。观察三个小球的振动情况。
(2)将三个不同的弹簧换成三个相同的弹簧，将三个质量相同的小球换成三个质量不同的小球，重复操作，观察三个小球的振动情况。
问题1 三个小球的振动属于哪种振动？
提示：受迫振动。
问题2 三个小球的振动频率有什么变化？
提示：开始起振时，三个小球的振动频率不相等，随着驱动力的频率变大，振动稳定后，三个小球的振动频率相等，都等于驱动力的频率。
1．受迫振动
(1)条件：受到阻力和驱动力。
(2)能量：机械能转化为内能，其他形式的能转化为机械能。
2．受迫振动的特点
系统做受迫振动时，振动稳定后的频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率无关。
3．受迫振动的振幅
受迫振动的振幅与驱动力的频率和固有频率有关。驱动力的频率与固有频率相差越大，受迫振动的振幅越小；驱动力的频率与固有频率相差越小，受迫振动的振幅越大；当驱动力的频率与固有频率相等时，受迫振动的振幅最大。
【典例2】 如图所示，曲轴上悬挂一弹簧振子，转动摇把，曲轴可以带动弹簧振子上下振动。开始时不转动摇把，而让振子自由上下振动，测得其频率为2 Hz，然后匀速转动摇把，转速为240 r/min，当振子振动稳定时，它振动的周期为( )
A．0.5 s B．0.25 s C．2 s D．4 s
√
B [匀速转动摇把后，振子将做受迫振动，驱动力的周期跟摇把转动的周期是相同的，振子做受迫振动的周期又等于驱动力的周期，其频率也等于驱动力的频率，与振子自由上下振动的频率无关。摇把匀速转动时的转速为240 r/min＝4 r/s，故f＝4 Hz，所以驱动力的周期T＝ s＝0.25 s，故B正确。]
[跟进训练]
2．下列振动中属于受迫振动的是( )
A．用重锤敲击一下悬吊着的钟后，钟的振动
B．电磁打点计时器接通电源后，振针的振动
C．小孩睡在自由摆动的吊床上，随吊床一起摆动
D．不受外力的弹簧振子在竖直方向上沿上下方向振动
√
B [受到敲击后的钟不再受驱动力，其振动是自由振动；电磁打点计时器接通电源后，振针的振动受电源的驱动，属于受迫振动；小孩睡在自由摆动的吊床上，随吊床一起摆动属于自由振动；不受外力的弹簧振子在竖直方向上上下振动，属于自由振动，综上所述，故B正确。]
知识点三 共振现象及其应用
1．共振
(1)定义：当驱动力的频率____固有频率时，物体做受迫振动的振幅达到______的现象。
(2)条件：驱动力频率____物体的固有频率。
(3)特征：共振时受迫振动的____最大。
等于
最大值
等于
振幅
(4)共振曲线：如图所示。表示受迫振动的______与____________的关系图像，图中f0为振动物体的固有频率。
振幅A
驱动力频率f
2．共振的应用和防止
(1)共振的应用。
在应用共振时，应使驱动力频率____或____振动系统的固有频率。
(2)共振的防止。
在防止共振时，应使驱动力频率与系统的固有频率相差____越好。
接近
等于
越大
唐朝洛阳有个和尚喜欢弹拨一种叫磬的乐器，如图所示。奇怪的是磬在无人弹拨时经常自发鸣响，无缘无故地发出嗡嗡的声音，使和尚感到大为惊奇，渐渐由惊而疑，由疑而怯，以为是妖孽作怪，结果忧虑成疾，病倒在床。一天，和尚向前来探望他的朋友诉说了内心的忧虑，正在说话时，寺院里的钟声响了，说来奇怪，磬也发出了嗡嗡的响声。和尚的朋友明白了原因，悄悄用钢锉在磬上锉了几处，从此之后，磬再也不会无故发声了。和尚以为妖怪已被赶走，心事顿消，病也不治而愈。
问题1 磬为什么会不敲自鸣呢？
提示：磬不敲自鸣是共振现象。磬的固有频率和钟的频率一样，因此每当钟响时，引起磬的共振而发出嗡嗡之声。
问题2 和尚的朋友悄悄用钢锉在磬上锉了几处之后，为什么磬再也不会无故发声？
提示：和尚的朋友悄悄用钢锉在磬上锉了几处之后，改变了其固有频率，使其固有频率与钟的频率不一致，钟响时不会再引起磬的共振而无故发声了。
1．对共振条件的理解
共振的条件：f驱＝f固(或T驱＝T固)。
(1)从受力角度看：当振动物体所受驱动力的方向跟它的运动方向相同时，驱动力对它起加速作用，使它的振幅增大，当驱动力的频率等于物体的固有频率时，它的每一次作用都使物体的振幅增加，从而振幅达到最大。
(2)从功能关系看：当驱动力的频率等于物体的固有频率时，驱动力始终对物体做正功，使振动能量不断增加，振幅不断增大，直到增加的能量等于克服阻尼作用损耗的能量，振幅才不再增加。
2．对共振曲线的理解
(1)共振曲线的意义：反映了物体做受迫振动的振幅与驱动力频率的关系，如图所示。
(2)f0的意义：表示做受迫振动物体的固有频率。
(3)规律：①当f＝f0时，发生共振，振幅最大；
②当f③当f>f0时，f增大，振幅减小；
(4)结论：驱动力的频率f越接近振动系统的固有频率f0，受迫振动的振幅越大，反之振幅越小。
【典例3】 如图甲所示，上海某学校实验室中的五个单摆悬挂于同一根绷紧的水平绳上。图乙是E单摆做受迫振动时的共振曲线，它表示振幅与驱动力的频率的关系。问(摆角不超过5°，重力加速度g取π2)：
(1)先让A、B、C、D其中的哪一个摆摆动起来，E单摆的振动最为剧烈？
(2)E单摆的摆长大小？
[解析] (1)由题图甲可知，E与A的摆长是相等的，根据共振的条件可知，让A摆摆动起来，E单摆的振动最为剧烈。
(2)由题图乙可知，当驱动力的频率等于0.5 Hz时，E的振幅最大，所以E单摆的固有频率为0.5 Hz，固有周期T＝2 s，根据单摆的周期公式T＝代入数据得l＝1 m。
[答案] 见解析
规律方法 分析共振问题的方法
(1)在分析解答有关共振问题时，要抓住产生共振的条件：驱动力的频率等于固有频率，此时振动的振幅最大。
(2)在分析有关共振的实际问题时，要抽象出受迫振动这一物理模型，弄清驱动力频率和固有频率，然后利用共振的条件进行求解。
[母题变式]
1．若将[典例3]中E摆从该学校移至北京某高中的实验室中，共振曲线的“峰”将怎样移动？(已知该学校当地的重力加速度比北京的小)
[解析] 若将E摆从该学校移至北京某高中的实验室中，因重力加速度变大，故固有周期减小，固有频率变大，共振曲线的“峰”将向右移动。
[答案] “峰”将向右移动
2．如果将[典例3]中的共振曲线换成“双峰值”的共振曲线，如图所示。
(1)若两个“峰值”表示在地球上同一地点的两个
不同单摆的共振曲线，求两个单摆的摆长之比。
[解析] 若两个“峰值”表示在地球上同一地点的
两个不同单摆的共振曲线，则g相同，由共振曲线
得单摆Ⅰ的固有频率fⅠ＝0.2 Hz，则固有周期TⅠ＝
5 s，单摆Ⅱ的固有频率fⅡ＝0.5 Hz，则固有周期TⅡ
＝2 s，由单摆的周期公式T＝2π得两个单摆的摆长之比为。
[答案]
(2)若两个“峰值”表示同一单摆分别在地球和另一个星球上的共振曲线，求地球和该星球表面的重力加速度之比。
[解析] 若两个“峰值”表示同一单摆分别在地球和另一个星球上的共振曲线，则摆长l一定，由单摆的周期公式T＝2π得地球和该星球表面的重力加速度之比为。
[答案]
学习效果·随堂评估自测
02
1
2
3
4
1．由于存在空气阻力，严格来讲，任何物体的机械振动都不是简谐运动，在振动过程中( )
A．振幅减小，周期减小，机械能减小
B．振幅减小，周期不变，机械能减小
C．振幅不变，周期减小，机械能减小
D．振幅不变，周期不变，机械能减小
B [由于存在空气阻力，振动系统在振动过程中机械能减小，振幅减小，但其周期为固有周期，故周期不变，故B正确。]
√
1
2
3
4
2．古代盥洗用的脸盆，多用青铜铸成，现代亦有许多仿制的工艺品。倒些清水在其中，用手掌摩擦盆耳，盆就会发出嗡嗡声，还会溅起层层水花。某同学用双手摩擦盆耳，起初频率非常低，逐渐提高摩擦频率，则关于溅起水花强弱的描述正确的是( )
A．溅起水花越来越弱
B．溅起水花越来越强
C．溅起水花先变弱后变强
D．溅起水花先变强后变弱
√
1
2
3
4
D [当某同学用双手摩擦盆耳的频率等于“洗”(包括水)的固有频率时会发生共振，溅起水花最强，所以用双手摩擦盆耳，起初频率非常低，逐渐提高摩擦频率，低于固有频率前，溅起水花逐渐变强，当超过固有频率后，溅起水花逐渐变弱，故D正确。]
1
2
3
4
3．(2022·河南安阳月考)如图所示的装置中，在曲轴AB上悬挂一个弹簧振子，若不转动把手C，让其上下自由振动，周期为T1，若使把手以周期T2(T2＞T1)匀速转动，当运动都稳定后( )
A．弹簧振子的振动周期为T1
B．弹簧振子的振动周期为
C．要使弹簧振子的振幅增大，可让把手转速减小
D．要使弹簧振子的振幅增大，可让把手转速增大
√
1
2
3
4
D [弹簧振子在把手作用下做受迫振动，因此弹簧振子的振动周期等于驱动力的周期，即等于T2，故A、B错误；驱动力的周期与弹簧振子的固有周期越接近，弹簧振子的振幅越大，由于T2＞T1，欲使弹簧振子的振幅增大，应使T2减小，即把手的转速应增大，故C错误，D正确。]
1
2
3
4
4．(多选)(2022·广东深圳实验学校高二段考)一个单摆在地球表面做受迫振动，其共振曲线(受迫振动的振幅A
与驱动力频率f的关系)如图所示，则( )
A．此单摆的固有周期约为0.5 s
B．此单摆的摆长约为1 m
C．若摆长增大，单摆的固有频率减小，共振曲线的峰将向左移动
D．若将该单摆运到月球上，共振曲线的峰将向右移动
√
√
1
2
3
4
BC [单摆做受迫振动，振动频率与驱动力的频率相等，当驱动力的频率等于固有频率时，发生共振，振幅最大，可知此单摆的固有频率为0.5 Hz，固有周期为2 s，由T＝可得L≈1 m，故A错误，B正确；若摆长增大，单摆的固有周期增大，则固有频率减小，所以共振曲线的峰将向左移动，故C正确；若将该单摆运到月球上，g变小，单摆的固有周期增大，则固有频率减小，所以共振曲线的峰将向左移动，故D错误。]
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．做阻尼振动的物体，振幅和频率有什么特点？
提示：振幅逐渐减小，频率保持不变。
2．做受迫振动的物体，其频率由什么决定？
提示：频率由驱动力的频率决定。
3．物体发生共振的条件是什么？
提示：驱动力的频率等于物体的固有频率。
阅读材料·拓展物理视野
03
共振的本质
共振的过程类似于一个强烈的正反馈过程，可以使系统能量在短时间内剧烈增加，那么共振的本质是什么？
一切的振动其表现形式必然是位移，其背后则必然是能量的流动。共振威力巨大的根本原因在于共振使外界的力量直接作用于分子、原子层次(或者某个其他的特定层次)，并不断地吸收能量，使其发生小范围的剧烈位移。如果外界的频率与固有频率不一致，那么外力的作用对象就是整个物体，但是如果与固有频率一致，那作
用对象就直接变成了一个个的分子、原子，共振破坏了粒子之间的团结，使之互相内斗，结果可能使整个系统瞬间崩溃。从钟摆这个宏观的振动系统来看，如果外力的步调和钟摆的固有频率相同(比如总是在钟摆运动到最高点时，给予钟摆一个斜向下的力)，那钟摆就会不断地吸收外界的能量。外界能量每一次都会被完全吸收，这样钟摆本身所具有的能量就会急剧增加。如果外力的步调与钟摆不一致，那么上一次吸收的能量，下一次可能就被外力抵消掉，钟摆本
身的重力势能也会被外力不时地抵消掉，这就使钟摆本身所具有的能量总是保持在一个波动的水平，并且峰值不会太高，能量在反复地吸收、散失、吸收、散失。
简言之，共振的威力就在于外力以最精准的方式(或者说节奏)作用于物体最微观的层次(或者说特定的层次)，使物体在该层次的每个基本单元(比如钟摆、原子、分子)不断吸收能量，进而发生剧烈位移，并最终在该层次产生极大的破坏作用。
1．什么是共振现象？
提示：受迫振动的振幅达到最大值的现象。
2．发生共振的条件是什么？
提示：驱动力的频率等于受迫振动物体的固有频率。
