(共53张PPT)
5.6 函数y=Asin(ωx+φ)
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1.匀速圆周运动的数学模型
明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.将筒车抽象为一个几何图形,如图.以O为原点,以与水平面平行的直线为x轴建立直角坐标系.已知筒车转轮的中心O到水面的距离h,筒车的半径r,筒车转动的角速度ω.设t=0时,盛水筒M位于点P0,以Ox为始边,OP0为终边的角为φ,经过t s后运动到点P(x,y).于是,以Ox为始边,OP为终边的角为ωt+φ,并且有y= rsin(ωt+φ) .
所以,盛水筒M距离水面的高度H与时间t
的关系是H= rsin(ωt+φ)+h .
2.参数φ,ω,A对函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)图象的影响
(1)φ对函数y=sin(x+φ),x∈R图象的影响
答案:D
(2)ω(ω>0)对函数y=sin(ωx+φ)图象的影响
微训练2为了得到y=sin 4x,x∈R的图象,只需把正弦曲线上所有点的( )
答案:B
解析:ω=4>1,因此只需把正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变.
(3)A(A>0)对函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0)图象的影响
函数y=Asin(ωx+φ)的值域是[-A,A](A>0),最大值为 A ,最小值为 -A .
微训练3把函数y=2sin 3x图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标变为原来的3倍,得到函数 的图象.
(4)一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象,可以用下面的方法得到:先画出y=sin x的图象;再把正弦曲线向左(或右)平移 |φ| 个单位长度,得到函数y=sin(x+φ)的图象;然后把曲线上各点的横坐标变为原来的______倍(纵坐标不变),得到函数y=sin(ωx+φ)的图象;最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 A 倍(横坐标不变),这时的曲线就是函数y=Asin(ωx+φ)的图象.
微思考由y=sin x的图象变换得到y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象有哪些思路
提示:(1)先平移后伸缩
(2)先伸缩后平移
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一 三角函数图象的变换
典例剖析
答案:C
规律总结
三角函数图象变换问题的解题策略
(1)将函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,得到y=Asin[ω(x+m)+φ]=Asin(ωx+ωm+φ)(向右平移类似).
(2)将函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象上各点横坐标缩短到原来的k(0(3)对于异名三角函数图象变换问题,首先要利用诱导公式
,将不同名函数转换成同名函数.
(4)已知图象变换途径及变换后对应的函数解析式,求变换前图象对应函数的解析式,宜采用逆变换的方法.
学以致用
答案:B
答案:C
二 “五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象
典例剖析
2.已知函数
(1)利用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的简图.
(2)说明该函数的图象是由y=sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到的.
解:(1)先列表,再描点并画图.
规律总结
1.“五点法”作图的实质
利用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象,实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象.
2.用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)图象的步骤
第一步:列表.
第二步:在平面直角坐标系中描出各点.
第三步:用光滑曲线连接这些点,形成图象.
学以致用
描点、连线,如图所示.
三 由图象确定函数y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))的解析式
典例剖析
规律总结
已知图象求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式的方法
方法一:先从图象直接确定A和ω,再选取“第一个零点”(即五点作图法中的第一个点)的数据代入“ωx+φ=0”(要注意正确判断哪一个点是“第一个零点”)求得φ.
方法二:通过把特殊点的坐标代入函数解析式,求得相关待定系数A,ω,φ.这里需要注意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一个点,并能正确代入列式.
方法三:运用逆向思维的方法,先确定函数的基本解析式y=Asin ωx,再根据图象平移规律确定相关的参数.
学以致用
答案:A
四 匀速圆周运动的数学模型
典例剖析
4.如图所示,摩天轮的半径为40 m,O点距地面的高度为50 m,摩天轮按逆时针方向匀速转动,且每2 min转一圈,摩天轮上点P的起始位置在最高点P0处.
(1)试确定点P距离地面的高度h(单位:m)
关于旋转时间t(单位: min)的函数解析式;
(2)在摩天轮转动一圈内,有多长时间点P距离地面超过70 m
解:(1)建立平面直角坐标系,如图所示.
规律总结
确定匀速圆周运动模型的函数解析式的步骤
(1)建系,以圆心为原点,以与水平面平行的直线为x轴建立直角坐标系.
(2)设点P的起始位置对应的角为φ,角速度为ω,圆的半径为r,则经过时间t后,点P的纵坐标y=rsin(ωt+φ),求出ω和φ.
(3)写出所求函数解析式.
学以致用
4.如图,以O为圆心,半径为2的圆与x轴非负半轴相交于点A,质点P在圆周上按逆时针方向做匀速运动,其初始位置为
,角速度为2 rad/s.
(1)求点P的纵坐标y关于时间t(单位:s)的函数解析式;
(2)求在60 s内(即t∈[0,60]),质点P经过点A的次数.
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1.若函数y=cos x图象上各点的纵坐标不变,把横坐标扩大到原来的2倍,得到的图象对应函数的解析式为y=cos ωx,则ω的值为( )
答案:B
答案:B
答案:0
5.如图所示,一个摩天轮半径为10 m,轮子的底部在距离地面2 m处,如果此摩天轮按逆时针方向转动,每300 s转一圈,且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时.
(1)求此人相对于地面的高度h(单位:m)
关于时间t(单位:s)的函数解析式;
(2)在摩天轮转动的一圈内,有多长时间
此人相对于地面的高度不小于17 m.(共36张PPT)
5.7 三角函数的应用
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1.函数y=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0中参数的物理意义
在物理学中,把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“ 简谐运动 ”.在适当的直角坐标系下,简谐运动可以用函数 y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞) 表示,其中A>0,ω>0.描述简谐运动的物理量,如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关.
微思考1在物理学中,简谐运动的图象就是函数y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0),x∈[0,+∞)的图象,其中A>0,ω>0.描述简谐运动的物理量有振幅、周期、频率、相位和初相等,你知道这些物理量分别是指哪些数据以及各自的含义吗
微判断(1)物体运动的初始位置即为初相.( )
(2)完成往复运动一次所需要的时间即为一个周期.( )
(3)离开平衡位置的最大距离即为振幅.( )
√
√
√
答案:D
2.三角函数的应用
(1)三角函数作为描述现实世界中 周期现象 的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.
(2)利用搜集到的数据,先画出相应的“ 散点图 ”、观察散点图,然后进行 函数拟合 获得具体的函数模型,最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.
微思考2散点图在三角函数建模过程中起到什么作用
提示:利用散点图可较直观地分析两个变量之间的某种关系,然后利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些点,从而避免因盲目选择函数模型造成失误.
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一 三角函数模型在物理学中的应用
典例剖析
1.一根细线的一端固定,另一端悬挂一个小球,当小球来回摆动时,离开平衡位置的位移s(单位: cm)与时间t(单位:s)的函数关系是
(1)画出它的图象;
(2)回答以下问题:
①小球开始摆动(即t=0),离开平衡位置的位移是多少
②小球摆动时,离开平衡位置的最大距离是多少
③小球来回摆动一次需要多少时间
描点画图:
(2)①小球开始摆动(即t=0),离开平衡位置的位移是3 cm.
②小球摆动时,离开平衡位置的最大距离是6 cm.
③小球来回摆动一次需要1 s.
规律总结
1.由于物理学中的单摆运动、光波、机械波、交变电流等都具有周期性,且与三角函数的相关知识相吻合,因此常借助于三角函数模型来研究物理学中的相关知识.
2.在物理学中,物体做简谐运动时可用正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)表示物体运动的位移y随时间x的变化规律.
学以致用
1.一质点做简谐运动的图象如图所示,则下列判断正确的是
( )
A.该质点的振动周期为0.7 s
B.该质点的振幅为-5 cm
C.该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大
D.该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零
答案:D
解析:由题中图象及简谐运动的有关知识知周期T=0.8 s,A=5 cm,当t=0.1 s及t=0.5 s时,v=0,故排除选项A,B,C.
二 三角函数模型在生活中的应用
典例剖析
2.某港口水深y(单位:m)是时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,记作y=f(t),下面是某日水深的数据.
t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/m 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0
经长期观察,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Asin ωt+b的图象.
(1)试根据以上数据,求出函数y=f(t)的解析式;
(2)一般情况下,船舶航行时,船底高出海底的距离为5 m或5 m以上时认为是安全的(船舶停靠时,船底只需不碰海底即可),某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5 m,如果该船希望在同一天内安全进出港,那么它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)
解:(1)由已知数据,描出曲线如图.
规律总结
解三角函数应用问题的基本步骤
(1)认真审题,理清问题中的已知条件与所求结论.
(2)建立三角函数模型,将实际问题数学化.
(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题,求得数学模型的解.
(4)根据实际问题的意义,得出实际问题的解.
(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案.
学以致用
2.通常情况下,同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y=Asin(ωx+φ)+b的图象.某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时,最高温度为14 ℃;最低温度出现在凌晨2时,最低温度为零下2 ℃.
(1)求出该地区该时段的温度函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π,x∈[0,24))的解析式;
(2)某日上午9时某高中将举行期末考试,如果温度低于10 ℃,教室就要开空调,请问届时学校后勤应该开空调吗
二 数据拟合问题
典例剖析
3.当我们所处的北半球为冬季的时候,某城市恰好是盛夏,因此北半球的人们冬天愿意去那里旅游,下面是一份该市机场提供的月平均气温统计表.
根据这个统计表提供的数据,为该市的月平均气温制定一个函数模型.
解:(1)以月份x为横轴,气温t为纵轴,在直角坐标系中作出散点图,并用光滑的曲线连接各散点,得到曲线如图所示.
由于月平均气温的变化是以12个月为周期的函数,依散点图所绘制的图象,可以考虑用t=Acos(ωx+φ)+k(A>0,ω>0,|φ|< )来描述.
互动探究
(变问法)当平均气温不低于13.7 ℃时,该市最适宜旅游,试根据你所确定的函数模型,确定该市的最佳旅游时间.
解:作直线t=13.7与函数图象交于两点(5,13.7),(11,13.7)(图略).这说明在每年的十一月初至第二年的四月末平均气温不低于13.7 ℃,是该市的最佳旅游时间.
规律总结
在处理曲线拟合和预测的问题时,通常需以下几个步骤
(1)根据原始数据,绘出散点图.
(2)通过散点图,作出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线.
(3)根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式.
(4)利用函数解析式,根据条件对所给问题进行预测和控制,以便为决策和管理提供依据.
学以致用
3.某海滨区域的海浪高度y(单位:m)随着时刻t(单位:h, 0≤t≤24)而周期性变化,为了解变化规律,观察若干天后,得到每天各时刻t的浪高数据的平均值如表:
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.6 1.0
(1)从函数y=at+b(a,b都是常数)和函数y=Asin(ωt+φ)+B (A>0,ω>0,|φ|< ,B是常数)中选择一个合适的函数模型,并求出函数解析式.
(2)在早上七点到晚上七点之间的什么时间段海浪高度不低于0.8 m
解:(1)作出y关于t的变化图象如图所示.
得-1+12k≤t≤7+12k,k∈Z,又0≤t≤24,
所以0≤t≤7或11≤t≤19或23≤t≤24.
所以在早上七点到晚上七点之间的11 h~19 h海浪高度不低于0.8 m.
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1.已知弹簧振子的振幅为2 cm,在6 s内振子通过的路程是32 cm,由此可知该振子振动的( )
A.频率为1.5 Hz B.周期为1.5 s
C.周期为6 s D.频率为6 Hz
答案:B
解析:振幅为2 cm,振子在一个周期内通过的路程为8 cm,易知在6 s内振动了4个周期,所以周期T=1.5 s.
A.5 A B.2.5 A C.2 A D.-5 A
答案:B
3.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数 .据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )
A.5 B.6 C.8 D.10
答案:C
解析:由题意知,k-3=2,解得k=5.所以最大值为k+3=8.故选C.
4.下图表示某海湾的水面相对于平均海平面的高度h(单位:m)在某天0~24时的变化情况,则水面高度h关于时间t(单位:h)的函数解析式为 .
