湖北省黄冈市黄梅国际育才高级中学2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题（含解析）

黄梅国际育才高级中学2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学
一 单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.容量为8的样本：，其第75百分数是（ ）
A.6 B.5.25 C.5 D.5.5
2.在抛掷硬币试验中，记事件为“正面朝上”，则下列说法正确的（ ）
A.抛掷两枚硬币，事件“一枚正面，一枚反面”发生的概率为
B.抛掷十枚硬币，事件“十枚硬币，正面都朝上”没有发生，说明
C.抛掷100次硬币，事件发生的频率比抛掷50次硬币发生的频率更接近于0.5
D.当抛掷次数足够大时，事件发生的频率接近于0.5
3.已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点中，在平面内的是（ ）
A. B. C. D.
4.已知点与点关于直线对称，则直线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
5.在三棱柱中，是棱的三等分点，且是棱的中点，若，则（ ）
A. B.
C. D.
6.一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A.或 B.或 C.或 D.或
7.如图，把椭圆的长轴分成6等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点是椭圆的右焦点，则（ ）
A.20 B. C.36 D.30
8.曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二 多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）
9.有一道数学难题，学生甲解出的概率为，学生乙解出的概率为，学生丙解出的概率为.若甲，乙，丙三人独立去解答此题，则（ ）
A.恰有一人解出的概率为
B.没有人能解出的概率为
C.至多一人解出的概率为
D.至少两个人解出的概率为
10.给出下列命题，其中正确的是（ ）
A.若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
B.在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点是
C.若空间四个点满足，则三点共线
D.平面的一个法向量为，平面的一个法向量为.若，则
11.下列说法正确的是（ ）
A.直线的倾斜角的取值范围为
B.“”是“点到直线距离为3”的充要条件
C.直线恒过定点
D.直线与直线平行，且与圆相切
12.在正三棱柱中，与交于点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.存在点，使得
C.三棱锥的体积为
D.直线与平面所成角的余弦值为
三 填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知基底，若，则__________.
14.如图，电路中三个电子元件正常工作的概率分别为，，则该电路正常工作的概率__________.
15.椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的离心率等于__________.
16.若直线上存在点可作圆的两条切线，切点为，且，则实数的取值范围为__________.
四 解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题10.0分）
已知.
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的值.
18.（本小题12.0分）
已知直线和的交点为.
（1）若直线经过点且与直线平行，求直线的方程；
（2）若直线经过点且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线的方程.
19.（本小题12.0分）
已知圆经过点.
（1）求圆的方程；
（2）设点在圆上运动，求的最大值与最小值.
20.（本小题12.0分）
为庆祝建校115周年，某校举行了校史知识竞赛.在必答题环节，甲 乙两位选手分别从3道选择题 2道填空题中随机抽取2道题作答.已知甲每道题答对的概率为，乙每道题答对的概率为，且甲乙答对与否互不影响，各题的结果也互不影响.
（1）求甲恰好抽到1道填空题的概率；
（2）求甲比乙恰好多答对1道题的概率.
21.（本小题12.0分）
如图，在四棱锥中，，底面为菱形，边长为，，且，异面直线与所成的角为.
（1）求证：平面；
（2）若是线段的中点，求点到直线的距离.
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
22.（本小题12.0分）
已知椭圆的离心率为，上顶点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，且，求的值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查百分位数的定义，属于基础题.
根据已知条件，结合百分位数的定义，即可求解.
【解答】
解：容量为8的样本：，
从小到大排列为：，
因为该组数据的第50百分位数是.
故选B
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查随机事件的定义和概率的性质，属于基础题.
根据题意，由随机事件的定义和概率的性质依次分析选项，综合可得答案.
【解答】
解：根据题意，依次分析选项：
对于，郑2次硬币，有4个基本事件，事件“一个正面，一个反面”有2个基本事件，则该事件发生的概率为，故错误；
对于，抛掷十枚硬币，事件“十枚硬币，正面都朝上”没有发生，只是说明这次试验中事件没有发生，不能说明，故错误；
对于，抛掷100次硬币，事件发生的频率不一定比抛掷50次硬币发生的频率更接近于0.5，故错误；
对于，当投掷次数足够多时，事件发生的频率接近事件发生的概率，即接近0.5，故正确.
故选：D.
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查平面的法向量，属于基础题.
【解答】
解：对于选项，
所以，
故在平面内.
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查点关于直线的对称问题，熟练掌握中点坐标公式和两直线垂直的条件是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.
由两直线垂直斜率之积为-1，可得直线的斜率为1，再将线段的中点坐标代入所求直线方程，即可得解.
【解答】
解：因为直线的斜率为，
所以直线的斜率为1，
设其方程为，
因为线段的中点坐标为，
所以，解得，
所以直线的方程是.
故选：A.
5.【答案】D
【解析】【分析】
由，根据条件表示出，即可求得.
本题考查空间向量的加减以及线性运算，属于基础题.
【解答】
解：取的中点，连接，
因为，
所以，
故选：D.
6.【答案】D
【解析】解：点关于轴的对称点为，
故可设反射光线所在直线的方程为：，化为.
反射光线与圆相切，
圆心到直线的距离，
化为，
，或.
故选：D.
点关于轴的对称点为，可设反射光线所在直线的方程为：
，利用直线与圆相切的性质即可得出.
本题考查了反射光线的性质 直线与圆相切的性质 点到直线的距离公式 点斜式 对称点，考查了计算能力，属于中档题.
7.【答案】D
【解析】【分析】
由题意知与与分别关于轴对称，设椭圆的左焦点为，从而，利用，即可求解.
本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆定义的应用，考查数学转化思想方法，属于中档题.
【解答】
解：由题意可知与与分别关于轴对称
设椭圆的左焦点为，则，同理，
而
.
故选：D.
8.【答案】D
【解析】解：根据题意画出图形，如图所示：
由题意可得：直线过，
又曲线图象为以为圆心，2
为半径的半圆，
当直线与半圆相切，为切点时，圆心到直线的距离，即，
解得：；
当直线过点时，直线的斜率为，
则直线与半圆有两个不同的交点时，实数的范围为.
故答案为：
要求的实数的取值范围即为直线斜率的取值范围，主要求出斜率的取值范围，方法为：曲线表示以为圆心，2为半径的半圆，在坐标系中画出相应的图形，直线与半圆有不同的交点，故抓住两个关键点：当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于的方程，求出方程的解得到的值；当直线过点时，由和的坐标求出此时直线的斜率，根据两种情况求出的斜率得出的取值范围.
此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点到直线的距离公式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，其中抓住两个关键点是解本题的关键.
9.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查相互独立事件概率的乘法公式，注意先按互斥事件分类，再按相互独立事件的概率乘法公式进行计算，属基础题.
利用相互独立事件概率的乘法公式求出概率，判断，利用互斥事件的加法公式求出概率，判断，利用对立事件公式求出概率，判断.
【解答】
解：恰有一人解出试题）
正确，
没有人解出试题错误，
至多一人解出试题恰有一人解出试题没有人解出试题正确，
至少两个人解出试题至多一人解出试题错误.
故选：.
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题以命题的真假判断为载体，考查了空间向量的理解与应用，空间直角坐标系的理解与应用，空间向量共面定理和共线定理的运用，考查了逻辑推理能力，属于中档题.
根根据三个向量是否共面，即可判断选项，由点关于坐标面的对称性，即可判断选项，由向量的运算确定三点共线，即可判断选项，根据向量共线求解参数，即可判断选项.
【解答】
解：对于，因为是空间的一个基底，
则不共面，所以也不共面，
则也是空间的一个基底，
故选项正确；
对于，点关于坐标平面的对称点是，
故选项错误；
对于，因为空间四个点满足，
所以，
则，
所以点三点共线，
故选项正确；
对于，因为平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，
所以，
则，
所以解得，
故选项正确.
故选：ACD.
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
利用直线斜率与倾斜角的关系判断；利用点到直线的距离判断；利用直线系恒过的点判断；利用直线的平行和直线与圆的位置关系判断；
本题考查命题的真假的判断，考查直线斜率与倾斜角的关系，点到直线距离公式，直线过定点问题，直线与直线的位置关系以及直线与圆的位置关系的应用，充分 必要条件的判断.
【解答】
解：直线的倾斜角，可得，
所以的取值范围为，所以正确；
“点到直线距离为3”，可得.解得，
所以“”是“点到直线距离为3”的充分不必要条件，所以不正确；
直线，即，恒过定点，所以正确；
直线即与直线平行，，
所以直线与圆相切，
所以正确；
故选：ACD.
12.【答案】AC
【解析】解：
对于，故正确；
对于，假设存在，设，
所以，
因为，
所以，
解得，故错误；
对于，因为正三棱柱，
所以，
所以
所以，故正确；
对于，设中点为，所以，又三棱柱是正三棱柱，
所以平面，
所以即与平面所成的角，
，故错误；
故选：.
利用空间向量运算求解判断；利用空间向量运算求解判断；利用等体积法求解判断；
利用线面角的求解判断.
本题考查了空间向量基本定理，立体几何线面位置关系，棱锥的体积和直线与平面所成的角，属于中档题.
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量平行，属基础题.
由题意存在实数使得，，得出方程组解出即可.
【解答】
解：，
显然不是零向量，
若，则存在实数使得，，
即可解得.
14.【答案】0.672
【解析】【分析】
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用.
根据相互独立事件的乘法公式计算即可.
【解答】
解：该电路正常工作则正常，且与至少一个正常工作，
正常工作的概率为，
与均不能正常工作的概率为，
故与至少一个正常工作的概率为
故该电路正常工作的概率为.
15.【答案】
【解析】【分析】
本题着重考查了正三角形的性质 椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题.
根据题意，作出示意图，可得为等边三角形，即，可得，由此结合即可解出椭圆的离心率.
【解答】
解：设椭圆的焦点分别为，上顶点为，下顶点为，如图所示：
一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，
即为等边三角形，
，可得，
平方得，所以，
可得，得，
故答案为：.
16.【答案】
【解析】解：由题意可得，当和直线垂直时，的最大值为，此时，
则圆心到直线的距离小于等于2，即，解得，故答案为.
当和直线垂直时，的最大值为，此时，，从而圆心到直线的距离小于等于2，再利用点到直线的距
离公式求得实数的取值范围.
本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于中档题.
17.【答案】解：（1）由已知可得，
.
（2），
存在实数使得，
，联立解得.
【解析】（1）利用空间向量夹角公式的坐标运算直接求解；（2）根据两向量的共线定理，利用坐标运算求解.
本题空间向量夹角公式以及向量的共线定理，属于中档题.
18.【答案】解：（1）直线和的交点为.
取立，解得，
（2分）
直线经过点且与直线平行，
设直线的方程为.
把代入得，
直线的方程为
（2）由题意得直线在两坐标轴上的截距均不为0，
设直线的方程为，
当时，，
当时，，
，
解得或
直线的方程为或，即或
【解析】本题考查直线方程的求法，考查直线与直线平行 直线的截距 直线方程等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
（1）求出直线和的交点，设直线的方程为.把代入得，由此能求出直线的方程；
（2）设直线的方程为，当时，，当时，，从而，求出，由此能求出直线的方程.
19.【答案】解：（1）圆经过点，
设圆的方程为，把三点的坐标代入，
可得
求得
可得圆的方程为，即，
表示以为圆心，半径等于3的圆.
（2）由题意可得，
而的表示圆上的点到点的距离的平方，
故的最大值为
的最小值为
【解析】（1）由题意利用用待定系数法求圆的方程.
的表示圆上的点到点的距离的平方，最大值为，最小值为，计算求得结果.
本题主要考查用待定系数法求圆的方程，两点间的距离公式的应用，属于中档题.
20.【答案】解：（1）记3道选择题的题号为，道填空题的题号为4，5，则试验的样本空间，共有10个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型，
记事件“甲恰好抽到1道填空题”，则，故，
因此甲恰好抽到1道填空题的概率为.
（2）设事件分别表示甲答对1道题，2道题，事件分别表示乙答对0道题，1道题，
根据事件的独立性得，
记事件“甲比乙恰好多答对1道题”，
则，且两两互斥，与与分别相互独立，
所以，
（10分）
所以
故甲比乙恰好多答对1道题的概率为.
【解析】（1）列举出事件空间中的所有基本事件，并得出甲至少抽到1道填空题的事件，结合古典概型运算求解；
（2）由相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式运算求解.
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属中档题.
21.【答案】解：（1）证明：在四棱锥中，，底面为菱形，边长为，且，异面直线与所成的角为，
四边形为菱形，为中点，，
平面，
平面，
又平面，
平面，
平面
（2）两两互相垂直，
以为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
为等边三角形，，
不妨设，则，
异面直线与所成的角为，
，即，
解得
，
，
是线段的中点，则点到直线的距离为
（3），
，
设平面的法向量，
则，令，得
设平面的法向量，
则，令
，
平面与平面夹角的余弦值为.
【解析】（1）根据等腰三角形三线合一可得，由线面垂直的判定证得平面
，从而得到，由线面垂直的判定可证得结论；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用长度关系可求得所需点的坐标，利用点到直线距离的向量求法可得结果；
（3）用二面角的向量求法可求得结果.
本题考查点到平面的距离 二面角的余弦值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
22.【答案】解：（1）由离心率，则，
又上顶点，知，又，可知，
随圆的方程为
（2）设直线1：，设，
则，
整理得：
，即，
即，解得：或-17（舍去），
【解析】（1）由题意可知结合，即可求得椭圆的方程；
（2）设直线的方程，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式，即可求得的值.
本题考查椭圆的标准方程，根据弦长求参数，属于中档题.