河北省石家庄市新乐重点中学2023-2024学年高三上册数学开学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023高三上·石家庄开学考）“，使得”的否定是（ ）
A．，使得
B．，使得
C．，
D．，
2．（2023高三上·石家庄开学考）设全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023高三上·石家庄开学考）已知数列是等差数列，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高三上·石家庄开学考）“”是“函数存在零点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．（2023高三上·石家庄开学考）展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高三上·石家庄开学考）在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高三上·石家庄开学考）若关于x的不等式的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高三上·石家庄开学考）设，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9．（2023高三上·石家庄开学考）命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023高三上·石家庄开学考）下列不等式一定成立的有（ ）
A．
B．当时，
C．已知，，则
D．正实数，满足，则
11．（2023高三上·石家庄开学考）从有大小和质地相同的3个红球和2个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则（ ）．
A．第一次摸到红球的概率为
B．第二次摸到红球的概率为
C．在第一次摸到蓝球的条件下，第二次摸到红球的概率为
D．在前两次都摸到蓝球的条件下，第三次摸到红球的概率为
12．（2023高三上·石家庄开学考）已知等差数列，其前n项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．使的的最大值为
C．公差 D．当时最大
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．（2023高三上·石家庄开学考）已知数列对任意正整数都有，且，是方程的两个实根，则 ．
14．（2023高三上·石家庄开学考）记函数的导函数为，且满足，则 ．
15．（2023高三上·石家庄开学考）已知甲箱内有4个白球2个黑球，乙箱内有3个白球2个黑球，先从甲箱中任取一球放入乙箱，然后从乙箱中任取一球，则事件“从乙箱中取得黑球”的概率为
16．（2023高三上·石家庄开学考）若函数在上有最小值，则的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023高三上·石家庄开学考）已知集合，，．
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围．
18．（2023高三上·石家庄开学考）已知．
（1）若的解集为，求关于的不等式的解集；
（2）解关于的不等式．
19．（2023高三上·石家庄开学考）已知数列满足，．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式．
20．（2023高三上·石家庄开学考）已知三次函数在处取得极值，且在点处的切线与直线平行．
（1）求的解析式；
（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围．
21．（2023高三上·石家庄开学考）某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了名男生和名女生，通过调查得到如下数据：名女生中有人课间经常进行体育活动，名男生中有人课间经常进行体育活动．
（1）请补全列联表，试根据小概率值的独立性检验，判断性别与课间经常进行体育活动是否有关联
课间不经常进行体育活动 课间经常进行体育活动 合计
男
女
合计
（2）以样本的频率作为概率的值，在全校的学生中任取人，记其中课间经常进行体育活动的人数为，求的分布列、数学期望和方差．
附表：
附：，其中．
22．（2023高三上·石家庄开学考）口袋中共有7个质地和大小均相同的小球，其中4个是黑球，现采用不放回抽取方式每次从口袋中随机抽取一个小球，直到将4个黑球全部取出时停止.
（1）记总的抽取次数为X，求E（X）；
（2）现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个口袋中，甲袋装3个小球，其中2个是黑球；乙袋装4个小球，其中2个是黑球.采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋的2个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋的2个黑球也全部取出后停止.记这种方案的总抽取次数为Y，求E（Y）并从实际意义解释E（Y）与（1）中的E（X）的大小关系.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：含有存在量词命题得否定规则为将存在改为任意后，条件不变否定结论，
即，使得的否定是，
故答案为： C.
【分析】本题考查命题得否定，命题的否定只否定结论不改变条件，当命题中含有存在或全称量词时，存在量词变任意量词，任意量词变存在量词.
2．【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：由题可得，
因此
故答案为： .
【分析】先求出B集合，再求出CuB，利用集合运算定义方法求解.
3．【答案】C
【知识点】等差数列概念与表示
【解析】【解答】解：因为 数列是等差数列 ，且a3+a5+a7=15，所以由等差数列性质有，解得a5=5
又因为，解得公差d=2；所以a10=a5+5d=5+10=15
故答案为：15.
【分析】根据题目条件a3+a5+a7=15，先求出a5，再根据，求出公差d，最后再求解a10.
4．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的零点
【解析】【解答】函数存在零点，则有解，即有解，所以，所以“”是“函数存在零点”的充分不必要条件.
5．【答案】A
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由题可知 展开式中 的项为，
所以 展开式中的系数为=35+7=42
故答案为：42.
【分析】x3的组合方式有两种，一是1xC73X3，二是，合并后便可求出 的系数 .
6．【答案】D
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：根据递推公式 ，可得：a1=-2
， ， ，
所以数列 是以4为周期的周期数列，则a2016=a4=3
故答案为：3.
【分析】本题考查数列的周期性，根据递推公式依次求出a2，a3，a4，可找出出数列周期，再根据周期性质求解即可。
7．【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】不等式，即，
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个正整数，这3个正整数只能是4，5，6，故；
当时，不等式解集为，此时不合题意；
当时，不等式解集为，显然解集中不可能有3个正整数，故不合题意；
故实数m的取值范围为．
故答案为：C.
【分析】由题设可得，讨论与的大小关系求解集，并判断满足题设情况下m的范围即可.
8．【答案】C
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：由题意可得
， ， ；
令，则，，
又因为令，解得x=e；
当x>e时，f'(x)<0.f(x)单调递减.
当x0.f(x)单调递增.
所以f(x)在x=e处取得最大值，即自变量x越接近e函数值越大，
又根据，有
所以
故答案为：C.
【分析】本题考查较复杂比较大小类型，先根据c的形式将a，b，变形为统一形式，再根据形式特点写出对应函数，利用导数求出函数单调性和单调区间与最值进行比较.
9．【答案】C,D
【知识点】全称量词命题；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由题意可得，
令题目中命题为q：，，得p：，设命题p的 一个必要不充分条件 为q，
根据q是p的必要不充分条件，有，（即q的范围要大于p的范围），根据选项容易判断出C.D符合题意，C，D正确；
而A，B选项不满足q是p的必要不充分条件，故A，B错误。
故答案为：C D.
【分析】本题考查命题以及充分条件，必要条件；先求出命题p所表达的a的范围，根据q是p的必要不充分条件，得出，从而在选项中判断。
10．【答案】C,D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A：当x<0时，不等式，当x>0时，不等式才成立，故A错误；
对于B： 当时， 可变形为又因为，而题目中x不能取4，故不等式等号不成立，故B错误；
对于C：，由基本不等式得
所以，又因为，所以 ，故C正确；
对于D：因为 ，满足 ，所以，则3x+4y=由基本不等式得，因此， ，故D正确。
故答案为：CD.
【分析】本题考查基本不等式得综合应用，A选项应注意基本不等式前提是x>0.B选项注意等号成立得条件，C选项需要变形灵活应用基本不等式，D选项先把 ，变为，在常数代换即可。
11．【答案】A,B
【知识点】古典概型及其概率计算公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】第一次摸到红球的概率为，则A符合题意；
第二次摸到红球的概率为，则B符合题意；
在第一次摸到蓝球的条件下，第二次摸到红球，相当于从4个球中摸出1个红球，其概率为，则C不符合题意；
在前两次都摸到蓝球的条件下，第三次摸到红球相当于从3个球中摸出1个红球，其概率为1，则D不符合题意．
故答案为：AB．
【分析】由古典概型概率计算公式A，B、条件概率计算公式即可判断C，D.
12．【答案】A,C,D
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】等差数列，，
又，
，A符合题意.
， C符合题意.
，
使的n的最大值为. B不符合题意.
当，
所以当时最大. D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】利用等差数列和等差数列的前n项和公式以及得出等差数列的性质，进而得出，再利用，所以；再利用等差数列的性质得出公差的正负；再结合和等差数列的前n项和公式和等差数列的性质，所以从而得出使的n的最大值；再利用所以，当，进而得出当时的的最大值，从而找出结论正确的选项。
13．【答案】12
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：由题可知
因为 有 ，即，所以 数列 为等差数列。
又因为 ，是方程的两个实根 ，所以，根据等差数列得性质有
因此a4=4，所以 则
故答案为：12.
【分析】本题考查等差数列得定义与证明，先根据通项公式 证明为等差数列，再根据结合题目条件与等差数列性质求解即可。
14．【答案】1
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：由题可知
因为 ，
所以，
则有
解得
故答案为：1.
【分析】本题考查导函数得应用；
1.
2.根据
15．【答案】
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：记甲箱中取出白球的事件为A，从乙箱中取出黑球的事件为B，
由题意可得：，
所以.
故答案为：.
【分析】记甲箱中取出白球的事件为A，从乙箱中取出黑球的事件为B，根据题意结合全概率公式运算求解.
16．【答案】
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由已知，f'(x) =x2-1，有x2-1≥0得x≥1或x≤-1，因此当，时f(x) 为增函数，
，在 x∈[-1，1]时f (x) 为减函数.
又因为函数在上有最小值，所以开区间须包含x=1，
所以函数f(x)的最小值即为函数的极小值，
又由，
即有，因此有以下不等式成立：
可解得-2≤a<1，
故答案为：[-2，1).
【分析】先求出函数的导函数，求出函数的单调区间，再根据已知在区间(a，10-a2)有最小值确定出参数a的取值范围.本题考查函数的导数，利用导数求函数的极值和最值的问题，分类讨论的思想方法.本题需要注意：在开区间内函数的极小值(本题中也是最小值)在函数导数为零的点处取得，即若，且f’(x0) =0，则函数f(x)的极值是f(x0)；再由题意可得这个极值也是函数的最值.
17．【答案】（1）解：，或，
，
或．
（2）解：因为，所以，
当时，则，解得，符合题意，
当时，则，解得，
综上所述，实数的取值范围为
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】本题考查集合的交并补的运算
1.第一问先求出集合M.N所对应的范围，再根据集合运算性质求解。
2.第二问先求出，再根据 ，推出集合M.N的关系再求出a的范围。
18．【答案】（1）解：由题意得，解得．
故不等式等价于即，解得或．
所以不等式的解集为或；
（2）解：当时，原不等式可化为，解得．
当时，原不等式可化为，解得或．
当时，原不等式可化为．
当，即时，解得；
当，即时，解得；
当，即时，解得．
综上所述，当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
【知识点】一元二次不等式；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【分析】本题考查一元二次不等式
1.第一问根据韦达定理结合题目条件建立关于a的不等式组，再求出a的范围。
2.第二问先对a讨论，当a取正数，负数，0，时分别求解不等式，最后再综上所述即可。
19．【答案】（1）证明：因为
，
所以，
所以数列是以为公差的等差数列；
（2）解：因为，所以，
由知，数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
所以．
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【分析】本题考查数列的通项公式以及等差数列的证明
1.第一问根据 数列 的递推式，结合等差数列的定义变形为从而进行证明。
2.第二问由第一问结论，根据等差数列通项公式求解即可。
20．【答案】（1）解：，
由题意，解得，
所以；
（2）解：由，，
因为在是递增，
则在上恒成立，
即在时恒成立，
当时，根据二次函数的性质可知，，
所以，
故的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据题目条件 三次函数在处取得极值 ，得， 在点处的切线与直线平行 得先求出参数a，b的值，从而得到解析式。
（2）根据 函数在区间上单调递增 得在（1，2）上恒大于0，建立m的关系式，从而解出m的范围即可.
21．【答案】（1）解：列联表如下：
课间不经常进行体育活动 课间经常进行体育活动 合计
男
女
合计
，
根据小概率值的独立性检验，判性别与课间经常进行体育活动有关联．
（2）解：由题意可得，经常进行体育活动者的频率为，
则在本校中随机抽取人为经常进行体育活动者的频率为，
随机变量的所有可能取值为，，，，，
由题意可得，，
，，，，，，
故的分布列为：
故E，．
【知识点】独立性检验的应用；二项分布
【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合独立性检验公式的应用，即可求解.
(2)在本校中随机抽取1人为经常进行体育活动者的频率为，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，4，由题意可得，，分别求出对应的概率，再结合期望与方差的公式，即可求解.
22．【答案】（1）解：X可能取值为4，5，6，7，
，
；
（2）解：Y可能取值为4，5，6，7，设甲袋和乙袋抽取次数分别为和 ，
，
，
，
，
.
在将球分装时，甲袋中的黑球取完后直接取乙袋，若此时甲袋中还有其它球，则该球的干扰作用已经消失，所以同样是要取出4个黑球，调整后的方案总抽取次数的期望更低.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）确定X可能取值为4，5，6，7，分别求出概率后，由期望公式计算出期望；
（2） Y可能取值为4，5，6，7，设甲袋和乙袋抽取次数分别为和 ， 利用独立事件概率公式求得的概率，再由期望公式计算出期望，根据白球对取到黒球的影响说明期望的大小关系．
1 / 1河北省石家庄市新乐重点中学2023-2024学年高三上册数学开学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023高三上·石家庄开学考）“，使得”的否定是（ ）
A．，使得
B．，使得
C．，
D．，
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：含有存在量词命题得否定规则为将存在改为任意后，条件不变否定结论，
即，使得的否定是，
故答案为： C.
【分析】本题考查命题得否定，命题的否定只否定结论不改变条件，当命题中含有存在或全称量词时，存在量词变任意量词，任意量词变存在量词.
2．（2023高三上·石家庄开学考）设全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：由题可得，
因此
故答案为： .
【分析】先求出B集合，再求出CuB，利用集合运算定义方法求解.
3．（2023高三上·石家庄开学考）已知数列是等差数列，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等差数列概念与表示
【解析】【解答】解：因为 数列是等差数列 ，且a3+a5+a7=15，所以由等差数列性质有，解得a5=5
又因为，解得公差d=2；所以a10=a5+5d=5+10=15
故答案为：15.
【分析】根据题目条件a3+a5+a7=15，先求出a5，再根据，求出公差d，最后再求解a10.
4．（2023高三上·石家庄开学考）“”是“函数存在零点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的零点
【解析】【解答】函数存在零点，则有解，即有解，所以，所以“”是“函数存在零点”的充分不必要条件.
5．（2023高三上·石家庄开学考）展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由题可知 展开式中 的项为，
所以 展开式中的系数为=35+7=42
故答案为：42.
【分析】x3的组合方式有两种，一是1xC73X3，二是，合并后便可求出 的系数 .
6．（2023高三上·石家庄开学考）在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：根据递推公式 ，可得：a1=-2
， ， ，
所以数列 是以4为周期的周期数列，则a2016=a4=3
故答案为：3.
【分析】本题考查数列的周期性，根据递推公式依次求出a2，a3，a4，可找出出数列周期，再根据周期性质求解即可。
7．（2023高三上·石家庄开学考）若关于x的不等式的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】不等式，即，
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个正整数，这3个正整数只能是4，5，6，故；
当时，不等式解集为，此时不合题意；
当时，不等式解集为，显然解集中不可能有3个正整数，故不合题意；
故实数m的取值范围为．
故答案为：C.
【分析】由题设可得，讨论与的大小关系求解集，并判断满足题设情况下m的范围即可.
8．（2023高三上·石家庄开学考）设，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：由题意可得
， ， ；
令，则，，
又因为令，解得x=e；
当x>e时，f'(x)<0.f(x)单调递减.
当x0.f(x)单调递增.
所以f(x)在x=e处取得最大值，即自变量x越接近e函数值越大，
又根据，有
所以
故答案为：C.
【分析】本题考查较复杂比较大小类型，先根据c的形式将a，b，变形为统一形式，再根据形式特点写出对应函数，利用导数求出函数单调性和单调区间与最值进行比较.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9．（2023高三上·石家庄开学考）命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C,D
【知识点】全称量词命题；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由题意可得，
令题目中命题为q：，，得p：，设命题p的 一个必要不充分条件 为q，
根据q是p的必要不充分条件，有，（即q的范围要大于p的范围），根据选项容易判断出C.D符合题意，C，D正确；
而A，B选项不满足q是p的必要不充分条件，故A，B错误。
故答案为：C D.
【分析】本题考查命题以及充分条件，必要条件；先求出命题p所表达的a的范围，根据q是p的必要不充分条件，得出，从而在选项中判断。
10．（2023高三上·石家庄开学考）下列不等式一定成立的有（ ）
A．
B．当时，
C．已知，，则
D．正实数，满足，则
【答案】C,D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A：当x<0时，不等式，当x>0时，不等式才成立，故A错误；
对于B： 当时， 可变形为又因为，而题目中x不能取4，故不等式等号不成立，故B错误；
对于C：，由基本不等式得
所以，又因为，所以 ，故C正确；
对于D：因为 ，满足 ，所以，则3x+4y=由基本不等式得，因此， ，故D正确。
故答案为：CD.
【分析】本题考查基本不等式得综合应用，A选项应注意基本不等式前提是x>0.B选项注意等号成立得条件，C选项需要变形灵活应用基本不等式，D选项先把 ，变为，在常数代换即可。
11．（2023高三上·石家庄开学考）从有大小和质地相同的3个红球和2个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则（ ）．
A．第一次摸到红球的概率为
B．第二次摸到红球的概率为
C．在第一次摸到蓝球的条件下，第二次摸到红球的概率为
D．在前两次都摸到蓝球的条件下，第三次摸到红球的概率为
【答案】A,B
【知识点】古典概型及其概率计算公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】第一次摸到红球的概率为，则A符合题意；
第二次摸到红球的概率为，则B符合题意；
在第一次摸到蓝球的条件下，第二次摸到红球，相当于从4个球中摸出1个红球，其概率为，则C不符合题意；
在前两次都摸到蓝球的条件下，第三次摸到红球相当于从3个球中摸出1个红球，其概率为1，则D不符合题意．
故答案为：AB．
【分析】由古典概型概率计算公式A，B、条件概率计算公式即可判断C，D.
12．（2023高三上·石家庄开学考）已知等差数列，其前n项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．使的的最大值为
C．公差 D．当时最大
【答案】A,C,D
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】等差数列，，
又，
，A符合题意.
， C符合题意.
，
使的n的最大值为. B不符合题意.
当，
所以当时最大. D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】利用等差数列和等差数列的前n项和公式以及得出等差数列的性质，进而得出，再利用，所以；再利用等差数列的性质得出公差的正负；再结合和等差数列的前n项和公式和等差数列的性质，所以从而得出使的n的最大值；再利用所以，当，进而得出当时的的最大值，从而找出结论正确的选项。
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．（2023高三上·石家庄开学考）已知数列对任意正整数都有，且，是方程的两个实根，则 ．
【答案】12
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：由题可知
因为 有 ，即，所以 数列 为等差数列。
又因为 ，是方程的两个实根 ，所以，根据等差数列得性质有
因此a4=4，所以 则
故答案为：12.
【分析】本题考查等差数列得定义与证明，先根据通项公式 证明为等差数列，再根据结合题目条件与等差数列性质求解即可。
14．（2023高三上·石家庄开学考）记函数的导函数为，且满足，则 ．
【答案】1
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：由题可知
因为 ，
所以，
则有
解得
故答案为：1.
【分析】本题考查导函数得应用；
1.
2.根据
15．（2023高三上·石家庄开学考）已知甲箱内有4个白球2个黑球，乙箱内有3个白球2个黑球，先从甲箱中任取一球放入乙箱，然后从乙箱中任取一球，则事件“从乙箱中取得黑球”的概率为
【答案】
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：记甲箱中取出白球的事件为A，从乙箱中取出黑球的事件为B，
由题意可得：，
所以.
故答案为：.
【分析】记甲箱中取出白球的事件为A，从乙箱中取出黑球的事件为B，根据题意结合全概率公式运算求解.
16．（2023高三上·石家庄开学考）若函数在上有最小值，则的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由已知，f'(x) =x2-1，有x2-1≥0得x≥1或x≤-1，因此当，时f(x) 为增函数，
，在 x∈[-1，1]时f (x) 为减函数.
又因为函数在上有最小值，所以开区间须包含x=1，
所以函数f(x)的最小值即为函数的极小值，
又由，
即有，因此有以下不等式成立：
可解得-2≤a<1，
故答案为：[-2，1).
【分析】先求出函数的导函数，求出函数的单调区间，再根据已知在区间(a，10-a2)有最小值确定出参数a的取值范围.本题考查函数的导数，利用导数求函数的极值和最值的问题，分类讨论的思想方法.本题需要注意：在开区间内函数的极小值(本题中也是最小值)在函数导数为零的点处取得，即若，且f’(x0) =0，则函数f(x)的极值是f(x0)；再由题意可得这个极值也是函数的最值.
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023高三上·石家庄开学考）已知集合，，．
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：，或，
，
或．
（2）解：因为，所以，
当时，则，解得，符合题意，
当时，则，解得，
综上所述，实数的取值范围为
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】本题考查集合的交并补的运算
1.第一问先求出集合M.N所对应的范围，再根据集合运算性质求解。
2.第二问先求出，再根据 ，推出集合M.N的关系再求出a的范围。
18．（2023高三上·石家庄开学考）已知．
（1）若的解集为，求关于的不等式的解集；
（2）解关于的不等式．
【答案】（1）解：由题意得，解得．
故不等式等价于即，解得或．
所以不等式的解集为或；
（2）解：当时，原不等式可化为，解得．
当时，原不等式可化为，解得或．
当时，原不等式可化为．
当，即时，解得；
当，即时，解得；
当，即时，解得．
综上所述，当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
【知识点】一元二次不等式；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【分析】本题考查一元二次不等式
1.第一问根据韦达定理结合题目条件建立关于a的不等式组，再求出a的范围。
2.第二问先对a讨论，当a取正数，负数，0，时分别求解不等式，最后再综上所述即可。
19．（2023高三上·石家庄开学考）已知数列满足，．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式．
【答案】（1）证明：因为
，
所以，
所以数列是以为公差的等差数列；
（2）解：因为，所以，
由知，数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
所以．
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【分析】本题考查数列的通项公式以及等差数列的证明
1.第一问根据 数列 的递推式，结合等差数列的定义变形为从而进行证明。
2.第二问由第一问结论，根据等差数列通项公式求解即可。
20．（2023高三上·石家庄开学考）已知三次函数在处取得极值，且在点处的切线与直线平行．
（1）求的解析式；
（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围．
【答案】（1）解：，
由题意，解得，
所以；
（2）解：由，，
因为在是递增，
则在上恒成立，
即在时恒成立，
当时，根据二次函数的性质可知，，
所以，
故的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据题目条件 三次函数在处取得极值 ，得， 在点处的切线与直线平行 得先求出参数a，b的值，从而得到解析式。
（2）根据 函数在区间上单调递增 得在（1，2）上恒大于0，建立m的关系式，从而解出m的范围即可.
21．（2023高三上·石家庄开学考）某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了名男生和名女生，通过调查得到如下数据：名女生中有人课间经常进行体育活动，名男生中有人课间经常进行体育活动．
（1）请补全列联表，试根据小概率值的独立性检验，判断性别与课间经常进行体育活动是否有关联
课间不经常进行体育活动 课间经常进行体育活动 合计
男
女
合计
（2）以样本的频率作为概率的值，在全校的学生中任取人，记其中课间经常进行体育活动的人数为，求的分布列、数学期望和方差．
附表：
附：，其中．
【答案】（1）解：列联表如下：
课间不经常进行体育活动 课间经常进行体育活动 合计
男
女
合计
，
根据小概率值的独立性检验，判性别与课间经常进行体育活动有关联．
（2）解：由题意可得，经常进行体育活动者的频率为，
则在本校中随机抽取人为经常进行体育活动者的频率为，
随机变量的所有可能取值为，，，，，
由题意可得，，
，，，，，，
故的分布列为：
故E，．
【知识点】独立性检验的应用；二项分布
【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合独立性检验公式的应用，即可求解.
(2)在本校中随机抽取1人为经常进行体育活动者的频率为，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，4，由题意可得，，分别求出对应的概率，再结合期望与方差的公式，即可求解.
22．（2023高三上·石家庄开学考）口袋中共有7个质地和大小均相同的小球，其中4个是黑球，现采用不放回抽取方式每次从口袋中随机抽取一个小球，直到将4个黑球全部取出时停止.
（1）记总的抽取次数为X，求E（X）；
（2）现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个口袋中，甲袋装3个小球，其中2个是黑球；乙袋装4个小球，其中2个是黑球.采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋的2个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋的2个黑球也全部取出后停止.记这种方案的总抽取次数为Y，求E（Y）并从实际意义解释E（Y）与（1）中的E（X）的大小关系.
【答案】（1）解：X可能取值为4，5，6，7，
，
；
（2）解：Y可能取值为4，5，6，7，设甲袋和乙袋抽取次数分别为和 ，
，
，
，
，
.
在将球分装时，甲袋中的黑球取完后直接取乙袋，若此时甲袋中还有其它球，则该球的干扰作用已经消失，所以同样是要取出4个黑球，调整后的方案总抽取次数的期望更低.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）确定X可能取值为4，5，6，7，分别求出概率后，由期望公式计算出期望；
（2） Y可能取值为4，5，6，7，设甲袋和乙袋抽取次数分别为和 ， 利用独立事件概率公式求得的概率，再由期望公式计算出期望，根据白球对取到黒球的影响说明期望的大小关系．
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