(共28张PPT)
1.1 集合的概念
第1课时 集合的相关概念
素养·目标定位
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课前·基础认知
1.元素与集合的相关概念
(1)元素:一般地,把 研究对象 统称为元素,常用小写拉丁字母 a,b,c,… 表示.
(2)集合:把一些 元素 组成的总体叫做集合(简称为集),常用大写拉丁字母 A,B,C,… 表示.
(3)集合相等:只要构成两个集合的元素是 一样 的,就称这两个集合是相等的.
(4)集合中元素的特征: 确定性 、 互异性 和 无序性 .
微思考(1)接近 的所有实数能否组成一个集合
(2)某班身高高于175厘米的男生能否组成一个集合
提示: (1)接近 的所有实数不能组成一个集合,因为接近
的实数没有明确的标准.
(2)某班身高高于175厘米的男生能组成一个集合,因为标准确定.
微训练英语单词mathematics(数学)中所有英文字母构成的集合有 个元素.
答案:8
2.元素与集合的关系
微解读(1)符号“∈”“ ”刻画的是元素与集合之间的关系.对于一个元素a与一个集合A而言,只有“a∈A”与“a A”这两种结果.
(2)“∈”和“ ”具有方向性,左边是元素,右边是集合,形如R∈0是错误的.
3.常用的数集及其记法
课堂·重难突破
一 集合的概念
典例剖析
1.下列对象能组成集合的是( )
A. 的所有近似值
B.某个班级中学习成绩较好的所有同学
C.方程x2-1=0的所有实数根
D.某个公司里所有的年轻人
答案:C
解析:A,B,D中标准不明确,不符合元素的确定性,不能组成集合;C中方程x2-1=0的实数根为1或-1,符合元素的确定性,能组成集合.
规律总结
判断一组对象能不能组成一个集合的依据
元素的确定性是判断的依据.如果研究的对象是确定的,那么它们就能组成一个集合,否则不能组成一个集合.
学以致用
1.判断下列说法是否正确,并说明理由:
(1)大于3小于5的所有自然数组成一个集合.
(2)直角坐标平面内第一象限的一些点组成一个集合.
(3)方程(x-1)2(x+2)=0的所有解组成的集合有3个元素.
解:(1)正确,因为(1)中的元素是确定的,所以可以组成一个集合.
(2)不正确,因为“一些点”标准不明确,所以不能组成一个集合.
(3)不正确,因为方程的解为1,1和-2,所以集合中有2个元素.
二 元素与集合的关系
典例剖析
(2)满足“a∈A,且4-a∈A,a∈N,且4-a∈N”,有且只有两个元素的集合A的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案:(1)ACD (2)C
(2)因为a∈A,且4-a∈A,a∈N,且4-a∈N,
所以,若a=0,则4-a=4,此时集合A中有0,4两个元素,满足要求;
若a=1,则4-a=3,此时集合A中有1,3两个元素,满足要求;
若a=2,则4-a=2,此时集合A只含有一个元素,不满足要求.
故有且只有两个元素的集合A有2个.
规律总结
判断元素与集合关系的两种方法
(1)直接法:如果集合中的元素是直接给出的,只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.
(2)推理法:对于一些没有直接表示出来的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可,此时应明确已知集合中的元素具有什么特征.
答案:0,1,2
即x=2或1或0或-3.又x∈N,∴x=0或1或2,
即集合A中的元素为0,1,2.
3.已知集合A中元素x满足2x+a>0,a∈R.若1 A,2∈A,则实数a的取值范围为 .
答案:-4
三 集合中元素的特征及其应用
典例剖析
3.已知集合A中含有2个元素1和a2,若a∈A,求实数a的值.
解:由题意可知,a=1或a2=a,
若a=1,则a2=1,这与a2≠1相矛盾,故a≠1.
若a2=a,则a=0或a=1(舍去).当a=0时,A中含有元素1和0,满足集合中元素的互异性,符合题意.
综上可知,实数a的值为0.
互动探究
1.(变条件)本例若去掉条件“a∈A”,其他条件不变,求实数a的取值范围.
解:由集合中元素的互异性,可知a2≠1,即a≠±1.
2.(变条件)已知集合A中含有2个元素a和a2,若1∈A,求实数a的值.
解:若1∈A,则a=1或a2=1,即a=±1.
当a=1时,集合A中只含有元素1,不符合题意,
所以a≠1;
当a=-1时,集合A中含有2个元素1,-1,符合题意,所以a=-1.
规律总结
1.解决集合中元素含有字母的问题,常用到分类讨论的思想,在进行分类讨论时,务必明确分类标准.
2.本题在求得a的值后,常因忘记验证集合中元素的互异性,而造成过程性失分.
学以致用
4.已知集合A是由3个元素a+2,(a+1)2,a2+2a+2组成的,且1∈A,求a的值.
解:当a+2=1时,a=-1,此时集合A中的3个元素分别为1,0,1,不满足集合中元素的互异性,舍去.
当(a+1)2=1时,a=0或a=-2.当a=0时,集合A中3个元素分别为2,1,2,不满足集合中元素的互异性,舍去;当a=-2时,集合A中的3个元素分别为0,1,2,满足题意.
当a2+2a+2=1时,a=-1,舍去.
综上可知,a的值为-2.
随 堂 训 练
答案:C
1.下列说法正确的是( )
A.某班中年龄较小的同学能够组成一个集合
B.由1,2,3组成的集合和由 组成的集合不相等
C.不超过20的非负数组成一个集合
D.方程(x-1)(x+1)2=0的所有解组成的集合中有3个元素
解析: A项中元素不确定,B项中两个集合元素相同,因为集合中的元素具有无序性,所以两个集合相等.D项中方程的解为x1=1,x2=x3=-1.由互异性知,构成的集合中有2个元素.
答案:A
3.若以方程x2-5x+6=0和x2-x-2=0的解为元素组成集合M,则M中元素的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:C
解析:因为方程x2-5x+6=0的解为2,3,方程x2-x-2=0的解为-1,2,所以集合M中元素的个数为3.
4.已知关于x的不等式x-a≥0的解集为A,若3 A,则实数a的取值范围是( )
A.a>3 B.a≥3 C.a<3 D.a≤3
答案:A
解析:由已知可得3-a<0,解得a>3.
5.若a2=5,则a R,a Z.
答案:∈ (共33张PPT)
1.1 集合的概念
第2课时 集合的表示方法
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1.列举法
把集合的所有元素 一一列举 出来,并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法.
微训练1用列举法表示方程x2-7x+10=0的根组成的集合为
( )
A.{2,5} B.{x2-7x+10=0}
C.{(2,5)} D.{-2,-5}
答案:A
2.描述法
(1)定义:一般地,设A是一个集合,把集合A中所有具有 共同特征P(x) 的元素x所组成的集合表示为 {x∈A|P(x)} ,这种表示集合的方法称为描述法.有时也用冒号或分号代替竖线,写成{x∈A:P(x)}或{x∈A;P(x)}.
(2)具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的
一般符号 及 取值(或变化)范围 ,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的 共同特征 .
微思考(1)不等式x-2<3的解集中的元素有什么共同特征
(2)如何用描述法表示不等式x-2<3的解集
提示:(1)元素的共同特征为x∈R,且x<5.
(2){x∈R|x<5}.
微训练2用描述法表示不等式x-1>0的整数解组成的集合为
( )
A.{x-1>0} B.{x∈R|x>1}
C.{x∈Z|x>1} D.{2,3,4,…}
答案:C
课堂·重难突破
一 用列举法表示集合
典例剖析
1.用列举法表示下列集合:
(1)大于3且小于15的偶数组成的集合;
(2)所有正整数组成的集合;
解:(1)因为大于3且小于15的偶数有4,6,8,10,12,14,所以该集合可表示为{4,6,8,10,12,14}.
(2)因为所有正整数为1,2,3,…,所以该集合可表示为{1,2,3,…}.
规律总结
用列举法表示集合的四个注意点
(1)用列举法表示集合,要注意集合是数集还是点集,或其他形式的集合.
(2)元素与元素之间必须用“,”隔开.
(3)集合中的元素不能重复,且无顺序.
(4)集合中的元素不能遗漏.
学以致用
1.用列举法表示下列集合:
(1)方程x(x-1)2=0的所有实数根组成的集合;
(2)不大于10的非负偶数集;
(3)一次函数y=x与y=2x-1图象的交点组成的集合.
解:(1)方程x(x-1)2=0的实数根为x1=x2=1,x3=0,
故其实数根组成的集合为{0,1}.
(2)不大于10的非负偶数即为从0到10的偶数,故不大于10的非负偶数集为{0,2,4,6,8,10}.
故一次函数y=x与y=2x-1图象的交点组成的集合为{(1,1)}.
二 用描述法表示集合
典例剖析
2.用描述法表示下列集合:
(1)正偶数集;
(2)被3除余2的正整数组成的集合;
(3)在平面直角坐标系中,坐标轴上的点组成的集合;
(4)不等式3x-2<4的解集.
解:(1)偶数可用式子x=2n,n∈Z表示,但此题要求为正偶数,故限定n∈N*,所以正偶数集可表示为{x|x=2n,n∈N*}.
(2)被3除余2的正整数组成的集合可表示为{x|x=3n+2,n∈N}.
(3)坐标轴上的点(x,y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0,即xy=0,故在平面直角坐标系中,坐标轴上的点组成的集合可表示为{(x,y)|xy=0}.
(4)由不等式3x-2<4,解得x<2,
所以不等式3x-2<4的解集为{x|x<2}.
规律总结
用描述法表示集合应注意的三点
(1)用描述法表示集合,首先应弄清楚集合的属性,是数集、点集还是其他的类型.一般地,数用一个字母表示,而点则用一个有序数对来表示.
(2)用描述法表示集合时,若描述部分出现元素记号以外的字母,则要对新字母说明其含义或取值范围.
(3)多层描述时,应当准确使用“且”和“或”,所有描述的内容都要写在集合内.
学以致用
2.集合{(x,y)|y=2x-1}表示( )
A.方程y=2x-1
B.点(x,y)
C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D.一次函数y=2x-1图象上的所有点组成的集合
答案:D
解析本题中的集合是点集,其表示一次函数y=2x-1图象上的所有点组成的集合.故选D.
解:(1)该集合可表示为{y|y≤4}.
(2)该集合可表示为{x∈R|x≠1}.
3.用描述法表示下列集合:
(1)二次函数y=-2x2+4的函数值组成的集合;
(2)函数 的自变量组成的集合.
三 集合表示方法的综合应用
典例剖析
3.(1)若集合A={x|ax2-8x+16=0,a∈R}中只有一个元素,则a的值为( )
A.1 B.4 C.0 D.0或1
(2)已知集合A={x|kx+2>0,k∈R},若-2∈A,则k的取值范围是 .
答案:(1)D (2)k<1
解析:(1)①当a=0时,原方程为16-8x=0,
解得x=2,此时A={2};
②当a≠0时,由集合A中只有一个元素,
知方程ax2-8x+16=0有两个相等实根,则Δ=64-64a=0,解得a=1.从而方程x2-8x+16=0的根为x1=x2=4,故集合A={4}.
综上所述,实数a的值为0或1.
(2)∵-2∈A,∴-2k+2>0,解得k<1.
互动探究
1.(变条件)若将本例(1)中条件“只有一个元素”改为“有两个元素”,其他条件不变,求a的取值范围.
解:由题意可知,方程ax2-8x+16=0有两个不相等的实数根.
2.(变条件)若将本例(1)中条件“只有一个元素”改为“至多有一个元素”,其他条件不变,求a的取值范围.
解:若集合A中没有元素,即方程ax2-8x+16=0没有实数根,
若集合A中只有一个元素,由例题知a=0或a=1.
综上所述,a=0或a≥1.
规律总结
1.若已知集合是用描述法给出的,则读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键.
2.与方程ax2-8x+16=0的根有关的问题易忽视a=0的情况.
学以致用
4.已知集合A={x|x2-ax+b=0,a∈R,b∈R},若A={2,3},求a,b的值.
(1)试判断元素1,2与集合B的关系;
(2)用列举法表示集合B.
随 堂 训 练
1.用列举法表示集合{x|x2-2x+1=0}为( )
A.{1,1} B.{1}
C.{x=1} D.{x2-2x+1=0}
答案:B
解析:由x2-2x+1=0,解得x1=x2=1.根据集合中元素的互异性,故选B.
2.集合{1,3,5}用描述法可表示为( )
A.{x|x=2n-1,n∈N}
B.{x|x=2n-1,n∈N,n≤3}
C.{x|x=2n+1,n∈Z,n≤2}
D.{x|x=2n+1,n∈N,n≤2}
答案:D
3.下列各组集合,表示相等集合的是( )
①M={(3,2)},N={(2,3)};
②M={3,2},N={2,3};
③M={(1,2)},N={1,2}.
A.①③ B.②
C.②③ D.①②
答案:B
4.若集合A={-2,2,3,4},B={x|x=t2,t∈A},则用列举法表示集合B为 .
答案:{4,9,16}
解析:当t=-2时,x=4;当t=2时,x=4;当t=3时,x=9;当t=4时,x=16.故集合B={4,9,16}.
5.选择适当的方法表示下列集合:
(1)绝对值不大于2的整数组成的集合;
(2)方程(3x-5)(x+2)=0的实数解组成的集合;
(3)一次函数y=x+6图象上所有点组成的集合.
解:(1)绝对值不大于2的整数有-2,-1,0,1,2,共5个元素,故用列举法表示为{-2,-1,0,1,2}.
(3)一次函数y=x+6图象上有无数个点,故用描述法表示为{(x,y)|y=x+6}.(共30张PPT)
1.2 集合间的基本关系
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1.Venn图的优点及其表示
(1)优点:形象直观.
(2)表示:经常用平面上 封闭 曲线的 内部 代表集合.
2.子集、真子集、集合相等的相关概念及其表示
微思考1(1)任何两个集合之间是不是都有包含关系
(2)符号“∈”与“ ”有何不同
提示:(1)不一定.如集合A={0,1,2},B={-1,0,1},这两个集合就没有包含关系.
(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系;
而“ ”表示集合与集合间的关系.
3.空集
(1)定义:不含 任何 元素的集合叫做空集,记为 .
(2)规定: 空集 是任何集合的子集.
微思考2{0}与 相同吗
提示:不相同.{0}表示一个集合,且集合中有且仅有一个元素0;而 表示空集,其不含有任何元素,故{0}与 不相同.
4.集合间关系的性质
(1)任何一个集合是它本身的子集,即A A.
(2)对于集合A,B,C,
①若A B,且B C,则A C;
②若A B,B C,则A C.
(3)若A B,A≠B,则A B.
课堂·重难突破
一 集合间关系的判断
典例剖析
1.(1)已知集合M={x|x2-x=0},N={0,1,2},则M与N间的关系表示正确的是( )
A.M=N B.M∈N C.M N D.N M
(2)已知集合A={x|-1A.A∈B B.A B
C.B A D.B A
答案:(1)C (2)B
解析:(1)解方程x2-x=0,得x=0或x=1,则M={1,0}.
∵1∈M,且1∈N,0∈M,且0∈N,
∴M N.又2∈N,且2 M,∴M N.故选C.
(2)用数轴表示集合A,B,如图所示.
由图可知,A B.
规律总结
判断集合间关系的方法
(1)观察法:将元素一一列举观察.
(2)元素特征法:先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系.
(3)数形结合法:利用数轴或Venn图.
提醒:若A B和A B同时成立,则A B更能准确表达集合A,B之间的关系.
学以致用
1.已知集合A={x|x是三角形},B={x|x是等腰三角形},C={x|x是等腰直角三角形},D={x|x是等边三角形},则( )
A.A B B.C B C.D C D.B D
答案:B
2.(多选题)下列关系中,正确的有( )
A.0∈{0} B. {0}
C.{0,1} {(0,1)} D.{(1,2)}={(2,1)}
答案:AB
解析:对于A,集合{0}中含有1个元素0,所以0∈{0}正确;对于B,因为空集是任何非空集合的真子集,所以 {0}正确;对于C,{0,1}是数集,{(0,1)}是点集,所以C错误;对于D,{(1,2)}与{(2,1)}是不同的点集,所以D错误.
二 子集、真子集及其个数问题
典例剖析
2.已知集合M={x∈N|x<2},N={x∈Z|-2(1)写出集合M的子集、真子集;
(2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数.
解:M={x∈N|x<2}={0,1},N={x∈Z|-2(1)M的子集为 ,{0},{1},{0,1};真子集为 ,{0},{1}.
(2)N的子集为 ,{-1},{0},{1},{-1,0},{-1,1},{0,1},{-1,0,1}.所以N的子集数为8,真子集数为7,非空真子集数为6.
规律总结
1.求一个集合的子集、真子集的步骤
提醒:写一个集合的子集时,不要忘记 和集合本身.
2.与子集、真子集个数有关的结论
假设集合A中含有n(n∈N*)个元素,则有
(1)A的子集的个数为2n.
(2)A的非空子集的个数为2n-1.
(3)A的真子集的个数为2n-1.
(4)A的非空真子集的个数为2n-2.
学以致用
3.已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出集合A的所有子集及真子集.
解:∵A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},∴A={(0,2),(1,1),(2,0)}.
∴A的子集有 ,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)}, {(1,1), (2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}.
A的真子集有 ,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)}, {(0,2),(1,1)}, {(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)}.
三 由集合间的关系求参数的取值范围
典例剖析
3.已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1,m∈R},若B A,求实数m的取值范围.
解:当B= 时,由m+1>2m-1,得m<2.
当B≠ 时,如图所示.由图可得
综上可得,m的取值范围是{m|m≤3}.
互动探究
1.(变条件)若将本例条件“A={x|-2≤x≤5}”改为“A={x|-2解:当B= 时,由m+1>2m-1,得m<2.
当B≠ 时,如图所示,
即2≤m<3,
综上可得,m的取值范围是{m|m<3}.
2.(变条件)若将本例条件“B A”改为“A B”,其他条件不变,是否存在这样的实数m 若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
规律总结
利用集合间的关系求参数的取值范围问题
(1)利用集合间的关系求参数的取值范围问题,常涉及两个集合,其中一个为动集合(含参数),另一个为静集合(具体的),解答时常借助数轴来建立变量间的关系,需特别注意端点问题.
(2)空集是任何集合的子集,因此在解A B(B≠ )的含参数的问题时,若集合A不确定,则要注意讨论A= 和A≠ 两种情况,前者常被忽视,造成思考问题不全面.
学以致用
4.设集合A={x∈R|x2+4x=0},B={x∈R|x2+2(a+1)x+a2-1=0, a∈R},若B A,求实数a的取值范围.
解:A={x∈R|x2+4x=0}={-4,0}.因为B A,
所以分B=A和B A两种情况讨论:
当A=B时,B={-4,0},
则-4,0是关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两根,于是得a=1.
当B A时,若B= ,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1;
若B≠ ,则B={-4}或B={0},Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1,
验证知B={0}满足条件.
综上可知,所求实数a的取值范围是a=1或a≤-1.
随 堂 训 练
1.下列选项中的两个集合A和B,相等的是( )
A.A={π},B={3.141 59} B.A={2,3},B={(2,3)}
D.A={x∈N|-1答案:C
解析:根据集合相等的定义,知两集合中的元素完全相同.
选项A,∵π≠3.141 59,∴A≠B;
选项B,∵2,3表示两个实数,而(2,3)表示一个点,∴A≠B;
选项D,∵A={x∈N|-12.集合A={x∈N|0≤x<3}的真子集的个数是( )
A.16 B.8 C.7 D.4
答案:C
解析:由已知得A={0,1,2},所以集合A的真子集的个数为23-1=7.
3.已知集合A={x|x<-2或x>0},B={x|0A.A=B B.A B
C.B A D.A B
答案:C
解析:在数轴上分别画出集合A,B,如图所示,由数轴知B A.
4.已知集合A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a,a≥1}.
(1)若A B,求a的取值范围;
(2)若B A,求a的取值范围.
解:(1)若A B,则集合A中的元素都在集合B中,且B中有不在A中的元素,则a>2.
(2)若B A,则集合B中的元素都在集合A中,则a≤2.又a≥1,所以1≤a≤2.